倒易点阵习题集

导读:例题2.1体心立方和面心立方点阵的倒易点阵证明体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵.反之,面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵.[证明]选体心立方点阵的初基矢量如图1.8所示,a1?a2?a3?a2a2a2???x??z??y??z??y????x???x??z??y?,y?,z其中a是立方晶胞边长,x?是平行于立方体边的正交的单位矢量。初基晶胞体积Vc?a

倒易点阵习题集

例题

2.1体心立方和面心立方点阵的倒易点阵 证明体心立方点阵的倒易点阵

是面心立方点阵.反之,面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵. [证明]

选体心立方点阵的初基矢量如图1.8所示,

a1?a2?a3?a2a2a2???x??z?? y??z?? y????x???x??z?? y?,y?,z其中a是立方晶胞边长,x?是平行于立方体边的正交的单位矢量。

初基晶胞体积Vc?a1??a2?a3??12a3

根据式(2.1)计算倒易点阵矢量

b1?2?Vca2?a3,b2?2?Vca3?a1,b3?2?Vca1?a2

?xVc2?b1?a2?a3??a2?ya2?a2?za2a2?a22??y?? ?xa2?xVc2?b2?a3?a1?a2a2??ya2?za2?a2?a22??z?? ?ya2?xVc2?b3?a1?a2?a2?a2?ya2a2??za2?a22?? ??x?za2于是有:

b1?2?a??y??,b2?x?2?a??z??,b3?y?2?a?? ??x?z显然b1,b2,b3正是面心立方点阵的初基矢量,故体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵,立方晶胞边长是4?a.

同理,对面心立方点阵写出初基矢量

a1?a2?a3?a2a2a2??y?? ?x??z?? ?y?? ??x?z如图1.10所示。

初基晶胞体积Vc?a1??a2?a3??14a3。

根据式(2.1)计算倒易点阵矢量

b1?2?a???x??z??,b2?y2?a????x??z??,b3?y2?a???x??z?? y显然,b1,b2,b3正是体心立方点阵的初基矢量,故面心立方点阵的倒易点阵为体心立方点阵,其立方晶胞边长是4?a.

2.2 (a) 证明倒易点阵初基晶胞的体积是?2??/Vc,这里Vc是晶体点阵初基晶胞的体积;(b) 证明倒易点阵的倒易点阵是晶体点阵自身.

[证明]

(a) 倒易点阵初基晶胞体积为b1??b2?b3?,现计算b1??b2?b3?.由式(2.1)知,

b1?2?Vca2?a3,b2?2?Vca3?a1,b3?2?Vca1?a2

3此处

Vc?a1??a2?a3?

?2??b2?b3???V?c?2?a3?a1???a1?a2??2?????V?c?2????a3?a1??a2??a1????a3?a1??a1??a2?

这里引用了公式:?A?B???C?D?????A?B??D??C????A?B??C??D。 由于?a3?a1??a1?0,故有

?2??b2?b3??????a3?a1??a2??a1

?Vc?2而

Vc??a3?a1??a2

故有

?2??b2?b3???a1

V?c?2b1??b2?b3???2??Vc2a1?b1??2??Vc23a1??a2?a3???2??Vc3

或写成

b1??b2?b3???2??

a1??a2?a3?33倒易点阵初基晶胞体积为晶体点阵初基晶胞体积倒数的?2??倍。 (b) 现要证明晶体点阵初基矢量a1,a2,a3满足关系

a1?2?b2?b3b1??b2?b3?,a2?2?b3?b1b1??b2?b3?,a3?2?b1?b2b1??b2?b3?

有前面知:

b2?b3??2??Vc2a1

??2??2?1?2??a1?Vcb?b?b3?????1?2令c1?2?b2?b3b1??b2?b3?

又知 b1??b2?b3??1Vc?2??,代入上式得:

3c1??2??Vc3?Vca1?32????????a1 ??同理 c2?2?b3?b1b1??b2?b3??a3

?a2

c3?2?b1?b2b1??b2?b3?可见,倒易点阵的倒易点阵正是晶体点阵自身.

2.3 面间距 考虑晶体中一组互相平行的点阵平面(hkl),(a) 证明倒易点阵矢量G?hkl??hb1?kb2?lb3垂直于这组平面(hkl);(b) 证明两个相邻的点阵平面间的距离d(hkl)为:

d?hkl??2?G?hkl?

(c) 证明对初基矢量a1,a2,a3互相正交的晶体点阵,有

d?hkl??1?l??h??k??????????a1??a2??a3?222

(d) 证明对简单立方点阵有

d?hkl??ah?k?l222

证明

(a) 参看图2.3,在平面族(hkl)中,距原点最近的点阵平面ABC在三个晶轴上的截距分别是a1h,a2k,a3l. 现要证明G(hkl)垂直于ABC,只需证明G(hkl)垂直于平面ABC上的两个矢量CA和CB即可.

CA?a1h?a3l,CB?a2k?a3l

用倒易点阵基矢与晶体点阵基矢间的正交关系式(2.2),立即可得

a?aa?aG?hkl??CA??hb1?kb2?lb3???1?3??hb1?1?lb3?3?0l?hl?h

同理,G?hkl??CB?0

故G(hkl)垂直于点阵平面(hkl). (b) 点阵平面(hkl)的面间距d(hkl)为

??d?hkl??OA?na1h?G?hkl?G?hkl??a1hb1?kb2?lb32? ??hG?hkl?G?hkl?(c) 如果晶体点阵的初基矢量a1,a2,a3彼此正交,则倒易点阵的初基矢量也必然彼此正交.

?,b2?by?2,b?3bz? 3设 b1?b1x由倒易点阵基矢的定义

b1?2?Vc?a2?a3?,b2?2?Vc?a3?a1?,b3?2?Vc?a1?a2?

aa及 Vc?a得123

b1?2?a1,b2?2?a2,b3?2?a322

2222kl?2?h?2???2?2?2??2?a2a3??a1G?hkl???hb1???kb2???lb3???l??h??k?????????aaa?1??2??3?222

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