新编线代概率习题全解

导读:11c+a1d+a=(b?a)(c?a)(d?a)b+ab2(b+a)c2(c+a)d2(d+a)10c?b0d?b=(b?a)(c?a)(d?a)b+ab2(b+a)c2(c+a)?b2(b+a)d2(d+a)+b2(b+a)=(b?a)(c?a)(d?a)(c?b)(d?b)11(c2+bc+b2+a(c+b))(d2+bd+b2+a(d+b))=(a?

新编线代概率习题全解

11c+a

1d+a

=(b?a)(c?a)(d?a)

b+a

b2(b+a)c2(c+a)d2(d+a)

10c?b

0d?b

=(b?a)(c?a)(d?a)

b+a

b2(b+a)c2(c+a)?b2(b+a)d2(d+a)+b2(b+a)

=(b?a)(c?a)(d?a)(c?b)(d?b)

11

(c

2

+bc+b2+a(c+b)

)(d

2

+bd+b2+a(d+b)

)

=(a?b)(a?c)(a?d)(b?c)(b?d)(c?d)(a+b+c+d)。

或 此行列式很像范德蒙行列式,但缺少了三次幂。因而可用加边法添加上三次幂,使新的行列式成为范德蒙行列式,然后通过比较系数确定D。

利用加边法构造行列式,并根据范德蒙行列式的结果,有(记a,b,c,d为ai,i=1,2,3,4)

1a1

2f(x)=a1

3a14a1

1a2

2a23a24a2

1a3

2a33a34a3

1a4

2a43a44a4

1xx3

x2=∏(x?ai)

i=1

4

1≤j<i≤4

∏(ai?aj)。

x4

另一方面,对f(x)按第5列展开,有f(x)=A15+A25x+A35x2+A45x3+A55x4,根据题意,D=?A45,即x的系数的相反数就是D。显然,x的系数是?∑ai?

3

3

i=14

1≤j<i≤4

∏(ai?aj),所以D=∑ai?∏(ai?aj)。

i=1

1≤j<i≤4

4

注 “加边法”是行列式计算中较高级的方法,能够巧妙地解决某些较复杂的问题。但此方法较灵活,不易掌握。

4. 设n阶行列式D=detaij,把D上下翻转,或逆时针旋转90°,或依副对角线翻转,依次得

an1"anna1n"annann"a1n

D1=""", D2=""", D3=""",

a11"a1na11"an1an1"a11

()

证明:D1=D2=(?1)

n(n?1)/2

D,D3=D。

a11

an1"a21

a11

"a1n

a21

"annn?1+n?2

an1=(?1)

""

"

"a2n

a31

an1"ann

n?1

证 D1="""=(?1)

a11"a1n

"""""

a1na2nann "a3n

="=(?1)

1+2+"n?2+n?1

a11"a1n

n(n?1)/2

"""=(?1)D。 an1"ann

7

同理可证,D2=(?1)

n(n?1)/2

D,D3=(?1)

n(n?1)2

D2=(?1)

n(n?1)2

(?1)

y

x

n(n?1)2

D=(?1)

n(n?1)

D=D。

5. 计算下列行列式:

+x111?x11

11

11

11

0abaa0abba0aaba0

x0

0y

""

0000

(1)

1+y111?y

; (2)

; (3) """"";

000"xyy00"0x

x?10

x?10

(4) ""

000anan?1an?2"00"00"""; (5) "x?1"a2a1+x

?a1a10"0?a2a2""01

"01

0000122334""n1

(6) 345" 2。"""";

0"?anan""""1"11n12"n?1?x0=x1y

1

01

解 (1) 原式=

x10x1?x000

11

11

y1y1?y

=

x100?x000

1110

10

y1y1?ya?a

=?x2y(?y)=x2y2。

y1?y

(2) 原式=

2a+baba2a+b0ab2a+ba0a2a+bba0

=(2a+b)

baa?bb?a

0?a

00?b0b?aa?b

=(2a+b)(?b)

?ab?a

=b2b2?4a2。

b?a?a

()

(3) 原式=x

xy"00"""""00

00

""

x0yx

+(?1)

n+1

y

yx0y""0000

""""00"xy

=xn+(?1)

n+1

yn。

(4) 按第一列展开,然后用递推法。

x0Dn=

?1x

""

00""00an?1an?2

x?1

"00xn+10

+an(?1)

""""""x?100"a2a1+x00

n+1

000

?10"00

"00"00

""""?10"

x?1

=xDn?1+an(?1)

(?1)n+1=xDn?1+an,从而,Dn=an+xDn?1=an+x(an?1+xDn?2)

=an+an?1x+x2(an?2+xDn?3)="=an+an?1x+an?2x2+"+a3xn?3+xn?2(a2+xD1) =an+an?1x+an?2x2+"+a2xn?2+xn?1(a1+x)=an+an?1x+an?2x2+"+a1xn?1+xn。 (5) 将第2列至第n+1列分别加到第1列,得

8

原式="

0n+1

a1?a2"01

0"a2"

00

"""0"?an1"1

a10?a2a2n+2

"=(?1)(n+1)

""

an

00

1

00

"""00"00n

=(?1)(n+1)a1a2"an。 "an

"?an

(6) 各列均加于第一列,并提出公因子得

"n11"11?n

123011

"1?nr2?r3

11"1原式=12n(n+1)011"1r?n3?r4=1

n(n+1)11"1"""""2

01?n1"1r""""n?rn?1

?n1"1?1?1?1"?1100?n"0

n(n?1)nn

+nn?1

=2n(n+1)000"0=(?1)2

。 """""2

?n00"0

6. 计算下列行列式(Dk为k阶行列式):

a

"

01

0a0"00

an

(a?1)n

"(a?n)n(1) D00a"00

an?1

(a?1)n?1

"(a?n)n?1

n=

"""""

;(2) Dn+1="""";000"a0

aa?1"a?n100"0a

11

"

1

an

bn

%

$

(3) Da1b12n=

c; (4) Dn=det(aij)

,其中aij=i?j;

1d1$

%

cn

dn

+a11"1(5) D11+a1

n=

2"

"""

"

,其中a1a2"an≠0。 11"1+ana

"

01

0a0"00

000"01解 (1) D00a"00a00"00

n+1n=""""""

=an

+(?1)0a0"00

000"a0

"""""

100"0a000"a0

9

1

1

将各行加 "

至第一行1

a

=a+(?1)

n

n+1

?(?1)

n

%

a(n?2)

=an?an?2。

(2) 从第n行开始,第n行经过n次相邻对换,换到第1行,第n?1行经n?1次对换换到第2行,经n+(n+1)+"+1=n(n+1)/2次行交换,得

Dn+1=(?1)

n(n+1)2

1a"an?1an

1a?1"

"""""

1a?n"

范德

蒙n(n+1)

Π?(a?i+1)?(a?j+1)?行=(?1)2? n+1≥i≥j≥1?

列式

(a?1)n?1(a?1)n(a?n)n?1(a?n)n

?(?1)

=(?1)

n(n+1)2

??(i?j)??=(?1)n+1≥i≥j≥1?Π

n(n+1)2

n+(n?1)+"+1

n+1≥i≥j≥1?

Π

?(i?j)?Π?(i?j)??=n+1≥?。 i≥j≥1?

(3) 按第一行展开

an?1

bn?1

an?1

%

a1c1$

dn?1

dn

cn

cn?1

b1d1

%

dn?1

n

bn?1$

%$

a1b1

D2n=

$cn?10

都按最后一行展开

c1d1

%

+(?1)

2n+1

bn

andnD2n?2?bncnD2n?2,得D2n=(andn?bncn)D2n?2,从而D2n=Π(aidi?bici)D2。

i?2

又D2=

na1b1

=a1d1?b1c1,故D2n=Π(aidi?bici)。

i?1c1d1

010

12"

2101"

3210"

"n?1""""

(4) Dn=detaij

()

12=

3"

n?1n?2n?3n?4"

?1

c2+c1?1c3+c1?1c4+c1?1

"#

0?2

?2?2"

00?2?2"

000?2"

"""""

111?1

r1?r2

11n?2?1?1

r2?r3

1n?3?1?1?1

r3?r4=n?4?1?1?1?1

r4?r5"""""

#0n?1n?2n?3n?4

"1

"1

"1

"1"""

00n?1

=(?1)(n?1)2n?2。 0"

n?12n?32n?42n?5"n?1

10

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