新课标高中数学全部精讲精练 必修⑤精讲精练全稿_图文

导读:?m,n,k,?¤例题精讲:,是简捷解决数学问题的前提.?,以后每一年比上一年多植树50亩.(1)若所植树全部都成活,则到哪一年可将荒山全部绿化?(2)若每亩所植树苗木材量为2?立方米,那么全部绿化后的那一年年底,¤学习目标:掌握等比数列的通项公式;体会等比数列与指数函数的关系;能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.?¤知识要点:?2?k1.?若{a?{a?,

新课标高中数学全部精讲精练 必修⑤精讲精练全稿_图文

¤学习目标:掌握等比数列的通项公式;体会等比数列与指数函数的关系;能在具体的问题情境中,发现 数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.?

¤知识要点:?

2?k

1.?若{a?{a?,{can?}(c 1 0)?,?{anm?}(m? N *?)?,{a?n?}?是公比为q的等比数列,则数列{|a?n?|}?,?n?}?n?}?等,也

k?

为等比数列,公比分别为?|q|,q2?,q,qm,?q?.?若数列{b?为等比数列,则{ang b?,{n?}?n?}?

a?n?

?也是等比数列.?b?n?

2.?{a?l? N *?,则?amgan= akg?al? .?n?}?是公比为q的等比数列,若m+n=k+ l ,?m,n,k,?¤例题精讲:

【例1】在等比数列{ a? = 5?,?a9a10? = 100?,求?a18??.?n?}?,已知?a1?解:∵?a1a18= a9a10 ?,∴?a?18?=

a9a?100?10?

==?20?.?a1? 5?

2?

【例2】数列{ a?a1? = 1?,对任意?n? N *?,?an + 1)?,?bn=log2?(a 1)?都成 n?}?的各项均为正值,?n?+ + 1?-1=4an(an?

立.求数列{ a?b?n?}?、{ n?}?的通项公式.?

2?解:由?an + 1)?得,?(an+1+2an+1)(an+ 1?-2a n?-1)= 0?+ 1?-1=4an(an?

数列{ a?1?,整理为?an+ 1?+1=2(a 1)?.?n?}?的各项为正值,?an+ 1?+2a n?+1> 0?, ∴?an+ 1?=2a n?+ n?+?又?a1? +1=21 0?

∴数列{ a 1}??为等比数列. n?+

n?∴?an?+1=(a1? +1)×2n- 1?= 2?,?

an? =2n?- 1?,即为数列{ a?n?}?的通项公式.

∴?bn?=log2?(2n?-1+1)?=?n .?

121?1?【例3】设{an}是等差数列,bn=?(a?n?,已知b1+b2+b3=,b1b2b3=,

2?8?8?

(1)求证:数列{bn}是等比数列; (2)求等差数列{an}的通项an.?

1a?n?+ 1?(b?11?d?

解:(1)证:∵?n?+ 1?==(an+ 1?- a?n?=?()?=常数, ∴ 数列{bn}是等比数列.?

1?a?n?bn? 22?(2?1?1?3?

(2)由?b1b2b3=(b2? )?,得?b2? =.?

8?2?

b?1121?1?2?

设数列{b?}?公比为q,则?b+b+b=+b+bq=(+1+q?)?= ,解得?q = 4?或.?n?12322?

q2q 8?4?

111?a?n?

当?q = 4?时,?bn?=b2?q n-2=′4n-2=()-2n?+ 5?= ()?,所以?an?=-2n +?5?.?

222?

1?1111?a?n?

当?q = 时,?bn?=b2?q n-2=′()n-2=(2n?- 3?= ()?,所以?an?=2n -?3?.?∴?an?=-2n + 5?或2n-?3?.?

4?2422?

点评: 由相邻两项的比值恒等关系,可以证明一个数列为等比数列,同时也可以发现等差数列和等比数 列可以通过指数运算或者对数运算进行转化.?

【例?4】从盛满?a?升(a>1)纯酒精的容器里倒出?1?升,?然后装满水,?再倒出?1?升混合溶液后又用水装满,?如 此继续下去,?问第n次操作后溶液的浓度是多少?若a=?2,?至少倒几次后才能使酒精浓度低于10%?

a?- 11?

解:设每次操作后溶液浓度为数列?{a?=1?- ,而第?n+ 1?次操作后溶液浓度为?n?}?,则?a?1?=

aa

(a-1)?′ a?1?1?1?n?

an+ 1?==a?(1-?)?.?所以,数列{a?}?是以?a?=1?为首项,?q?=1?为公比的等比数列,?n?n?1?

aa a a

1?n?1?n?n- 1?

an?=a1?q?=(1?,即第n次操作后溶液的浓度为?(1-)?.?

a a 111?

当?a = 2?时,?an? =(1-)n?=n?< ,解得?n3?4?.?

2210?

所以,至少应倒4次后才能使酒精浓度低于10%.?点评:解题关键是探索所构造的数列是什么特征的数列 .?这里通过抓住计算溶液浓度的数量关系, 探索?an? + 1?与?a?n?之间的递推关系,将“溶液浓度”这一实际背景问题转化为等比数列模型.?注意不等式整数解.

※基础达标?

1.某细菌在培养过程中,每半小时分裂一次(一个分裂为两个),若开始只有这种细菌一个,设?a1? = 1?, 第一次分裂后的细菌数目为?a?2?,第二次分裂后细菌的数目为?a?3?,第n-1裂后细菌数目为?a?n?,那么(

n?- 1?

A.?an? =?2?

n?

B.?an? =?2?

n?+ 1?

C.?an? =?2?

).?

D.?an?=?2?n

2.在等比数列{ a? < 0?,若{ a?).?n?}?中,首项?a1?n?}?是递增数列,则公比q满足(

A.q>1????????????B.?q<1????????????C.?0<q<1?????????D.?q<0?

3.若{an}是等比数列,其公比是q,且-a5,a4,a6?成等差数列,则q等于( ).?

A.??1或2????????B.?1或-2?C.?-1或-2???????D.?-1或2?

4.已知等差数列{an}的公差为3,若a2,a4,a8?成等比数列,则a4?等于( ).?

A.?8?B.?10?C.?12?D.?14?

5.生物学中指出:生态系统中,在输入一个营养级的能量中,大约有10%~20%的能量能够流动到下一个 营养级(称为能量传递率),在H1→H2→H3→H4→H5→H6?这条生物链中,若使H6?获得10?kJ的能量,则需要H1?最多提供的能量是( ).?

4?5?6?7?

A.10?kJ?B.?10?kJ????????C.?10?kJ?D.?10?kJ?

1?4?

6.数列{an}满足an=-an-1?(n≥2),a1,则a4=?3?3?*7.在如图的表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每一纵列成 等比数列,则a+b+c的值为※能力提高?a?*?n?

8.已知等比数列{ b?a?n??N .?n?}?与数列{ n?}?满足?bn?=2,?

1?(1)判断{ a?是何种数列,并给出证明; (2)若?a+a= ,求?b1b2L b20? .?}?n?813

2?

1?

9.已知数列{ a?的前n项和为?S?,?S=(an?-1)(n??N *?)?.?}?n?n?n

3?

(1)求?a1,a?(2)求证:数列{ a?2???n?}?是等比数列.?

※探究创新?

10.定义一种运算“*”对于正整数满足以下运算性质: (1)2*2006= 1 ;(2)(2n+2)*2006=3×[(2n )*?2006]?,则2008* 2006 的值是?

32?

¤学习目标:探索并掌握等比数列的前n项和的公式;结合等比数列的通项公式研究等比数列各量;能在 具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.?

¤知识要点:?

na1?(q?= 1)?ì ? n?

1.?等比数列的前n项和公式为:?S?.?推导方法:乘公比q而错位相消法; a1?(1- q?)?a1?- an?q?n?= í

=(q?1 1)?1-q1?- q ??

aaa?a+×××+a3+a2S- a?

或者根据等比数列的定义,可得到n=×××=3=2?=q?=n= n?1?,整理即得.?

an-1a2a1an- 1+×××+a2+a1?Sn- an?

2.?依据等比数列的通项公式和前n项和公式,如果已知?a1?,an,q,n,?S?由方程思想可 n?五个量中任意的三个,

以求出其余的两个.?在应用等比数列求和公式时,一定要注意公比q的两种情况.?

¤例题精讲:

【例1】求等比数列1,2,4,…从第5项到第10项的和.?解:由?a1=1,a2?=2???得?q = 2?.?

1′(1- 24?)?1′(1- 210?)?∴?S = 15?,?S10? == 1023?.?4?=

1- 2?1-?2?

所以,从第5项到第10项的和为?S10-S 4?=?1008?.?

【例2】某企业去年的产值是138万元,计划在今后5年内每年比上一年产值增长10%,这5年的总产值 是多少?

解:这5年的产值是一个以?a1? =138′1.1= 151.8?为首项,?q = 1.1?为公比的等比数列,所以?

5?

a1?(1- q?)?151.8′(1- 1.15?)?S?=? 926.754?(万元). 5?=

1-q 1- 1.1?

【例3】在等比数列{a?n?}?中:

n?

(1)已知?an? =3′ 2?,求?S? =- 256?,?a5? =- 1?,求?S?6?; (2)已知?a1?5?.?

6?n?+ 1?

a?3′ 2?a1?(1- q?)?6′(1- 26?)?n?+ 1?

解:(1)由?an? =3′ 2?,得?a1? =3′2= 6?,?q?=== 2?,则?S?== 378?.?6?=n?

a 3′ 2?1-q 1-?2?n?

n?

1?

a?- 11114?1?5?

===8?= (, 解得?q =±.?a1? - 25625624?4?

1?1?

-256-(-1)?-256-(-1)′(1?a1- a5?q?1?a1- a5?q?=- =- 当?q = 时,?S?==341?;当?q =时,?S?==205?.?5?5?

1?1?4?1?- q 4?1?- q 1?1-(-4?4?

n?

a1?- an?q?a1?(1- q?)?

点评:当?q 1 1?时,若已知?a1?,q,?n,则选用公式?S?= ;若已知?a,q,?a?,则选用?S?.?根 n?1?n?n?

1?- q 1?-?q

据相关已知条件,合理选用公式,是简捷解决数学问题的前提.?

【例4】在等比数列{a?n?}?中:

1?

(1)已知?a1? = 3?,?a6? = 96?,求q与?S?; (2)已知?q =,?S ??.?6?5?= 11?,求?a?1?与?a5

2?

5?

ì 96=3?′ q?q?= 2?ì ?

3- 96?q?,解得?í 解:(1)易知?q 1 1?,由等比数列的通项公式与前n项和公式,得?í .?S?= S = 189?6???6?? 1?- q ? 1?4?ì

a=a?′(1?? 5

2?

? a?ì 1?5?? 1?= 16

a ′[1-(]?(2)由等比数列的通项公式与前n项和公式,得?í ,解得?í .?1?

a = 1?5???? 11?=

1?? 1-()

? ? 2?

点评:当已知等比数列?a1?,an,q,n,?S?n?五个量中任意三个时,由等比数列的通项公式和前n项和公式,可以 得到两个关于另外两个未知量的方程,解方程而求出其余两个量.

4?4

(2)由?a5= a1?q ,得?q?=

※基础达标?

1.等比数列1,3,9,27,×××的前10项的和为( ).?

A.??29524?????????B.?29452?????????C.?29542??????????D.?29540?2.首项为a的数列{ a?n?}?既是等差数列,又是等比数列,则这个数列前n项和为(

n?-1??

A.?a

).?

B.na?n?C.?a?D.(n-?1)?a

).??

1?

3.(07年湖南卷.文4) 在等比数列{a??n?N*) 中, 若?a1? = 1?,a?4? = , 则该数列的前10项和为 ( n?}(

8?

1?1?1?1?

A.?2?-4?B.?2?-?2?C.?2?-10?D.?2?-11?

2 2 2 2

S?

4.设等比数列{an}的前n项和为Sn,前n项的倒数之和为Tn,则n?的值为( ).?

T?n?

A.a1an?

B.?

a?1?

a?n?

C.a1?n?an??n?

D.?(

a?1?n?

?a?n?

a11a12a22a32a42a52

a13a23a33a43a53

a14a24a34a44a54

a?15?a?25?a?35?a?45?a55?

5.将给定的25个数排成如右图所示的数表,若每行5个数按从左至右的顺序构成 a21

等比数列, 每列的5个数按从上到下的顺序也构成等比数列, 且表正中间一个数a33=m,

a31

则表中所有数之积为( ).?

25?a41

A.m?B.?m?C.?25m?D.?m50??

3?a51

6.在等比数列{ a?中,?q =- 2?,?a = ,则?S }?n?3?3?=2?

7.等比数列{ a? =?33?,?a2g?a5? = 32?,?则?S n?}?中,?a1+a6?6?=※能力提高?

8.在等比数列{ a? = 18?,?a2+a3+a4? =- 9?,求?S?n?}?中,?a1+a2+a3?n?.?

9.某公司年初有资金500万元,由于坚持改革、大胆创新,每年资金递增20%,但是公司不忘回报社会, 每年年底资助希望工程40万元,如果m年后,该公司资金至少翻一番,求m的最小值.?

5?6?7?

(参考数据:1.2?≈2.49,1.2?≈2.99,1.2?≈3.58)

※探究创新?

10.某地区荒山2200亩,从2006年开始每年春季在荒山植树造林,第一年植树100亩,以后每一年比上 一年多植树50亩.(1)若所植树全部都成活,则到哪一年可将荒山全部绿化?(2)若每亩所植树苗木材量为2?立方米,每年树木木材量的自然增长率为?20%,那么全部绿化后的那一年年底,求该山木材总量.(精确到?1?立方米,参考数据:1.2?7?≈3.6,1.2?8?≈4.3,1.2?9?≈5.2)?

34?

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