新编线代概率习题全解

导读:《线性代数》《概率论与数理统计》习题解答(第1版),习题4.1,《线性代数》《概率论与数理统计》习题解答(第1版)??x1=?x4,10??100?11???B→?010?2?2?,即?x2=x4?,令x4=2c,22??00122????11x3=?x4+,?22??x1???2c???2??0?????????x2??c?2?1??????==c+全部解为(c∈R)。?x3???c+2??

新编线代概率习题全解

《线性代数》《概率论与数理统计》习题解答 (第1版)

?

?x1=?x4,

10??100?

11???

B→?010?2?2?,即?x2=x4?, 令x4=2c,

22??00122?

???11

x3=?x4+,?22??x1???2c???2??0?

????????x2??c?2?1??????==c+全部解为(c∈R)。 ?x3???c+2???1??2????????x???

?2??0??4??2?

?x1??1???1??2?

????????

9. 求一个非齐次线性方程组,使它的全部解为?x2?=??1?+c1?3?+c2??3?,(c1,c2为任意常数)。

?x??3??2??1?

?????3???

解 因为基础解系包含两个解向量,故n?r=2,r=1。 从而,可设所求非齐次方程组为a1x1+a2x2+a3x3=b。

由于对应的齐次方程组的基础解系为ξ1=(?1,3,2), ξ2=(2,?3,1),将ξ1,ξ2代入得方程组

T

T

??a1+3a2+2a3=0,

解得a1=?9k, a2=?5k, 3a3=k(k为任意实数)。 ?

2a?3a+a=0,23?1

又ξ0=(1,?1,3)是非齐次方程组的特解,代入可得b=5k,故所求方程组为9x1+5x2?3x3=?5。

T

10. 设η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,ξ1,ξ2,",ξn?r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证明:(1) η*,ξ1,ξ2,",ξn?r线性无关;(2) η*,η*+ξ1,η*+ξ2,",η*+ξn?r线性无关。

证 (1) 令kη*+k1ξ1+k2ξ2+"+kn?rξn?r=0,因Aξi=0,Aη*=b,故用A左乘后得kb=0,故k=0。 从而k1ξ1+k2ξ2+"+kn?rξn?r=0,又ξ1,ξ2,",ξn?r线性无关,得ki=0(i=1,2,",n?r),得证。

(2) 令kη*+k1η*+ξ1+k2η*+ξ2+"+kn?rη*+ξn?r=0,即

()()()

(k+k1+"+kn?r)η*+k1ξ1+k2ξ2+"+kn?rξn?r=0。

由(1)知,η*,ξ1,ξ2,",ξn?r线性无关,从而k1=k2="=kn?r=0,k+k1+"+kn?r +η1,η*+η2,",η*+ηn?r也线性无关。

=0,即η*,η*

满足k1+k2+"+ks=1,11. 设η1,η2,",ηs是非齐次线性方程组Ax=b的s个解,k1,k2,",ks为实数,证明:x=k1η1+k2η2+"+ksηs也是它的解。

证 由于η1,η2,",ηs是非齐次线性方程组Ax=b的s个解,故有Aηi=b(i=1,",s)。

从而,Ax=A(k1η1+k2η2+"+ksηs)=k1Aη1+k2Aη2+"+ksAηs=(k1+k2+"+ks)b=b,即x也是方程的解。

12. 设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η1,η2,",ηn?r+1是它的n?r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为

x=k1η1+k2η2+"+kn?r+1ηn?r+1,

其中k1,k2,",kn?r+1为实数且k1+k2+"+kn?r+1=1。

证 因η1,η2,",ηn?r+1线性无关,且均为Ax=b的解,故ξ1=η2?η1, ,ξ2=η3?η1 ", ξn?r=ηn?r+1?η1均为Ax=0的解。

显然,ξ1,ξ2,",ξn?r线性无关。否则,存在不全为零的l1,l2,",ln?r,使得l1ξ1+l2ξ2+"+ln?rξn?r=0,即l1(η2?η1)+l2(η3?η1)+"+ln?r(ξn?r?η1)=0,?(l1+l2+"+ln?r)η1+l1η2+l2η3+"+ln?rηn?r+1=0。

由η1,η2,",ηn?r+1线性无关,知?(l1+l2+"+ln?r)=l1=l2="=ln?r=0,这与l1,l2,",ln?r不全为零矛盾,所以ξ1,ξ2,",ξn?r线性无关,且为Ax=0的一组基础解系。

从而,Ax=b的通解为

x=k2ξ1+k3ξ2+"+kn?r+1ξn?r+η1=k2(η2?η1)+k3(η3?η1)+"+kn?r+1(ηn?r+1?η1)+η1

=(1?k2?k3?"?kn?r+1)η1+k2η2+k3η3+"+kn?r+1ηn?r+1。

令k1=1?k2?k3?"?kn?r+1,则k1+k2+k3+"+kn?r+1=1,且x=k1η1+k2η2+"+kn?r+1ηn?r+1。

第4章 相似矩阵与矩阵对角化

习题4.1

1. 求下列矩阵的特征值及特征向量: ?1111?

?123???

11?1?1????。 (1) ?213?; (2)

?1?11?1?

?336?????

1111????1?λ2

解 (1) A?λE=21?λ

33

3?λ

3=26?λ3

λ+1

?1?λ

031?λλ+133=3?λ06 6?λ306?λ

=(λ+1)

3?λ6

=?λ(λ+1)(λ?9),故A的特征值为λ1=0, 1, λ2=?λ3=9。

36?λ

?123??123??101?

?x1=?x3,??????

令x3=1,得基础解系λ1=0时,A?λ1E=?213?→?0?3?3?→?011?,即?

xx,=?3?2?336??0?3?3??000?

????????1???1?

????

??1?,故λ1=0的特征向量为k1??1?(k1≠0)。 ?1??1?????

?223??223??110?

?x=?x2,??????

令x2=1,得基础解系λ2=?1时,A?λ2E=?223?→?001?→?001?,即?1

x=0,?3?337??000??000?

????????1???1?

????

?1?,故λ2=?1的特征向量为k2?1?(k2≠0)。 ?0??0?????

?1??10?2???823??11

?x1=x3??????

令x3=2,得基λ3=9时,A?9E=?2?83?→?0?105?→?01?2?,即?

x=x2,3?2?33?3??010?5??000????????1??1?

????

础解系?1?,故λ3=9的特征向量为k3?1?(k3≠0)。

?2??2?

????

(2) A?λE=

1?λ1

11?λ11

?1?1

1?11?λ?1

1?1?1?1

=

1?λ2?λ2?λ2?λ

12?λ00

102?λ0

1002?λ

=(2?λ)

?λ111

1003111

010001

=(2?λ)

?λ11λ10?13111

01?1000

=(λ?2)

3

11λ11λ+1

33

10?1=(λ?2)10?1=(λ?2)(λ+2), 01?1

01

故A的特征值λ1=λ2=λ3=2, 2λ4=?。

??1111??1?1?1?1?

?x2?????

1?1?1?10000?→??,即x=x+x+x,令?x?分λ1=λ2=λ3=2时,A?λ1E=?1234?3??1?1?1?1??0000?

?x??????4?

?1?1?1?1??0000??1??1??1?

?1??0??0???????

1?0?0????????+k2+k3??(k1,k2,k3不全为0)。 别为?0?, ?1?, ?0?,则有特征向量为k1

?0??1??0?

?0??0??1?????????????

?0??0??1?

?3111??1?1?13??1?1?13??10

???????

13?1?1??040?4??010?1??01?→→→λ4=?2时,A?λ4E=

?1?13?1??004?4??001?1??00???????111304480000??????????00??1?

?x1=x4,??

1?

即?x2=x4,,令x4=1,得特征向量为k??(k≠0)。

?1??x=x,??4?3

?1?

注 (1) 求矩阵的特征值和特征向量是线性代数中非常重要的运算,在相似矩阵、矩阵相似对角化、化二次型为标准形等问题中起着关键的作用。请同学们熟练掌握。

01?

?0?1?

1?1?

?00?

(2) 求特征值时通常根据行列式A?λE的具体特点,先利用行列式的性质将其化简,然后再将其展开,切不可硬算;求特征向量其实就是求齐次线性方程组(A?λE)x=0的基础解系,一定要将A?λE化为行最简,确保计算结果的正确、规范。

2. 已知三阶矩阵A的特征值为1,?2,3,求 (1) 2A的特征值;(2) A?1的特征值。 解 设λ,x分别是A的特征值和特征向量,即Ax=λx。

(1) 显然,(2A)x=(2λ)x,即2A的特征值为2λ,所以2A的特征值为2,?4,6; (2) 因为可逆矩阵的特征值不为0,所以由Ax=λx,可得A?1x=11的特征值为1,?,。

23

1

λ

x,即A?1的特征值为

1

λ

,所以A?1

注 可以证明:若λ为A的特征值,?(x)=amxm+am?1xm?1+"+a1x+a0,则?(λ)是?(A)的特征值。

3. 设n阶矩阵A,B满足R(A)+R(B)<n,证明:A与B有公共的特征值和公共的特征向量。 解 显然,R(A)<n。R(A)<n?A不可逆?0是A的特征值;同理0也是B的特征值,故A与B

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