新课标高中数学全部精讲精练 必修⑤精讲精练全稿_图文

导读:¤例题精讲:,提高利用数学知识解决实际问题的能力,认识数学在生产、生活实际中的作用.变式:如何测量不能到达的两点之间的距离.MN2,¤学习目标:能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与距离测量和几何计算有关的实际问题,提高分析和解决实际问题的能力.?¤知识要点:?1.?运用正弦定理和余弦定理,可以解决不可到达点的距离测量问题.?2.?测量方案的设计及两个距离测量问题:(1)一个可到达的

新课标高中数学全部精讲精练 必修⑤精讲精练全稿_图文

¤学习目标: 能够运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法解决一些与距离测量和几何计算有关的实际问题, 提高分析和解决实际问题的能力.?

¤知识要点:?

1.?运用正弦定理和余弦定理,可以解决不可到达点的距离测量问题.?

2.?测量方案的设计及两个距离测量问题:

(1)一个可到达的点到另一个不可到达的点之间的距离;(2)两个不可到达的点之间的距离.?

¤例题精讲:

【例1】设计一种借助于两个观察点C、D(已知两个观察点之间的距离d)测量航船的速度的方案. 解:方案可以是:船在时刻?t?ACD 和?D CDA ;再在时刻?t?1?在?A?处,测出?D 2?,航船沿直

线航行到B处,测出?D CDB 和?D?BCD .?此方案的计算过程如下:

(1)在?D ACD 中,由正弦定理求出AC; (2)在?D BCD 中,由正弦定理求出BC;

AB?(3)在?D .?ABC 中,由余弦定理求出AB; (4)计算速度?v?= t2-?t1 ?

【例2】在△ABC中,已知角B=45°,D是BC边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,求AB.?

2AC2+DC2-AD?72+32- 52?11?解:在△ADC中,cosC=== ,?2×AC

×DC 2′7′ 314?

又0<C<180°,∴sinC

ACAB?sinC?在△ABC

中,= ,∴AB=AC?=7sinBsin

?C sinB 【例3】如图,在四边形ABCD中,已知AD^CD,?AD=10,?AB=14, DBDA=60°, DBCD=135° 求BC?的长.?

解:在△ABD中,设BD=x,则?BA2=BD2+AD2?-2BD×AD×cos?D BDA

即?142=x2+102?-2×10x × cos60o ?,

整理得:?x2?-10x -96= 0?,

解之:?x1? = 16?,?x 6?

(舍去).?2?=-

BCBD?16?由正弦定理= , ∴?BC =×sin30o = .?o?sinDCDBsin?D BCD sin135?

点评:在已知两边及一边对角,可以由方程思想及余弦定理直接求第三边.?解三角形中,需认真分析图形 中的已知边和角,由两个定理的结构中边角的要求,从而合理选用正弦定理或余弦定理.?

【例4】如图,在河对岸可以看到两个目标物?M,?N?,但不能到达.?在河岸边选取相距40米的?P,?Q两点, 测得?DMPN = 75o ?,?DNPQ = 45o ?,?DMQP = 30o ?,?DMQN = 45o ?,试求两个目标物?M,?N?之间的距离.?

解:在?D PQN 中,?PQ= 40?,?DPQN =30°+45°=75°?,?DNPQ = 45o ?,?DPNQ =180°-75°-45°=60°?.?

PQNQ?40?NQ 根据正弦定理,= ,?= ,?sinDPNQ

sin?D NPQ sin60°sin45° ?

NQ =40′sin45?°.?sin60°?Q?o o 在?D PQM 中,?DMQP = 30?,?DMPQ =75+45°=120° ?,?DPMQ =180°-30°-120°=30°?.?

PQ

MQ?40?MQ 40?根据正弦定理,= ,?= ,?MQ =′sin120°= .?sinDPMQsin?D MPQ sin30°sin120° ?sin30°??

在?D

MNQ 中,根据余弦定理,?MN2=

MQ2+NQ

2?

-2MQ′NQ′cos?D MQN ,?

28000?+2?-2cos45?°=?.?

3?

∴ 两个目标物?M

,?

N?

之间的距离?MN米.?点评:解三角形知识在实践中测量方面有着广泛的应用.?我们需要加强动手实践,提高利用数学知识解决 实际问题的能力,认识数学在生产、生活实际中的作用.变式:如何测量不能到达的两点之间的距离.MN 2=

※基础达标?

1.如图,为了测量障碍物两侧A、B间的距离,给定下列四组数据,测量时应当选用数据(

A.α、a、b?B.α、β、a?C.a、b、γ?D.?α、β、b?

2.边长为5、7、

8的三角形的最大角与最小角之和为( ).?

A.?90°?B.?120°?C.?135

°?D.?50°?

3.两灯塔A,B

与海洋观察站C的距离都为10km, 灯塔A在C北偏东

15°,?

B在C南偏东45°,则A,B之间的距离为( ).?).?

A.?km?B.?km?C.?

km?D.?

km?

4.海上有A、B两个小岛相距

10海里,从A岛望C岛和B岛成

60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75° 的视角,则B、C间的距离是( ).?

?海里?海里?海里?2?*5.在?D )?,则C=( ).?ABC 中,已知?a4+b4+c4=2

c2(a2+ b

0?A.?30?0?B.?45?C.?450或135??0?D.?300或150??0?

o?6.ΔABC中,若∠B=30?,AB=BC=?.?

7.如图,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点?A、B,望对岸标记物?C,

测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120m,则河的宽度为?.?

※能力提高?

8.如图,我炮兵阵地位于A处,两观察所分别设于C,D,已知△ACD为边长

等于a的正三角形.当目标出现于B时,测得∠CDB=45°∠BCD=75°,试求炮

击目标的距离AB.(结果保留根式形式)?B

C?

A?

9.如图,河塘两侧有两物A、B,不能直接量得它们间的距离,但可以测算出它们的距离.?为此,在河塘 边选取C、D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=90°,CD=80米,试求A、B?两物间的距离(精确到0.1米).?

※探究创新

?

10. (06年湖南卷.

12

)如图,

D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=a ,∠ABC=b?.?

(1)证明?sina+cos2b = 0 ;(2)若AC,求b 的值.?

8?

¤学习目标: 能够运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法解决一些与高度测量和几何计算有关的实际问题, 提高分析和解决实际问题的能力.?

¤知识要点:?

1.?测量高度:运用正弦定理与余弦定理可测量底部不可到达的建筑物等的高度.?注意构造三角形.?

2.?俯角与仰角:视线与水平线之间的夹角,视线在水平线下方成俯角,视线在水平线上方成仰角.?

¤例题精讲:

【例?1】如图,在山脚测得山顶仰角∠CAB=45°,沿倾斜角为30°的斜坡走?1000?米

至S点,又测得山顶仰角为∠DSB=75°,求山高.?

解:∵∠SAB=45°-

30°=15°,∠

SBA=∠ABC-∠SBD=45°-15°=30°,

∴∠ASB=180°-30°-15°=135°.?

AS g?sin135°== (米), sin30∴BC=AB?sin45°==1000(米)?,所以山高为1000米.?【例?2】如图,一架直升飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内,已知飞机的

高度为海拔?10?千米,速度为?180?千米/小时,飞行员先看到山顶的俯角为30°,经

o 过2分钟后又看到山顶的俯角为75?,求山顶的海拔高度.?

2?解:在?D ABP 中,?DBAP =30°=?6?.??,?DAPB =75°-30°=45°?,?AB =180′60

?

ABBP?6?BP 根据正弦定理,= ,?= ,?BP =?

.?sin

DAPB

sin?D sin45°sin30° ?

BP g?sin75°=sin(45°+30°)?.?

所以,山顶P的海拔高度为?h =10?【例3】 如图, 在某点B?处测得建筑物AE?的顶端A的仰角为q , 沿BE?在△ABS中,AB=

方向前进30米至点C?处测得顶端?A的仰角为2q ,再继续前进米至?

D点,测得顶端A的仰角为4q ,求q 的大小和建筑物AE?的高.?

解:在?D ABC 中,由?DBAC=DACD-DABC =2q?-q= q ,可得?

AC=BC =?30?.?在?

D ADC 中,?DDAC=DADE-DACD = 2q? ,?DADC =180°- 4q? ,

?AC = 30?,?AD=DC =?.?

CDAC?3030?根据正弦定理,,?== ,

sin(180°- 4q)2sin2qcos2q sinDDACsin?D ADC

解得?cos2?q ,所以2q =30 °,即

?q =15° .?在RtD AED 中,?AD = ?DADE =4q =60°?,?

AE=ADg?sinDADE =60°= 15?.?

所以,?q =15 °,建筑物AE?的高为15米.?

点评:陆地上建筑物问题作为应用背景, 一定要搞清楚仰角的概念 (向上看物体时, 视线与水平线的夹角), 解三角形时除了考虑正、余弦定理,同时也要注意直角三角形中边角关系的利用.?

【例4】河对岸有一电线杆PO,若不能过河,你能测量出电线杆的高度吗?若能,如何测量?

解: 不过河可以测量.?测量步骤如下: ①先在电线杆的对岸找两点A与B?(A?

和B之间距离越长,测量的精度越高),并测量出它们之间的距离AB;

②测出∠OAB与∠OBA大小,计算?DAOB=180°-(DOAB+D OBA) ?;

ABg sin?

D OBA?③ 由正弦定理可求得AO的长度,?AO?= ; sin

?D AOB

④ 量出∠PAO的大小;⑤ 计算电线杆的高PO,

0?在?D , 电线杆高PO=AOtan∠PAO.?POA 中,∠POA=90?

点评:已知条件非常隐蔽,构筑三角形的点要自已找,要求我们要仔细分析 清楚题意,哪三点组成三角形达到最佳,最利于解题.?测量时要合理构筑三角形.

※基础达标?

1.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α、β的关系为( ).?

A.α>β?B.α=β?C.α+β=90°?D.α+β=180°?

o o 2. 在高150米的山顶上,测得山下一铁塔的塔顶与塔底的俯角分别为30?,60?,则铁塔高度为( ).?

A.100米?B.?150米?C.?200米?D.?300米

?

3.有一长为1千米的斜坡,它的倾斜角为30°,现要将倾斜角改为20°,则坡底要伸长( ).?

1?A.?1

千米?B.?cos10°千米?C.?2cos10°千米?D.?千米?2cos10°

4.飞机沿水平方向飞行,在?A?处测得正前下方地面目标?C?得俯角为?30°,向前飞行?10000?米,到达?B?处,此时测得目标C的俯角为75°,这时飞机与地面目标的直线距离为( ).?

A.?5000米?米?C.?4000米?D.?米?

5.如图,D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点仰

角分别是β,α(α<β),则A点离地面的高度AB等于( ).?

a sinasin?b a sina× sin?b A.?B.?sin(b-?a )?cos(a-?b )?

a sinacos?b a cosasin?b D.?sin(b-?a )?cos(

a-?b )?

6.树干被台风吹断折成与地面成30°角,树干底部与树尖着地处相距20米,则树干原来的高度为7.甲、乙两楼相距?20?米,从乙楼底望甲楼顶的仰角为?60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为?30°,则甲、 ※能力提高?C.?

8.如图,在某点B?处测得建筑物AD的顶端A的仰角为15

°,沿BD方向前进30

+ C?处测得 顶端A的仰角为60°,求建筑物AD的高.?9.航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的高度为海拔10000m,速度为180km(千

0?0?米)/h(小时)飞机先看到山顶的俯角为15?,经过420s(秒)后又看到山顶的俯角为45?,求山顶的海拔高度

1.4

1.7).

※探究创新?

10.海岛O上有一座海拨1000米的山,山顶上设有一个观察站A,上午11时,

测得一轮船在岛北?60°东?C?处,俯角?30°,11?时?10?分,又测得该船在岛北?60°

西B处,俯角60°.?(1)这船的速度每小时多少千米?(2)如果船的航速不变,

它何时到达岛的正西方向?此时所在点E离岛多少千米??

10?

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