新编线代概率习题全解

导读:《线性代数》《概率论与数理统计》习题解答(第1版),习题5.1,习题5.2,《线性代数》《概率论与数理统计》习题解答(第1版)第5章二次型习题5.11.用矩阵记号表示下列二次型:(1)f=x2+4y2+z2+4xy+2xz+4yz;2222+x2+x3+x4?2x1x2+4x1x3?2x1x4+6x2x3?4x2x4。(2)f=x1?1?1?121??x???11?????解(1)f(x,y,

新编线代概率习题全解

《线性代数》《概率论与数理统计》习题解答 (第1版)

第5章 二次型

习题5.1

1. 用矩阵记号表示下列二次型: (1) f=x2+4y2+z2+4xy+2xz+4yz;

2222

+x2+x3+x4?2x1x2+4x1x3?2x1x4+6x2x3?4x2x4。 (2) f=x1

?1?1

?121??x??

?11?????解 (1) f(x,y,z)=(x,y,z)?242??y?;(2) f(x1,x2,x3,x4)=(x1,x2,x3,x4)?23

?121??z??????

??1?21??1?1?3

???10?22??2. 写出对称矩阵A=所对应的二次型。 ??3?2?32???

0??12?2

2?1??x1?

???3?2??x2?

10??x3?

????01???x4?

122

解 矩阵A对应的二次型为f(x1,x2,x3,x4)=x1+x3?2x1x2?6x1x3+2x1x4?4x2x3+x2x4?3x3x4。

3?123???

3. 写出二次型f(x)=x?456?x的矩阵。

?789???

T

?123??x1?????222

解 f(x)=(x1,x2,x3)?456??x2?=x1+5x2+9x3+6x1x2+10x1x3+14x2x3

?789??x????3??135??x1??135?

??????

=(x1,x2,x3)?357??x2?,故f的矩阵A=?357?。

?579??x??579????3???

注 对任一n阶方阵A,f(x)=xTAx均是(n个变元的)二次型,这可从本题得到验证。但此二次型f的矩阵不一定是A。由于f为一个数(一阶矩阵),故f=fT,于是

f=xAx?f=f

TT

=xAx

(

T

)

T

A+AT

=xAx?f=xx。

2

T

T

T

A+ATA+ATT

因为是对称矩阵,故二次型f=xAx的矩阵为。

224. 对于下列对称矩阵A与B,求出非奇异矩阵C,使CTAC=B:

?011??211?

????A=?121?,B=?101?。

?110??110?????

?011??x1?????2

解 设f=(x1,x2,x3)?121??x2?=2x2+2x1x2+2x1x3+2x2x3,

?110??x????3??211??y1?????2

+2y1y2+2y1y3+2y2y3。 g=(y1,y2,y3)?101??y2?=2y1

?110??y????3?

?y1=x2?011??211?

?????2

令?y2=x1,则g=2x2+2x1x2+2x1x3+2x2x3=f,因此A=?121? 和 B=?101?分别是二次?y=x?110??110?

????3?3

型f在变元x1,x2,x3及y1,y2,y3下的二次型。

?x1=y2?x1??010??y1??010?

?????????

令?x2=y1,则C=?100?非奇异,且?x2?=?100??y2?。 ?x=y?x??001??y??001?

??3????3??3?3

?x1???y1???y1??y1??y1?

????????????T

显然,f=(x1,x2,x3)A?x2?=?C?y2??AC?y2?=(y1,y2,y3)CAC?y2?=(y1,y2,y3)B?y2?。

?x???y???y??y??y??3???3???3??3??3??010???

B=CAC,即C=?100?为所求。

?001???

T

T

?121?

??

5. 求二次型f(x1,x2,x3)=xT?010?x的秩。

?121???

?121??121?

????

解 显然,矩阵?010?→?010?的秩为2,即二次型的秩为2。

?121??000?????

22

+x2?4x1x2?4x2x3,分别作下列可逆变换,求出新的二次型: 6. 设二次型f=2x1

??11?2?

???

(1) x=?01?2?y;

(2) x=??001??????

?

?y。 ??T

?200??2?20??11?2??2?20??11?2?

???????T?T?T?解 (1) f=x??21?2?x=y?01?2???21?2??01?2?y=y?0?10?y,

?0?20??001??0?20??001??004???????????

222

新的二次型为f=2y1?y2+4y3。

???2?20?

????

(2) f=xT??21?2?x=yT??

?0?20???????

T

?100??2?20???

?????T???yy212=0?10????y, ??

?0?20???001????????

222

新的二次型为f=y1?y2+y3。

2227. f(x1,x2,x3)=x1+x2+ax3+4x1x2+6x2x3的秩为2,求a的值。

0??120??120??12

??????

解 对二次型的矩阵作初等变换?213?→?0?33?→?0?33?。

?03a??03a??00a+3???????

因为二次型的秩为2,所以a+3=0,即a=?3。

习题 5.2

1. 求一个正交变换将下列二次型化为标准形:

222

(1) f(x1,x2,x3)=5x1+5x2+3x3?2x1x2+6x1x3?6x2x3,并指出f(x1,x2,x3)=1表示何种曲面; 2222(2) f=x1+x2+x3+x4+2x1x2?2x1x4?2x2x3+2x3x4。

?5?13?

??

解 (1) 二次型的矩阵为??15?3?。

?3?33???

5?λ?1

A?λE=?15?λ

3

?3

30?3=?13?λ

(4?λ)(6?λ)

5?λ12?3λ

3λ?12

6?λ3λ?12

?3=(4?λ)

?6?λ3

?6?λ

=?λ(λ?4)(λ?9),A的特征值为λ=0,4, 9。

?5?13???15?3??1?53??102?????????

λ=0时,A?λE=??15?3?→?024?12?→?02?1?→?01?2?,

?3?33??012?6??000??000?????????1???1???1?x1=?x3,?x=?1,?????12即?令x3=2,得?,特征向量为?1?,单位化得p1=1?。 1x=1,?2?x=x,?2?2?

23??

??2??1?13??1?13??1?10?

??????

λ=4时,A?λE=??11?3?→?00?10?→?001?,

?3?3?1??00??0??????000??1??1?

?x1=x2,???即?令x2=1,得x1=1,特征向量为?1?,单位化得p2=1?。 x=0,?30??0?

???

3??10?1???4?13??14

??????

λ=9时,A?λE=??1?4?3?→?01515?→?011?,

?3?3?6??0?15?15??000???????

《线性代数》《概率论与数理统计》习题解答 (第1版)

?1??1?

?x1=x3,?x1=1,???即?令x3=1,得?,特征向量为??1?,单位化得p3=?1?。

x=?x,x=?1,3?2?21??1?

???

???x1?????从而,所求正交变换为?x2?=?

?x???3????0

???

?y1???22?y2?,标准形为f=4y2+9y3。 ??

y??3???

22

因为正交变换不改变曲面形状,所以f(x1,x2,x3)=1即f=4y2+9y3=1表示椭圆柱面。

?110?1?

??11?10??。 (2) 二次型的矩阵A=

?0?111?????1011??λ1011?λ?1

A?λE=

?11?λ0

?1

1

?102λ?λ21?λ?1

2λ?λ2

0?111?λ02

==?(λ?1)?11?101?λ1

1

1?λ01?λ01?λ

1?1

11 01

+2λ?λ21?122

=?(λ?1)?211=(λ+1)(λ?3)(λ?1),A的特征值为λ1=?1, 3,λ2= λ3=λ4=1。

001

?210?1??12?10??1032?

??????12?10??0?121??0?121?? →→λ1=?1时,A?λ1E=

?0?121??0202??0044?????????1012??0?32?1??00?4?4??1?0→??0??0

032??1

??

1?2?1??0

011??0

??

000??0

00?1?

?x1=x4,?

101??

,即?x2=?x4,令x4=1,可得单位特征向量p1=

011??x=?x,?4?3000?

?2?1?1?2

0??103?2????1??0?1?21?

?20?2??004?4?

???

?3?2?1??004?4?

?1???1??1?

。 2??1????1?

??210?1??1???1?2?10?→?0λ2=3时,A?λ2E=?

?0?1?21??0?????101?2??0?1?0→??0??0

03?2??1

??

12?1??0

01?1??0

??

000??0

0010

1???1?

?x1=?x4,???

1?1??1??

,即?x2=?x4,令x4=1,可得单位特征向量p2=。

??01?1?12?x=x,???4?3

000??1?

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