新课标高中数学全部精讲精练 必修⑤精讲精练全稿

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新课标高中数学全部精讲精练 必修⑤精讲精练全稿

《新课标高中数学必修⑤精讲精练》——精讲 第二章 数列?第?16?讲?§2.4?等比数列(二) ¤学习目标:掌握等比数列的通项公式;体会等比数列与指数函数的关系;能在具体的问题情境中,发现 数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.?

¤知识要点:?

2?k

1.?若{a?{a?,{can?}(c 1 0)?,?{anm?}(m? N *?)?,{a?n?}?是公比为q的等比数列,则数列{|a?n?|}?,?n?}?n?}?等,也

k?

为等比数列,公比分别为?|q|,q2?,q,qm,?q?.?若数列{b?为等比数列,则{ang b?,{n?}?n?}?

a?n?

}?也是等比数列.?b?n?

2.?{a?l? N *?,则?amgan= akg?al? .?n?}?是公比为q的等比数列,若m+n=k+ l ,?m,n,k,?¤例题精讲:

【例1】在等比数列{ a? = 5?,?a9a10? = 100?,求?a18??.?n?}?,已知?a1?解:∵?a1a18= a9a10 ?,∴?a?18?=

a9a?100?10?

==?20?.?a1? 5?

2?

【例2】数列{ a?a1? = 1?,对任意?n? N *?,?an + 1)?,?bn=log2?(a 1)?都成 n?}?的各项均为正值,?n?+ + 1?-1=4an(an?

立.求数列{ a?b?n?}?、{ n?}?的通项公式.?

2?解:由?an + 1)?得,?(an+1+2an+1)(an+ 1?-2a n?-1)= 0?+ 1?-1=4an(an?

数列{ a?1?,整理为?an+ 1?+1=2(a 1)?.?n?}?的各项为正值,?an+ 1?+2a n?+1> 0?, ∴?an+ 1?=2a n?+ n?+?又?a1? +1=21 0?

∴数列{ a 1}??为等比数列. n?+

n?∴?an?+1=(a1? +1)×2n- 1?= 2?,?

an? =2n?- 1?,即为数列{ a?n?}?的通项公式.

∴?bn?=log2?(2n?-1+1)?=?n .?

121?1?【例3】设{an}是等差数列,bn=?()a?n?,已知b1+b2+b3=?,b1b2b3=?,

2?8?8?

(1)求证:数列{bn}是等比数列; (2)求等差数列{an}的通项an.?

1a?n?+ 1?()?b?11?d?

解:(1)证:∵?n?+ 1?=2?=()an+ 1?- a?n?=?()?=常数, ∴ 数列{bn}是等比数列.?

1?a?n?bn? 22?()2?1?1?3?

(2)由?b1b2b3=(b2? )?= ,得?b2? =?.?

8?2?

b?1121?1?2?

设数列{b?}?公比为q,则?b+b+b=+b+bq=(+1+q?)?= ,解得?q = 4?或?.?n?12322?

q2q 8?4?

111?a?n?

当?q = 4?时,?bn?=b2?q n-2=′4n-2=()-2n?+ 5?= ()?,所以?an?=-2n +?5?.?

222?

1?1111?a?n?

当?q = 时,?bn?=b2?q n-2=′()n-2=()2n?- 3?= ()?,所以?an?=2n -?3?.?∴?an?=-2n + 5?或2n-?3?.?

4?2422?

点评: 由相邻两项的比值恒等关系,可以证明一个数列为等比数列,同时也可以发现等差数列和等比数 列可以通过指数运算或者对数运算进行转化.?

【例?4】从盛满?a?升(a>1)纯酒精的容器里倒出?1?升,?然后装满水,?再倒出?1?升混合溶液后又用水装满,?如 此继续下去,?问第n次操作后溶液的浓度是多少?若a=?2,?至少倒几次后才能使酒精浓度低于10%?

a?- 11?

解:设每次操作后溶液浓度为数列?{a?=1?- ,而第?n+ 1?次操作后溶液浓度为?n?}?,则?a?1?=

aa

(a-1)?′ a?1?1?1?n?

an+ 1?==a?(1-?)?.?所以,数列{a?}?是以?a?=1?- 为首项,?q?=1?- 为公比的等比数列,?n?n?1?

aa a a

1?n?1?n?n- 1?

an?=a1?q?=(1- )?,即第n次操作后溶液的浓度为?(1-?)?.?

a a 111?

当?a = 2?时,?an? =(1-)n?=n?< ,解得?n3?4?.?

2210?

所以,至少应倒4次后才能使酒精浓度低于10%.?点评:解题关键是探索所构造的数列是什么特征的数列 .?这里通过抓住计算溶液浓度的数量关系, 探索?an? + 1?与?a?n?之间的递推关系,将“溶液浓度”这一实际背景问题转化为等比数列模型.?注意不等式整数解.

31?《新课标高中数学必修⑤精讲精练》——精练 月 日?:???~??:?自评 分?第?16?练?§2.4?等比数列(二) ※基础达标?

1.某细菌在培养过程中,每半小时分裂一次(一个分裂为两个),若开始只有这种细菌一个,设?a1? = 1?, 第一次分裂后的细菌数目为?a?2?,第二次分裂后细菌的数目为?a?3?,第n-1裂后细菌数目为?a?n?,那么(

n?- 1?

A.?an? =?2?

n?

B.?an? =?2?

n?+ 1?

C.?an? =?2?

).?

D.?an?=?2?n

2.在等比数列{ a? < 0?,若{ a?).?n?}?中,首项?a1?n?}?是递增数列,则公比q满足(

A.q>1????????????B.?q<1????????????C.?0

3.若{an}是等比数列,其公比是q,且-a5,a4,a6?成等差数列,则q等于( ).?

A.??1或2????????B.?1或-2?C.?-1或-2???????D.?-1或2?

4.已知等差数列{an}的公差为3,若a2,a4,a8?成等比数列,则a4?等于( ).?

A.?8?B.?10?C.?12?D.?14?

5.生物学中指出:生态系统中,在输入一个营养级的能量中,大约有10%~20%的能量能够流动到下一个 营养级(称为能量传递率),在H1→H2→H3→H4→H5→H6?这条生物链中,若使H6?获得10?kJ的能量,则需要H1?最多提供的能量是( ).?

4?5?6?7?

A.10?kJ?B.?10?kJ????????C.?10?kJ?D.?10?kJ?

1?4?

6.数列{an}满足an=-?an-1?(n≥2),a1=?,则a4=?.?1?2?3?3?0.5?1?*7.在如图的表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每一纵列成 a?等比数列,则a+b+c的值为?.?b?※能力提高?ca?*?n?

8.已知等比数列{ b?a?n??N .?n?}?与数列{ n?}?满足?bn?=2,?

1?(1)判断{ a?是何种数列,并给出证明; (2)若?a+a= ,求?b1b2L b20? .?}?n?813

2?

1?

9.已知数列{ a?的前n项和为?S?,?S=(an?-1)(n??N *?)?.?}?n?n?n

3?

(1)求?a1,a?(2)求证:数列{ a?2???n?}?是等比数列.?

※探究创新?

10.定义一种运算“*”对于正整数满足以下运算性质: (1)2*2006= 1 ;(2)(2n+2)*2006=3×[(2n )*?2006]?,则2008* 2006 的值是?

32?

《新课标高中数学必修⑤精讲精练》——精讲 第二章 数列?第?17?讲?§2.5?等比数列的前?n?项和(一) ¤学习目标:探索并掌握等比数列的前n项和的公式;结合等比数列的通项公式研究等比数列各量;能在 具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.?

¤知识要点:?

na1?(q?= 1)?ì ? n?

1.?等比数列的前n项和公式为:?S?.?推导方法:乘公比q而错位相消法; a1?(1- q?)?a1?- an?q?n?= í

=(q?1 1)?? 1-q1?- q ??

aaa?a+×××+a3+a2S- a?

或者根据等比数列的定义,可得到?n=×××=3=2?=q?=n= n?1?,整理即得.?

an-1a2a1an- 1+×××+a2+a1?Sn- an?

2.?依据等比数列的通项公式和前n项和公式,如果已知?a1?,an,q,n,?S?由方程思想可 n?五个量中任意的三个,

以求出其余的两个.?在应用等比数列求和公式时,一定要注意公比q的两种情况.?

¤例题精讲:

【例1】求等比数列1,2,4,…从第5项到第10项的和.?解:由?a1=1,a2?=2???得?q = 2?.?

1′(1- 24?)?1′(1- 210?)?∴?S = 15?,?S10? == 1023?.?4?=

1- 2?1-?2?

所以,从第5项到第10项的和为?S10-S 4?=?1008?.?

【例2】某企业去年的产值是138万元,计划在今后5年内每年比上一年产值增长10%,这5年的总产值 是多少?

解:这5年的产值是一个以?a1? =138′1.1= 151.8?为首项,?q = 1.1?为公比的等比数列,所以?

5?

a1?(1- q?)?151.8′(1- 1.15?)?S?=? 926.754?(万元). 5?=

1-q 1- 1.1?

【例3】在等比数列{a?n?}?中:

n?

(1)已知?an? =3′ 2?,求?S? =- 256?,?a5? =- 1?,求?S?6?; (2)已知?a1?5?.?

6?n?+ 1?

a?3′ 2?a1?(1- q?)?6′(1- 26?)?n?+ 1?

解:(1)由?an? =3′ 2?,得?a1? =3′2= 6?,?q?=== 2?,则?S?== 378?.?6?=n?

a 3′ 2?1-q 1-?2?n?

n?

1?

a?- 11114?1?5?

===8?= ()?, 解得?q =±?.?a1? - 25625624?4?

1?1?

-256-(-1)?′ -256-(-1)′(- )?1?a1- a5?q?1?a1- a5?q?4?=- 4?=- 当?q = 时,?S?==341?;当?q =- 时,?S?==205?.?5?5?

1?1?4?1?- q 4?1?- q 1?- 1-(-?)?4?4?

n?

a1?- an?q?a1?(1- q?)?

点评:当?q 1 1?时,若已知?a1?,q,?n,则选用公式?S?= ;若已知?a,q,?a?,则选用?S?= .?根 n?1?n?n?

1?- q 1?-?q

据相关已知条件,合理选用公式,是简捷解决数学问题的前提.?

【例4】在等比数列{a?n?}?中:

1?

(1)已知?a1? = 3?,?a6? = 96?,求q与?S?; (2)已知?q =- ,?S ??.?6?5?= 11?,求?a?1?与?a5

2?

5?

ì 96=3?′ q?q?= 2?ì ?

3- 96?q?,解得?í 解:(1)易知?q 1 1?,由等比数列的通项公式与前n项和公式,得?í .?S?= S = 189?6???6?? 1?- q ? 1?4?ì

a=a?′(- )1?? 5

2?

? a?ì 1?5?? 1?= 16

a ′[1-(- )]?(2)由等比数列的通项公式与前n项和公式,得?í ,解得?í .?1?

2?a = 1?5???? 11?=

1?? 1-(- )

? ? 2?

点评:当已知等比数列?a1?,an,q,n,?S?n?五个量中任意三个时,由等比数列的通项公式和前n项和公式,可以 得到两个关于另外两个未知量的方程,解方程而求出其余两个量.

4?4

(2)由?a5= a1?q ,得?q?=

33?《新课标高中数学必修⑤精讲精练》——精练 月 日?:???~??:?自评 分?第?17?练?§2.5?等比数列的前?n?项和(一) ※基础达标?

1.等比数列1,3,9,27,×××的前10项的和为( ).?

A.??29524?????????B.?29452?????????C.?29542??????????D.?29540?2.首项为a的数列{ a?n?}?既是等差数列,又是等比数列,则这个数列前n项和为(

n?-1??

A.?a

).?

B.na?n?C.?a?D.(n-?1)?a

).??

1?

3.(07年湖南卷.文4) 在等比数列{a??n?N*) 中, 若?a1? = 1?,a?4? = , 则该数列的前10项和为 ( n?}(

8?

1?1?1?1?

A.?2?-?4?B.?2?-?2?C.?2?-?10?D.?2?-?11?

2 2 2 2

S?

4.设等比数列{an}的前n项和为Sn,前n项的倒数之和为Tn,则?n?的值为( ).?

T?n?

A.a1an?

B.?

a?1?

a?n?

C.a1?n?an??n?

D.?(

a?1?n?

)?a?n?

a11a12a22a32a42a52

a13a23a33a43a53

a14a24a34a44a54

a?15?a?25?a?35?a?45?a55?

5.将给定的25个数排成如右图所示的数表,若每行5个数按从左至右的顺序构成 a21

等比数列, 每列的5个数按从上到下的顺序也构成等比数列, 且表正中间一个数a33=m,

a31

则表中所有数之积为( ).?

25?a41

A.m?B.?m?C.?25m?D.?m50??

3?a51

6.在等比数列{ a?中,?q =- 2?,?a = ,则?S .?}?n?3?3?=?2?

7.等比数列{ a? =?33?,?a2g?a5? = 32?,?则?S .?n?}?中,?a1+a6?6?=?※能力提高?

8.在等比数列{ a? = 18?,?a2+a3+a4? =- 9?,求?S?n?}?中,?a1+a2+a3?n?.?

9.某公司年初有资金500万元,由于坚持改革、大胆创新,每年资金递增20%,但是公司不忘回报社会, 每年年底资助希望工程40万元,如果m年后,该公司资金至少翻一番,求m的最小值.?

5?6?7?

(参考数据:1.2?≈2.49,1.2?≈2.99,1.2?≈3.58)

※探究创新?

10.某地区荒山2200亩,从2006年开始每年春季在荒山植树造林,第一年植树100亩,以后每一年比上 一年多植树50亩.(1)若所植树全部都成活,则到哪一年可将荒山全部绿化?(2)若每亩所植树苗木材量为2?立方米,每年树木木材量的自然增长率为?20%,那么全部绿化后的那一年年底,求该山木材总量.(精确到?1?立方米,参考数据:1.2?7?≈3.6,1.2?8?≈4.3,1.2?9?≈5.2)?

34?

《新课标高中数学必修⑤精讲精练》——精讲 第二章 数列?第?18?讲?§2.5?等比数列的前?n?项和(二) ¤学习目标:掌握等比数列的前n项和公式和相关性质;能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系, 并能用有关知识解决相应的问题.?

¤知识要点:?

m?

1.?等比数列{a?1?,?m? N *?,则?Sm,S2m-Sm,S3m-S n?}?的公比?q 1- 2?m?,?×××构成新等比数列,公比为?q?.?

a?aa?3?2.?若三个数成等比数列,可设三数为?,a,?aq?.?若四个同符号的数成等比数列,可设为?3?,,aq,?aq?.?

q?qq?

a?

3.?证明等比数列的方法有:(1)定义法:?n?+ 1?= q?;(2)中项法:?an+12= ang?a n?+ 2?.?

an? S1= a?ì 1?

4.?数列的前n项和构成一个新的数列,可用递推公式?í 表示.?

S=S+a(n > 1)?n- 1?n?? n

5.?实际生活中, 许多与增长率相关的实际问题都可以通过建立等比数列的模型来解决问题.?如银行存款贷 款、购房分期付款、人口年增长、效益增长率等.?在数列问题中注重运用方程思想、分类讨论思想.?

¤例题精讲:

n?2?2?

【例1】数列{?an??}的前n项和?S 1?(n?N+),则?a12+a2 an? 等于( ).?n?=2- ?+…?+

1?

B.?(2n -?1)?C.4n -?1?

3?nn-1n?- 1?

解:由?an=Sn-S -1)= 2?, n?- 1?=(2-1)-(2

2?

A.?(2n -?1)?

1?

D.?(4n - 1)?

3?

得?a1?=1,q = 2?,

1?

=(4n - 1)?.?

1-?43?

【例2】已知等比数列{a? = 8?,?S n?}?中,?S10?20?= 32?,求?S?40?.?解法一:易知?q 1 1?,由等比数列的前n项和公式,得?则

10?

ì a1?(1- q?)?10?S?== 8?ì q?= 3?40?? 10?

a1?(1- q?)?? ? 1?- q?

a?,解得?.?所以,?S?==-4′(1-34?)= 320?.?í 1?=- í 40?20?

4?a1?(1- q?)?1?-?q ? ? S?== 32?1?- q ??20?

? 1?- q ?

解法二:易知?q 1 1?,则?S10,S20-S10,S30-S20,S40-S 30?,?×××构成新的等比数列,公比为?

1′(1- 4a1?2?+a2?2?+…+an2??=?n?

)

S- S?32- 8?10?q?=20==?3?.?

S10? 8?

'?

'4?

S10?(1- q?)?8′(1- 34?)?

所以,?S?== 320?.?40?='?

1-q 1-?3?

【例3】求和:?an+an-1b+an- 2b2+×××+bn?(n?N*?,ab 1?0)?.?

b?n?

解:?an,an-1b,an- 2b2?,××× ,?b 为等比数列,公比?q?=?.?

a

nn-1n- 22?nn?

当a= b 时,?a+ab+ab+×××+b=(n+?1)?a .?

b?n

a?[1- ()n?+ 1?]?n+1n?+ 1?

a- b?nn-1n- 22?n?a?当a1 b 时,?a+ab+ab+×××+b?== .?

b?a- b?1?-?a

点评:遇到等比数列求和,当公比q不确定时,一定要注意讨论?q = 1?的可能性.?在公比q不确定时,S??n?是 关于q的分段函数,所以要对公比分类讨论,分段选用函数式.?

【例4】某工厂去年产值为a,计划在今后5年内每年比上年产值增加10%,问: (1)这个工厂在后年的总产值为多少?

(2)从今年起到第5年,这个厂的总产值为多少?

解:每年的总产值构成以a(1+10%)=1.1a为首项,公比为1.1的等比数列.?(1)后年的总产值为?a3?=1.1a′1.12= 1.13??a ;

1.1a?g?(1- 1.15?)?(2)从今年起到第5年,这个厂的总产值为S5=?=11′(1.15?- 1)?a .?

1- 1.1?

点评:抽象出等比数列模型,明确首项与公比,区分是求通项还是数列求和.

35?

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