02--第二章 函 数

导读:找家教,到阳光阳光家教网全国最大家教平台称性.7.答案:B解析一:①当a>1时,y=ax为单调递增函数,在[0,1]上的最值分别为ymax=a1,ymin=a0=1,∴a+1=3即a=2.②当0<a<1时,y=ax为单调递减函数,ymax=a0=1,ymin=a1=a,a+1=3,∴a=2与0<a<1矛盾,不可能.解析二:因为y=ax是单调函数.因此必在区间

02--第二章 函 数

找家教,到阳光 阳光家教网 全国最大家教平台 称性.

7.答案:B

解析一:①当a>1时,y=ax为单调递增函数,在[0,1]上的最值分别为ymax=a1, ymin=a0=1,∴a+1=3即a=2.

②当0<a<1时,y=ax为单调递减函数,ymax=a0=1,ymin=a1=a,a+1=3,∴a=2与0<a<1矛盾,不可能.

解析二:因为y=ax是单调函数.因此必在区间[0,1]的端点处取得最大值和最小值.因此有a0+a1=3,解得a=2.

评述:因为y=ax的增减性与a的取值范围有关,所以要将a分情况讨论.该题体现了分类讨论的思想,同时更深层次地研究函数的最值问题.

8.答案:D

解法一:∵0<a<1,x,y<a,∴logax>logaa=1,同理logay>1 ∴logax+logay>2, 即logaxy>2

解法二:可代入特殊值如x?111,y?,a?,即可解得D答案. 8429.答案:A

解析:作出函数y=x2+bx+c的大致图象如图2—14. 对称轴为x=-

b 2图2—14 ∵该函数在[0,+∞]上是单调函数.

(由图可知[0,+∞]上是增函数),只要对称轴横坐标位置在区间[0,+∞)的左边,

即-

b≤0,解得b≥0. 211图象以及对坐标平移公式的理解,将函数y=的图形xx10.答案:B

解析一:该题考查对f(x)=

变形到y=

11,即向右平移一个单位,再变形到y=-即将前面图形沿x轴翻转,再x?1x?11+1,从而得到答案B. x?1变形到y=-

解析二:可利用特殊值法,取x=0,此时y=1,取x=2,此时y=0.因此选B. 11.答案:A

http://www.ygjj.com 家教网 找家教上阳光家教网 找家教,到阳光 阳光家教网 全国最大家教平台 解析:f(

x1?x2x?x2)为自变量x1、x2中点,1对应的函数值即“中点的纵坐标”,221[f(x1)+f(x2)]为x1、x2对应的函数值所对应的点的中点,即“纵坐标的中点”,再结2合f(x)函数图象的凹凸性,可得到答案A,这是函数凹凸性的基本应用.

12.答案:A

解析:利用特殊值法,因为λ∈[0,1],令λ=

1,则不等式变为: 2f(

x1?x2f(x1)?f(x2))≤,同11题结果. 22评述:通过抽象函数知识,考查了学生的抽象思维能力.这是高考命题的方向. ※

13.答案:C

解析:首先要明白“到十·五”末为4年,其次要理解每年比上年增长7.3%的含义,从而得出解析式“十·五”末我国国内年生产总值约为95933×(1+7.3%)4.怎样处理(1+7.3%)4,

4

显然,不能使其约等于1,在此应用二项式定理(1+7.3%)=C402?C17.3%+C4·7.3%2+?4·

做近似计算.

14.答案:C

解析:该题考查对图表的识别和理解能力,经比较可发现,2月份用电量最多,而2月份气温明显不是最高.因此A项错误.同理可判断出B项错误.由5、6、7三个月的气温和用电量可得出C项正确.

15.答案:C

解析:由∵x≤1,∴-x≥-1,1-x≥0,∴原函数的值域应与反函数的定义域相同, ∴答案中只有C的定义域满足小于等于0 ∴选C 16.答案:D 解法一:8=(

1?x≥0,-1?x≤0,∴y≥0.

12)6,∴f(26)=log22=

21x?log2x

6解法二:f(x6)=log2x,∴f(x)=log26∴f(8)=

11log28=.

26http://www.ygjj.com 家教网 找家教上阳光家教网 找家教,到阳光 阳光家教网 全国最大家教平台 解法三:∵f(8)=f(

126)=log22=.

217.答案:C 解析:f(x)·f(y)=ax·ay=ax+y=f(x+y).故选C.

评述:本题考查指数的基本运算法则及考生灵敏的思维能力. 18.答案:A

解析:∵-1<x<0,∴0<x+1<1, 又∵f(x)>0,∴0<2a<1,∴0<a<

1(可结合函数图象观察). 219.答案:A

解析:找到原函数的定义域和值域,x∈[0,+∞),y∈(1,2) 又∵原函数的值域是反函数的定义域, ∴反函数的定义域x∈(1,2),∴C、D不对. 而1<x<2,∴0<x-1<1,

1>1. x?1又log2

1>0,即y>0 x?1∴A正确. 20.答案:C

解析:在共同定义域上任取x1<x2,当f(x)是单调递增,则f(x1)-f(x2)<0, g(x)是单调递减,g(x1)-g(x2)>0,

∴F(x)=f(x)-g(x)

F(x1)-F(x2)=f(x1)-f(x2)+g(x2)-g(x1)<0 ∴在共同定义域上是单调递增,同理可得

当f(x)是单调递减,g(x)是单调递增时,F(x)=f(x)-g(x)是单调递减. ∴②③正确 ※

21.答案:D

解析:因为连线标注的数字表示该段网线单位时间内可通过的最大信息量,∴BC最大是3,BE最大为4,FG最大为6,BH最大为6.

而传递的路途只有4条.

BC—CD—DA,BE—ED—DA,BF—FG—GA,BH—HG—GA

而每条路径允许通过的最大信息量应是一条途径中3段中的最小值,如BC—CD—DA中BC能通过的最大信息量为3,

∴BC—CD—DA段能通过的最大信息量也只能是3. 以此类推能传到的最大信息量为3+4+6+6=19.

评述:研究此题不需要任何数学知识,考查考生用数学思维解决问题的能力,这是今后高考的命题方向.

22.答案:B http://www.ygjj.com 家教网 找家教上阳光家教网 找家教,到阳光 阳光家教网 全国最大家教平台 解析:∵f(-x)=lg|-x|=lg|x|=f(x)是偶函数,又当x∈(0,+∞)时是单调递增,∴当x∈(-∞,0)时,y=lg|x|单调递减.

23.答案:A

解法一:分别将x=0,x=1,x=2代入f(x)=ax3+bx2+cx+d中,求得d=0,a=-

12b,c=-b, 33∴f(x)=b(?132bx31x?x2?x)??[(x?)2?]. 33324321)?]>0,∴b<0. 24当x∈(-∞,0)时,f(x)<0,又[(x?x∈(0,1)时,f(x)>0,又[(x?∴b<0.

x∈(1,2)时,f(x)<0,又[(x?321)?]>0, 24321)?]<0,∴b<0. 24321)?]>0,∴b<0. 24x∈(2+∞)时,f(x)>0,又[(x?故b∈(-∞0).

解法二:由此题的函数图象可以联想到解高次不等式时所用的图象法 ∴a>0,x1,x2,x3为图象与x轴的交点x1=2,x2=1,x3=0, ∴ax3+bx2+cx+d=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)=a(x-2)(x-1)(x-0) ∴f(x)=ax3-3ax2+2ax,又∵a>0,∴b=-3a,b<0 ∴选A

解法三:函数f(x)的图象过原点,即f(0)=0得d=0 又因f(x)的图象过点(1,0),得f(1)=a+b+c=0 ① 由图象得f(-1)<0,即-a+b-c<0 ② ①+②得2b<0,∴b<0. 24.答案:A

解析:g(x)=ax的图象经过一、二象限,f(x)=ax+b是将g(x)=ax的图象向下平移|b|(b<-1)个单位而得,因而图象不经过第一象限.

25.答案:A

解析:∵y=3x>0(x∈R) ∴S={y|y>0}; ∵y=x2-1≥-1(x∈R)

∴T={y|y≥-1} ∴S?T,从而S∩T=S. 26.答案:C

解析:∵20=2n+n,分别将选择支代入检验,知当n=4时成立. http://www.ygjj.com 家教网 找家教上阳光家教网 找家教,到阳光 阳光家教网 全国最大家教平台 27.答案:A

解析:由映射的定义及给定法则知,对A中元素取绝对值立即得结论,故选A. 评述:本题主要考查映射的概念,属容易题. 28.答案:A

解析:由已知点(a,b)在函数y=f(x)图象上,又由反函数与原函数的性质知,(b,a)在其反函数y=g(x)图象上,即g(b)=a,故选A.

评述:本题主要考查反函数的性质的运用,解法上还可取特殊函数、特殊点加以验证解决.

29.答案:A

解析:把y=logax(0

评述:本题考查对数函数的性质和函数图象的平移变换.

图2—15 30.答案:B

解法一:由f(x)=

11-

(x≠0)求得其反函数为:f1(x)=(x≠0),故答案为B. xx解法二:因f(x)=

1(x≠0)的图象关于y=x对称,由反函数的图象的性质知,y= xf(x)的反函数是其自身.选B.

评述:本题主要考查反函数的概念、反函数的求法. 31.答案:B

?ax(x?0)?解法一:由题设知y=?1x

?(a)(x?0)?又a>1,由指数函数图象易知答案为B.

解法二:因y=a|x|是偶函数,又a>1,所以a|x|≥1,排除A、C.当x≥0时,y=ax,由指数函数图象,选B.

评述:本题考查指数函数的图象和性质,考查数形结合思想、分类讨论思 想.既可直接推导得出结论,又可用排除法,思路较灵活. 32.答案:B

解析:如图2—16,取水深h=

VH时,注水量V=V′>0,即

22V0,C、2图2—16 水深至一半时,实际注水量大于水瓶总水量之半.A中V′<

D中V′=

V0,故排除A、C、D,选B. 2评述:本题考查函数的对应关系.要求由水瓶的形状识别函数原型,是典型的数形结合http://www.ygjj.com 家教网 找家教上阳光家教网

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