新编线代概率习题全解

导读:习题4.4,??1??4?????1?x1=?x4+4x5,????5??x4??1??0??即?x2=x4?5x5,令??=??,??,得基础解系ξ1=?0?,ξ2=?0?。?????x5??0??1??x=0,?1??0??3?0??1???????1??4???1??1?????????1???2??5??1???ξ2,η1][?91=?0???0?=?0?;先正

新编线代概率习题全解

??1??4?

????1?x1=?x4+4x5,????5??x4??1??0??

即?x2=x4?5x5,令??=??,??,得基础解系ξ1=?0?, ξ2=?0?。

?????x5??0??1??x=0,

?1??0??3

?0??1???????1??4???1??1?

????????

1???2??5??1???ξ2,η1][?9

1=?0???0?=?0?;

先正交化:η1=ξ1=?0?, η2=ξ2?

η1,η1????3?????1??0??1??3??0??1??0??1???????????1???1??0? , ?1??0???

?1????2??

0?即为所求。 ?3??1???

5. 设α1,α2,",αn为向量空间Rn的一个基,证明: (1) 若γ∈Rn,且[γ,αi]=0(i=1,2,",n),则γ=0;

(2) 若γ1,γ2∈Rn,且对任一α∈Rn,有[γ1,α]=[γ2,α],则γ1=γ2。

证 (1) 因为α1,α2,",αn为向量空间Rn的一个基,所以γ可用α1,α2,",αn线性表示,即存在k1, k2,",kn,使γ=k1α1+k2α2+"+knαn,从而[γ,γ]=k1[γ,α1]+k2[γ,α2]+"+kn[γ,αn]。

因为[γ,αi]=0(i=1,2,",n),所以[γ,γ]=0,即γ=0。

(2) 因为对任一α∈Rn,有[γ1,α]=[γ2,α],所以对于基α1,α2,",αn,有[γ1?γ2,αi]=0(i=1,2,",n)。由(1)得γ1?γ2=0,故γ1=γ2。

6. 下列矩阵是否为正交矩阵: ?

?1??1(1) ??

2??1??3

?12

1??1

?9?3??

1??8; (2) ??92?

??

??4?1???9?

8

9194?9?

4???9?4???。 9?7??9?

112

解 矩阵为正交阵的充要条件是矩阵的行(列)向量两两正交且为单位向量。

(1) 矩阵的第一个行向量非单位向量,故不是正交阵; (2) 矩阵的行向量两两正交,且均是单位向量,故为正交阵。

7. 设x为n维列向量,xTx=1,令H=E?2xxT,证明:H是对称正交阵。 证 因为HT=E?2xxT

()

T

=ET?2xxT

T

由于HTH=H2=E?2xxT

(

()=E?2(x)x=E?2xx)(E?2xx)=E?4xx+4(xx)(xx)

T

T

T

T

T

TT

T

=H,故H对称;

=E?4xxT+4xxTxxT(矩阵乘法的结合律)=E?4xxT+4xxT=E,H是正交阵。 注 本题要注意: (1) xTx与xxT的区别;(2) 矩阵乘法结合律的应用。

()

8. 设α1,α2为n维列向量,A为n阶正交矩阵,证明: (1) [Aα1,Aα2]=[α1,α2]; (2) Aα1=α1。

TTT

证 (1) [Aα1,Aα2]=(Aα1)Aα2=α1ATAα2=α1Enα2=α1α2=[α1,α2]。

T

()

(2) 根据(1),Aα1

2

=[Aα1,Aα1]=[α1,α1]=1,故Aα1=1。

2

9. 设A,B都是n阶正交矩阵,证明:AB也是正交矩阵。 证 因为A,B都是正交矩阵,即ATA=E, BTB=E,从而(AB)故AB也是正交矩阵。

T

(AB)=BTATAB=BTEB=BTB=E,

10. 证明下列命题:

(1) 正交矩阵A的特征值的绝对值等于1;

(2) 若正交矩阵A的行列式A=?1,则λ=?1是A的特征值。 证 设λ,x分别为正交矩阵A的特征值和特征向量,即Ax=λx。

(1) 因为AT与A有相同的特征值,所以ATAx=A(λx),x=λ(Ax),x=λ2x,λ2?1x=0。 由于x≠0,得λ2?1=0,λ=±1,从而λ=1。

()

(2) 设λ1,λ2,",λn为A的全部特征值,根据(1),λi=±1,且A=λ1λ2"λn。 若λi=1,则A=1,与A=?1矛盾,故λ=?1是A的特征值。

11. 设α1,α2,",αn为向量空间Rn的一组规范正交基,A为n阶正交矩阵,证明:Aα1,Aα2,",Aαn也是Rn的一组规范正交基。

i=j?1, ,证 根据8(1),?即Aα1,Aα2,",Aαn是Rn的一组规范正交基。 ?Aαi,Aαj??=??αi,αj??=?0, ,

?i≠j

习题4.4

??102???

1. 将矩阵A=?012?用下列两种方法对角化:

?220???

(1) 求可逆阵P,使P?1AP=Λ; (2) 求正交阵Q,使Q?1AQ=Λ。 ?1?λ0

解 (1) A?λE=01?λ

22

2

2=?λ

?1?λλ+12?02

1?λ0

λ(λ+1)

220

=2

2?λ

4?

λ(λ+1)

22

=?λ(λ?3)(λ+3),A的特征值为0,3,?3。

??102??10?2??10?2??2?

x=2x,?????????13

λ=0时,A?λE=?012?→?012?→?012?,即?令x3=1,得p1=??2?;

x=?2x,3?2?220??024??000??1?

?????????1???402??22?3??10??x3?

?x1=,????????

λ=3时,A?λE=?0?22?→?0?22?→?01?1?,即?得p2=?2?; 2令x3=2,

?x=x,?2??22?3??04?4??000?3?2?????????202??101??101??2??x1=?x3,?????????

λ=?3时,A?λE=?042?→?021?→?012?,即?得p3=?1?; x3令x3=?2,

?x2=?,?223??021??000????2??2????????212??0?

????

所以,所求可逆阵为P=??221?,使得P?1AP=Λ=?3?。

????3??12?2???

(2) 因A实对称,且A的特征值互不相等,即特征向量相互正交,故单位化即得所求正交阵

?212??0?1?????1

Q=??221?,且QAQ=Λ=?3?。 3????3??12?2???

2. 试求一个正交相似变换矩阵,将下列对称矩阵化为对角矩阵: ?2?20??22?2?

????(1) ??21?2?; (2) ?25?4?。

?0?20???2?45?????

2?λ?2解 (1) A?λE=?21?λ

=(λ?1)

?2

2?λ?20

?2=?21?λ?λ

?2

λλ(λ?1)

20?2=2

2?λ?2

2λ?2

λ(λ?1)

2

2?λ2

=?(λ?1)(λ?4)(λ+2),特征值为λ1=?2, 1, 4λ2=λ3=。

?4λ

?4?20???23?2???23?2??10?2?????????

λ1=?2时,A?λ1E=??23?2?→?04?4?→?01?1?→?01?1?,

?0?22??0?22??000??000??????????1??x1??1?

?x1=x32,1??????即?令x3=2,得?x2?=?2?,单位化后得p1=?2?;

3???x2=x3,?x??2?

?2??3???

?1?20??1?20??101?

?x1=?x3,??????

令x3=?2, λ2=1时,A?λ2E=??20?2?→?0?4?2?→?012?,即?

x=?x2,3?2?0?2?1??0?2?1??000?

???????2??x1??2?

1??????

得?x2?=?1?,单位化后得p2=?1?;

3???x???2?

??2??3???

??2?20??110??110??10?2?

?x1=2x3,????????

λ3=4时,A?λ3E=??2?3?2?→?0?1?2?→?012?→?012?,即?

x=?2x,3?2?0?2?4??0?2?4??000??000?

?????????2??x1??2?

1??????

令x3=1,得?x2?=??2?,单位化后得p3=??2?。

3???x??1?

?1??3???

?122???2?

1????

从而,所求正交阵为P=(p1,p2,p3)=?21?2?,对角矩阵为Λ=?1?。 3???4??2?21???2?λ2?22?λ(2) A?λE=25?λ?4=2

?2?45?λ?2

2λ?2?26?λ

1?λ?4=(λ?1)2

?205?λ

0?10

?1?4 05?λ

2

=?(λ?1)(λ?10),特征值为λ1=λ2=1, 10λ3=。

2?2??12?2??1

?x??1??0?????

λ1=λ2=1时,A?λ1E=?24?4?→?000?,即x1=?2x2+2x3,令?2?=??,??,

?x3??0??1???2?44??000?

??????2??2?

????

ξ1=?1?,ξ2=?0?。显然,ξ1, ξ2不正交,须对其进行正交化。

?0??1?????

??2??2???2??2???2?2?

ξb,[]?41??????????

b1=ξ1=?1?,b2=ξ2?12b1=?0???1?=?4?,再单位化得p11?,p24?。 b,b5511?0??1??0??5?0??5?

????????

???

?x2??1??1?

注 其实,观察方程x1=?2x2+2x3,只要令??=??,??,即可得两个正交的特征向量

?x3??1???1?

?0??4?????p1=?1?,p2=?1?。

?1???1?????

??82?2??2?5?4??102?

?x1=?x32,??????

令x3=2, λ3=10时,由A?λ3E=?2?5?4?→?0?9?9?→?011?,即?

x=?x,3?2??2?4?5??0?18?18??000?

????????1???1?

1????

得ξ3=??2?,单位化得p3=??2?。

3???2?

?2???

????从而,所求正交阵为P=(

p1,p2,p3)=?

??

?0

??

?1?

??,对角矩阵为Λ=?1?。 ?10???????

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