新编线代概率习题全解

导读:?11a??1?????3.已知A=?1a1?,β=?1?,且方程组Ax=β有解但不唯一,试求?a11???2?????(1)a的值;(2)正交矩阵Q,使QTAQ为对角形。1a?11a1??1???解(1)B=?1a11?→?0a?11?a?a11?2?????01?a1?a2??11a??1?a?→?0a?1???2?a??002?a?a210???。??

新编线代概率习题全解

?11a??1?

????

3. 已知A=?1a1?,β=?1?,且方程组Ax=β有解但不唯一,试求

?a11???2?????

(1) a的值;(2) 正交矩阵Q,使QTAQ为对角形。 1a?11a1??1

???

解 (1) B=?1a11?→?0a?11?a

?a11?2?????01?a1?a2

??11a

??

1?a?→?0a?1

???2?a??002?a?a210

???。 ??2?a?10

因为方程组有解但不唯一,故R(A)=R(B)<n=3,得a=?2。 ?λ

(2) A?λE=1

?2

1?203?λ?λ2λ?3

3?λ?λ2

?2?λ1=1?2?λ1=?

?3?2λ

11?λ0?3?2λ3?λ

λ?3

=?λ(λ?3)(λ?3), 3?λ

A的特征值为0,?3,3。

?11?2??11?2??10?1??1?

?x1=x3,????????

λ=0时,A?λE=?1?21?→?0?33?→?01?1?,即?令x3=1,得p1=?1?;

x=x,3?2??211??03?3??000??1?

?????????1??41?2??111??10?1?

?x1=x3,????????

λ=?3时,A?λE=?111?→?036?→?012?,即?令x3=1,得p2=??2?;

x=?2x,23??1???214??0?3?6??000?

??????????21?2??1?21??101???1?

x=?x,?????????13

λ=3时,A?λE=?1?21?→?0?30?→?010?,即?令x3=1,得p3=?0?;

x=0,?2??21?2??000??000??1?

????????单位化后得正交矩阵Q=?0?

???T

?3?为对角形。 0?,使QAQ=???3????1???

4. 设三阶对称矩阵A的特征值为λ1=1,λ2=?1,λ3=0,对应λ1,λ2的特征向量依次为p1=?2?,p2=

?2????2???

?1?,求A。 ??2???

解 因为A对称,所以必有正交阵Q=(q1,q2,q3),使QTAQ=Q?1AQ=diag(1,?1,0)。 ?1??2?1??1??

显然,q1,q2可取为p1,p2的单位化向量,即q1=?2?,q2=?1?。

3??3??2????2?

T?p1q3=0,?

由于A的三个特征值互不相同,故q3与p1,p2正交,即?

T??p2q3=0.

?2?T??p1?122??10?2?1??

??=?→??,可得q3=??2?。 ?pT??21?2?0123??????2?

?1?

?122??100??122???102?1??????1??

从而,A=Qdiag(1,?1,0)Q=?21?2??0?10??21?2?=?012?。

9???000??2?21?3?220??221????????

T

?a?

??

5. 设A为三阶实对称矩阵,特征值为λ1=1,λ2=?1,λ3=0,对应λ1,λ2的特征向量为p1=?2a?1?,

?1????a?

??

p2=?1?,求A。

?1?3a???

?a?

??

解 因为λ1≠λ2,所以p1,p2正交,即(a, 2a?1, 1)?1?=0,得a=0或a=1。

?1?3a????000??114?

1????

用第4题中方法可求出a=0和a=1时的A=?00?1?和A=?114?。

6??0?10???44?2???

6. 设三阶对称矩阵A的特征值为6,3,3,特征值6对应的特征向量为p1=(1,1,1),求A。 解1 设A的与特征值3对应的特征向量为p=(x1,x2,x3),则p与p1正交,即x1+x2+x3=0。 ?2??0?

?x2???1???1?????

经观察,可令??=??,??,得x1=?2,0,恰好求得两个正交特征向量p2=??1?,p3=??1?。

?x3???1??1???1??1?

????将p1,p2,p3单位化,

并令P=?0???6??411?????TT

3?=Λ,A=PΛP=?141?。则PAP=? ,

????3???114????

T

T

??1???1?

?x2??1??0?????

解2 按常规,令??=??,??,得x1=?1,?1,ξ2=?1?,ξ3=?0?。

?x3??0??1??0??1?

????

显然,ξ2,ξ3不正交,仅线性无关,所以可先正交化。 ??1???1???1?

,ξp1[]??????

p2=ξ2=?1?,p3=ξ3?23p2=?0???1?=

p2,p2?0??1?2?0?

??????

??1?

1???1?。 2??2???

将p1,p2,p3单位化,

并令P=0

?6??411?

????3?=Λ,A=PΛPT=?141?。则PTAP=? ,??114?3????????

解3 令P=(p1,ξ2,ξ3),则P可逆,P

?1

?111??6?1?????1

=??12?1?,且PAP=?3?=Λ, 3???3???1?12???

?1?1?1??6??111??411?

????1????

故A=PΛP?1=?110??3????12?1?=?141?。

3??101?????3???????1?12??114??x1

?

解4 设A=?x2

?x?3

x2x4x5

x3??x1+x2+x3=6,?1??1?

??????

x5?,由A?1?=6?1?,知?x2+x4+x5=6, (*)

?x+x+x=6.?1??1?x6??????6?35

因为3是A的二重特征值,R(A?3E)=n?ni=3?2=1,故利用①可推出 x2x3??1?x1?3

???

x4?3x5?→?x2

?x2?x?x5x6?3??3??x3

11?

??(1, 1, 1)=a(x2, x4?3, x5),?

x4?3x5?的秩为1,即有a, b使得?

=?1, 1, 1bx, x, x3.()()?356?x5x6?3??

?411?

??

将上式与(*)联立可解得,x2=x3=1, 4, x1=x4=x6=x5=1,即A=?141?。

?114???

注 上面给出了此类问题的所有四类解法。由于对于大部分此类问题都不难凑出正交特征向量,所以建议优先考虑第一种做法。因为正交化过程和求逆矩阵极易出错,故不建议采用第二、三种做法。第四种做法思路独特,但计算量偏大。

必须注意的是,几乎所有采用不同方法计算本题的同学都得出了不同的答案,这是由于计算错误引起的。满足本题条件的矩阵是唯一的。

7. 设α=(a1,a2,",an)T,a1≠0,A=ααT,

(1) 证明:λ=0是A的n?1重特征值;(2) 求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量。 解1 (1) 显然,A对称,故A与对角阵Λ=diag(λ1,λ2,",λn)相似,其中λ1,λ2,",λn为A的特征值。 由A=ααT,知R(A)=1,故R(Λ)=1,从而Λ的对角元只有一个非零,即λ=0是A的n?1重特征值。

(2) 因为A=αα的对角元素之和为∑

T

i=1

n

n

ai2

,根据特征值性质,A的n个特征值之和为∑ai2,从而

i=1

n

由上述所证知,∑ai2为A的唯一非零特征值。

i=1

2a1

2a1?λa2

λa1

a1a2

"

a1an

a2a1"a1an?λ#

"

aa

解2 A?λE=21

#

ana1

2a2?λ"#

r2?r1

a2ana1

????→"#an

rn?

a1r1

a2

0#

#

ana2

2

"an?λ

an

λa1

0"?λ

ac1?22

a1

????→"

ac1?nn

a1

∑a12?λ

0#0

a2a1"a1an?λ"0#0

"

#?λ

=(?λ)

n?1

(∑a

2i

?λ,故λ1=∑ai2, λ2=λ3="=λn=0。

)

2?a1a1a2"a1an??a1a2"an???1??2

"000?a2a1a2"a2an?r1×a1

?,即x=?a2x?"?anx。λ=0时,A?λE=?→?12n ????? r2?a1r1?##?#aa###11?? "??

?aaaa"a2?rn?anr1?00"0?

n??n1n2

?a2??a3??an????a??a???a?

?x2??1??0??0?11?????1??????????1??0??0?x010

令?3?=??,??,",??,得ξ2=??,ξ3=??,",ξn??, ?#??#??#??#??0??1??0?????x???????#??#??#?

?1??n??0??0????????0??0???

?????1?

?a2??a3??an???a???a???a?

11?????1??1??0??0?

从而λ=0的全部特征向量为x=k2??+k3??+"+kn??,k2,k3,",kn不同时为零。

?0??1??0??#??#??#?

???????0??0???

?????1?

λ1=∑ai2时,用两种方法计算对应的特征向量ξ1。

i=1

n

方法一 根据A的行阶梯型,可知Ax=0?αTx=0,故λ=0的特征向量ξ2,",ξn是方程αTx=0的

T??ξ2

??

基础解系,从而?#?x=0 (*)的基础解系为α。

?T??ξn?

又ξ1与ξ2,",ξn都正交,即ξ1是(*)的非零解,而(*)基础解系只含一个向量,故ξ1=kα(k≠0)。 方法二 由Aα=ααTα=ααTα=αTαα,根据定义知非零特征值λ1=αTα,对应特征向量为α,从而ξ1=kα(k≠0)。

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