数值分析第4版答案

导读:且R?(xk)?R?(xk?1)?0?R(x)可写成R(x)?g(x)(x?xk)(x?xk?1)22其中g(x)是关于x的待定函数,现把x看成[xk,xk?1]上的一个固定点,作函数?(t)?f(t)?H3(t)?g(x)(t?xk)(t?xk?1)22根据余项性质,有?(xk)?0,?(xk?1)?0?(x)?f(x)?H3(x)?g(x)(x?xk)(

数值分析第4版答案

且R?(xk)?R?(xk?1)?0

?R(x)可写成R(x)?g(x)(x?xk)(x?xk?1) 22

其中g(x)是关于x的待定函数,

现把x看成[xk,xk?1]上的一个固定点,作函数

?(t)?f(t)?H3(t)?g(x)(t?xk)(t?xk?1) 22

根据余项性质,有

?(xk)?0,?(xk?1)?0

?(x)?f(x)?H3(x)?g(x)(x?xk)(x?xk?1)

?f(x)?H3(x)?R(x)

?022

?(t)?g(x)[2(t?xk)(t?xk?1)?2(t?xk?1)(t?xk)] ??(t)?f?(t)?H322

???(xk)?0

??(xk?1)?0

由罗尔定理可知,存在??(xk,x)和??(x,xk?1),使

??(?1)?0,??(?2)?0

即??(x)在[xk,xk?1]上有四个互异零点。

根据罗尔定理,???(t)在??(t)的两个零点间至少有一个零点, 故???(t)在(xk,xk?1)内至少有三个互异零点,

依此类推,?(4)(t)在(xk,xk?1)内至少有一个零点。

记为??(xk,xk?1)使

?(4)(?)?f(4)(?)?H3(4)(?)?4!g(x)?0

(4)又?H3(t)?0

?g(x)?f(4)(?)

4!,??(xk,xk?1)

其中?依赖于x

f(4)

?R(x)?(?)

4!(x?xk)(x?xk?1) 22

分段三次埃尔米特插值时,若节点为xk(k?0,1,?,n),设步长为h,即

xk?x0?kh,k?0,1,?,n在小区间[xk,xk?1]上

R(x)?f(4)(?)

4!(x?x22

k)(x?xk?1)

?R(x)?1

4!f(4)(?)(x?x2

k)(x?xk?1)2

?1

4!(x?xk)2x(2k?1?x)mfx(4x)()a?x?b

?1

4![(x?xk?xk?1?x22axf(4(x)

2)]m)

a?x?b

1

?4!?1

24h4maxf(4()x)a?x?b

h4

?(4)

384maxf(x)a?x?b

16.求一个次数不高于4次的多项式P(0)?P?(0)?0,P(1)?P?(1)?0,P(2)?0

解:利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式 x0?0,x1?1

y0?0,y1?1

m0?0,m1?1

11

H3(x)??yj?j(x)??mj?j(x)

j?0j?0

?x?x0

0(x)?(1?2x)(x?x1

0?x1x?x)2 01

?(1?2x)(x?1)2

?x?x1

1(x)?(1?2x)(x?x0

1?x0x1?x)20

?(3?2x)x2

?2

0(x)?x(x?1)

?1(x)?(x?1)x2 P(x),使它满足

?H3(x)?(3?2x)x?(x?1)x??x?2x 2232

设P(x)?H3(x)?A(x?x0)2(x?x1)2 其中,A为待定常数

?P(2)?1

?P(x)??x?2x?Ax(x?1)?A?1

43222 1

4x(x?3) 22从而P(x)?

17.设f(x)1?(/)?x2,在?5?x?5上取n?10,按等距节点求分段线性插值函数Ih(x),计算各节点间中点处的Ih(x)与f(x)值,并估计误差。 解:

若x0??5,x10?5

则步长h?1,

xi?x0?ih,i?0,1,?,10

f(x)?1

1?x2

在小区间[xi,xi?1]上,分段线性插值函数为

Ih(x)?x?xi?1xi?xi?1f(xi)?x?xixi?1?xi

?(x?xi)f(xi?1) ?(xi?1?x)11?xi211?xi?12

各节点间中点处的Ih(x)与f(x)的值为

当x??4.5时,f(x)?0.0471,Ih(x)?0.0486 当x??3.5时,f(x)?0.0755,Ih(x)?0.0794 当x??2.5时,f(x)?0.1379,Ih(x)?0.1500 当x??1.5时,f(x)?0.3077,Ih(x)?0.3500 当x??0.5时,f(x)?0.8000,Ih(x)?0.7500

误差

maxf(x)?Ih(x)?

1

1?x2h2?5?x?5xi?x?xi?18maxf??(?) 又?f(x)?

?f?(x)?

f??(x)?

f???(x)? ,?2x(1?x)223226x?2(1?x)3 24x?24x

(1?x)24

令f???(x)?0 得f??(x)的驻点为x1,2??1和x3?0

1

2f??(x1,2)?,f??(x3)??2

1

4 ?maxf(x)?Ih(x)??5?x?5

18.求f(x)?x2在[a,b]上分段线性插值函数Ih(x),并估计误差。 解:

在区间[a,b]上,x0?a,xn?b,hi?xi?1?xi,i?0,1,?,n?1, h?maxhi0?i?n?1

?f(x)?x2

?函数f(x)在小区间[xi,xi?1]上分段线性插值函数为 Ih(x)?

?1

hi2x?xi?1xi?xi?1f(xi)?2x?xixi?1?xif(xi?1) [xi(xi?1?x)?xi?1(x?xi)]

误差为

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