2012年湖北省荆门市中考数学试卷

导读:中考数学讨论组QQ群:259315766,欢迎中考考生、初三数学教师、家长加入!,中考数学讨论组QQ群:259315766,欢迎中考考生、初三数学教师、家长加入!24.(2012?荆门)如图甲,四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D,交y轴于点E,连接AB、AE、BE.已知tan∠CBE=,A(3,0),D(﹣1,0),E(0,3).(1)求

2012年湖北省荆门市中考数学试卷

中考数学讨论组QQ群:259315766,欢迎中考考生、初三数学教师、家长加入!

24.(2012?荆门)如图甲,四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D,交y轴于点E,连接AB、AE、BE.已知tan∠CBE=,A(3,0),D(﹣1,0),E(0,3). (1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标; (2)求证:CB是△ABE外接圆的切线;

(3)试探究坐标轴上是否存在一点P,使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似,若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由;

(4)设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度(0<t≤3)时,△AOE与△ABE重叠部分的面积为s,求s与t之间的函数关系式,并指出t的取值范围.

考点: 二次函数综合题。

专题: 代数几何综合题;压轴题;分类讨论。

分析: (1)已知A、D、E三点的坐标,利用待定系数法可确定抛物线的解析式,进而能得到顶点B的坐标.

(2)过B作BM⊥y轴于M,由A、B、E三点坐标,可判断出△BME、△AOE都为等腰直角三角形,易证得

∠BEA=90°,即△ABE是直角三角形,而AB是△ABE外接圆的直径,因此只需证明AB与CB垂直即可.BE、AE长易得,能求出tan∠BAE的值,结合tan∠CBE的值,可得到∠CBE=∠BAE,由此证得∠CBA=∠CBE+∠ABE=∠BAE+∠ABE=90°,此题得证.

(3)△ABE中,∠AEB=90°,tan∠BAE=,即AE=3BE,若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似,那么该三角形必须满足两个条件:①有一个角是直角、②两直角边满足1:3的比例关系;然后分情况进行求解即可.

(4)过E作EF∥x轴交AB于F,当E点运动在EF之间时,△AOE与△ABE重叠部分是个五边形;当E点运动到F点右侧时,△AOE与△ABE重叠部分是个三角形.按上述两种情况按图形之间的和差关系进行求解.

解答: (1)解:由题意,设抛物线解析式为y=a(x﹣3)(x+1). 将E(0,3)代入上式,解得:a=﹣1.

∴y=﹣x2+2x+3. 则点B(1,4).

(2)证明:如图1,过点B作BM⊥y于点M,则M(0,4). 在Rt△AOE中,OA=OE=3, ∴∠1=∠2=45°,AE=

=3

在Rt△EMB中,EM=OM﹣OE=1=BM, ∴∠MEB=∠MBE=45°,BE=∴∠BEA=180°﹣∠1﹣∠MEB=90°. ∴AB是△ABE外接圆的直径. 在Rt△ABE中,tan∠BAE=

==tan∠CBE,

=

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∴∠BAE=∠CBE. 在Rt△ABE中,∠BAE+∠3=90°,∴∠CBE+∠3=90°. ∴∠CBA=90°,即CB⊥AB. ∴CB是△ABE外接圆的切线.

(3)解:Rt△ABE中,∠AEB=90°,tan∠BAE=,sin∠BAE=

,cos∠BAE=

若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似,则△DEP必为直角三角形; ①DE为斜边时,P1在x轴上,此时P1与O重合;

由D(﹣1,0)、E(0,3),得OD=1、OE=3,即tan∠DEO==tan∠BAE,即∠DEO=∠BAE 满足△DEO∽△BAE的条件,因此 O点是符合条件的P1点,坐标为(0,0). ②DE为短直角边时,P2在x轴上;

若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似,则∠DEP2=∠AEB=90°,sin∠DP2E=sin∠BAE=而DE=

=

,则DP2=DE÷sin∠DP2E=

÷

=10,OP2=DP2﹣OD=9

即:P2(9,0);

③DE为长直角边时,点P3在y轴上;

若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似,则∠EDP3=∠AEB=90°,cos∠DEP3=cos∠BAE=则EP3=DE÷cos∠DEP3=

÷

=

,OP3=EP3﹣OE=;

综上,得:P1(0,0),P2(9,0),P3(0,﹣).

(4)解:设直线AB的解析式为y=kx+b. 将A(3,0),B(1,4)代入,得∴y=﹣2x+6.

过点E作射线EF∥x轴交AB于点F,当y=3时,得x=,∴F(,3).

情况一:如图2,当0<t≤时,设△AOE平移到△DNM的位置,MD交AB于点H,MN交AE于点G. 则ON=AD=t,过点H作LK⊥x轴于点K,交EF于点L. 由△AHD∽△FHM,得

,即

. 解得

解得HK=2t.

∴S阴=S△MND﹣S△GNA﹣S△HAD=×3×3﹣(3﹣t)2﹣t?2t=﹣t2+3t.

情况二:如图3,当<t≤3时,设△AOE平移到△PQR的位置,PQ交AB于点I,交AE于点V. 由△IQA∽△IPF,得解得IQ=2(3﹣t).

.即

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∴S阴=S△IQA﹣S△VQA=×(3﹣t)×2(3﹣t)﹣(3﹣t)2=(3﹣t)2=t2﹣3t+.

综上所述:s=.

点评: 该题考查了二次函数的综合题,涉及到二次函数解析式的确定、切线的判定、相似三角形的判定、图形面积

的解法等重点知识,综合性强,难度系数较大.此题的难点在于后两个小题,它们都需要分情况进行讨论,容易出现漏解的情况.在解答动点类的函数问题时,一定不要遗漏对应的自变量取值范围.

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