高考数学汇编—立体几何计算题_图文

导读:即二面角B—AD—F的大小为450;(Ⅱ)以O为原点,BC、AF、OE所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系(如图所示),则O(0,0,0),A(0,-2,0),B(32,0,0),D(0,-2,8),E(0,0,8),F(0,32,0)所以,=(-2,-32,8),=(0,-2,8)cos<,>=BD与=0+18+64?EF=10设异面直线所成角

高考数学汇编—立体几何计算题_图文

即二面角B—AD—F的大小为450;

(Ⅱ)以O为原点,BC、AF、OE所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系(如图所示),则O(0,0,0),A(0,-2,0),B(32,0,0),D(0,-2,8),E(0,0,8),F(0,32,0)

所以,=(-2,-32,8),=(0,-2,8)

cos<,>=

BD

=

0+18+64?EF

=

10

设异面直线所成角为

α,则

cosα=|cos<,>|=

10

10

直线BD与EF所成的角为

6.解法1:(Ⅰ)连AC,设AC与BD相交于点O,AP与平面BDD1B1相交于点,,连结OG,因为

PC∥平面BDD1B1,平面BDD1B1∩平面APC=OG, 故OG∥PC,所以,OG=

1mPC=. 22

又AO⊥BD,AO⊥BB1,所以AO⊥平面BDD1B1, 故∠AGO是AP与平面BDD1B1所成的角.

P

C

2OA

在Rt△AOG中,tanAGO===32,

mGO

2

即m=

A

B

1. 3

1

时,直线AP与平面BDD1B

1所成的角的正切值为3

所以,当m=

(Ⅱ)可以推测,点Q应当是AICI的中点O1,因为

D1O1⊥A1C1, 且 D1O1⊥A1A ,所以 D1O1⊥平面ACC1A1, 又AP?平面ACC1A1,故 D1O1⊥AP.

那么根据三垂线定理知,D1O1在平面APD1的射影与AP垂直。

7.解法1:(Ⅰ)因为M是底面BC边上的中点,所以AM⊥BC,又AM⊥CC1,所以AM⊥面BCC1B1,从而AM⊥B1M, AM⊥NM,所以∠B1MN为二面角,B1—AM—N的平面角。又B

1

=5,MN

===,

26

连B1N,得B1N

2

=余

2

2

,在?B1MN=

52510+-

B1M+MN-B1N=故所求cosB1MN==

2B1MMN二面角B1—AM—N

的平面角的余弦值为

5

(Ⅱ)过B1在面BCC1B1内作直线B1H⊥MN,H为垂足。又AM⊥平面BCC1B1,所以AM⊥B1H。于是B1H⊥平面AMN,故B1H即为B1到平面AMN的距离。在R1?B1HM中,

B1H=B

1MsinB1MH=

=1。故点B1到平面AMN的距离为1。 21

,0), 2

解法2:(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系,则B1(0,0,1),M(0,

C(0,1,0), N (0,1,

21

,0),所以,

) , A (3

2

AM=因为

112,MB1=(0,-,1),MN

=(0,,)。

2232

MB1AM=

1

0+0?(-)+0?1=0所以MB1⊥AM,同法可得MN⊥AM。 22

故﹤MB1,MN﹥为二面角B1—AM—N

的平面角

5

MB1?MN

∴cos﹤MB1

,MN﹥===

MB1?MN故所求二面角B1—AM—N的平面角的余弦值为

5

(Ⅱ)设n=(x,y,z)为平面AMN的一个法向量,则由n⊥AM,n⊥MN得

?x=0x=03?

n=

(0,-,1) 故可取?4??

4y=-z?1y+2z=0?3??3?2

5

MB1?

n设MB

1与n的夹角为a,则cosa= ==

MB1?

n

所以B1到平面AMN的距离为MB1?cosa=

=1。 25

8.解法一(Ⅰ)连接AC、BD,设AC?BD=O 因为P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥, 所以PO⊥平面ABCD,QO⊥平面ABCD

从而P、O、Q三点在一条直线上,所以PQ⊥平面ABCD

(II)由题设知,ABCD是正方形,所以AC⊥BD.由(I),PQ⊥平面ABCD,故可以分别以直线CA、DB、QP为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系(如图),由题设条件,

1Q(0,0,-2),相关各

点的坐标分别是P

(0

,0,,

B

所以AQ=(--2),PB=(--1),

于是cos<AQ,PB>=

AQPB=

AQPB从而异面直线AQ与PB所成的角是

(Ⅲ)由(Ⅱ),点

D的坐标是(0,-AD=(0,--,

PQ=

(0,0,-3),

??n?AQ=0z=0

设n=(x,y,z)是平面QAD的一个法向量,由?

?n?AQ=0??

x+y=0?

取x=1,得n=(1,-1,所以点P到平面QAD得距离d=

PQ?nn

=2

解法二(Ⅰ)取

AD的中点M,连接PM,QM,

因为

P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥,所以

AD⊥PM,AD⊥

OM

所以AQ=(-2),PB=

(0,-1),于是

cos<AQ,PB>=

AQPBAQPB

=

-

9

从而异面直线AQ与PB所成的角是(Ⅲ)由(Ⅱ),点D的坐标是

(0,-AD=

(--PQ=(0,0,-3),

设n=(x,y,z

)是平面QAD的距离d=

解法二(Ⅱ),点D的坐标是

PQ

.nn

=

(0,-AD=(-- PQ=(0,0,-3)

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