高考数学汇编—立体几何计算题_图文

导读:???D1?0,?2b?c?0由?令b=1,∴c=2,a=2-x,????a?b(x?2)?0.???0,∴?(2?x,1,2).依题意cos?4?1?222??.222(x?2)?5∴x1?2?3(不合,舍去),x2?2?3.∴AE=2?3时,二面角D1—EC—D的大小为?.413.(I)证明:EF分别为正方形ABCD得边AB、CD的中点,?EB//FD,

高考数学汇编—立体几何计算题_图文

???D1?0,?2b?c?0由?令b=1,∴c=2,a=2-x, ????a?b(x?2)?0.???0,

∴?(2?x,1,2). 依题意cos

?

4

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1?

222

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222(x?2)?5

∴x1?2?3(不合,舍去),x2?2?3. ∴AE=2?3时,二面角D1—EC—D的大小为

?. 4

13.(I)证明:EF分别为正方形ABCD得边AB、CD的中点, ?EB//FD,且EB=FD,

?四边形EBFD为平行四边形.

?BF//ED

EF?平面AED,而BF?平面AED

?BF//平面ADE.

(II)解法1:

如右图,点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上, 过点A作AG垂直于平面BCDE,垂足为G,连结

GC,GD. ?ACD为正三角形,

?AC=AD ?CG=GD

G在CD的垂直平分线上,

?点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,

过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则AH?DE,所以?AHD为二面角A-DE-C的平面角.即?AHG??

设原正方体的边长为2a,连结AF

在折后图的?AEF中

,EF=2AE=2a, 即?AEF为直角三角形,AG?EF?AE?

AF

?AG?

在Rt?ADE中,AH?DE?AE?

AD

?AH?

?GH?

cos??

GH1

?. AH4

解法2:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上 连结AF,在平面AEF内过点作AG??EF,垂足为G?. ?ACD为正三角形,F为CD的中点, ?AF?CD 又因EF?CD, 所以CD?平面AEF

AG??平面AEF ?AG??CD

又AG??EF且CD?EF?F,CD?平面BCDE,EF?平面BCDE

?AG??平面BCDE

?G?为A在平面BCDE内的射影G.

即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上

过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则AH?DE,所以?AHD为二面角A-DE-C的平面角.即?AHG??

设原正方体的边长为2a,连结AF

在折后图的?AEF中

,EF=2AE=2a, 即?AEF为直角三角形,AG?EF?AE?

AF

?AG?

在Rt?ADE中,AH?DE?AE?

AD

?AH?

?GH?cos??

GH1

?. AH4

解法3:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上 连结AF,在平面AEF内过点作AG??EF,垂足为G?

. ?ACD为正三角形,F为CD的中点, ?AF?CD 又因EF?CD, 所以CD?平面AEF

?CD?平面BCDE

?平面AEF?平面BCDE

平面AEF?平面BCDE=EF,AG??EF

AG??EF

?AG??平面BCDE

?G?为A在平面BCDE内的射影G.

即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上

过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则AH?DE,所以?AHD为二面角A-DE-C的平面角.即?AHG??

设原正方体的边长为2a,连结AF

在折后图的?AEF中

,EF=2AE=2a, 即?AEF为直角三角形,AG?EF?AE?

AF

?AG?

a 2

在Rt?ADE中,AH?DE?AE?

AD

?AH?

,

?GH?cos??

GH1

?. AH4

【点评】本小题考查空间中的线面关系,解三角形等基础知识考查空间想象能力和思维能力.

1∥DB,14.(Ⅰ)设O为AC中点,连接EO,BO,则EO∥=2C1C,又C1C∥=B1B,所以EO=

CB1 EOBD为平行四边形,ED∥OB. ……2分

∵AB=BC,∴BO⊥AC, 1

又平面ABC⊥平面ACC1A1,BO?面ABC,故BO⊥平面ACC1A1, D

E ∴ED⊥平面ACC1A1,BD⊥AC1,ED⊥CC1, ∴ED⊥BB1,ED为异面直线AC1与BB1的公垂线.……6分 C B

(Ⅱ)连接A1E,由AA1=AC=2AB可知,A1ACC1为正方形,

A ∴A1E⊥AC1,又由ED⊥平面ACC1A1和ED?平面ADC1知平面

ADC1⊥平面A1ACC1,∴A1E⊥平面ADC1.作EF⊥AD,垂足为F,连接A1F,则A1F⊥AD,∠A1FE为二面角A1-AD-C1的平面角.

AE×ED2

不妨设AA1=2,则AC=2,AB=2ED=OB=1,EF=

AD3tan∠A1FE=3,∴∠A1FE=60°.

所以二面角A1-AD-C1为60°. ………12分 解法二:

(Ⅰ)如图,建立直角坐标系O-xyz,其中原点O为AC的中点. 设A(a,0,0),B(0,b,0),B1(0,b,2c).

则C(-a,0,0),C1(-a,0,2c),E(0,0,c),D(0,b,c). ……3分 →→

ED=(0,b,0),BB1=(0,0,2c). →→ED·BB1=0,∴ED⊥BB1. →

又AC1=(-2a,0,2c),

→→ED·AC1=0,∴ED⊥AC1, ……6分

C所以ED是异面直线BB1与AC1的公垂线.

(Ⅱ)不妨设A(1,0,0),则B(0,1,0),C(-1,0,0),A1(1,0,2), →→→

BC=(-1,-1,0),AB=(-1,1,0),AA1=(0,0,2), →→→→BC·AB=0,BC·AA1=0,即BC⊥AB,BC⊥AA1,又AB∩AA1=A, ∴BC⊥平面A1AD.

又 E(0,0,1),D(0,1,1),C(-1,0,1),

→→→

EC=(-1,0,-1),AE=(-1,0,1),ED=(0,1,0), →→→→EC·AE=0,EC·ED=0,即EC⊥AE,EC⊥ED,又AE∩ED=E, ∴ EC⊥面C1AD. ……10分

→→

→→→→EC·BC1cos<EC,BC>=,即得EC和BC的夹角为60°.

→→2|EC|·|BC|所以二面角A1-AD-C1为60°. ………12分

15.)解法一:

(Ⅰ)

由已知l2?MN,l2?l1,MN?l1?M,可得l2?平面ABN由已知MN?l1,AM=MB?MN,可知AN?NB且AN?NB

又AN为AC在平面ABN内的射影

?AC?NB

(Ⅱ)Rt?CNA?Rt?CNB.

?AC?BC,又已知?ACB?600,因此?ABC为正三角形.

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