新编线代概率习题全解

导读:《线性代数》《概率论与数理统计》习题解答(第1版),习题3.5,《线性代数》《概率论与数理统计》习题解答(第1版)习题3.51.求下列非齐次线性方程组的用基础解系表示的通解:=5,?x1+x2?(1)?2x1+x2+x3+2x4=1,(2)?5x+3x+2x+2x=3;234?1?x1?5x2+2x3?3x4=11,??5x1+3x2+6x3?x4=?1,?2x+4x+2x+x=?6.234?

新编线代概率习题全解

《线性代数》《概率论与数理统计》习题解答 (第1版)

习题 3.5

1. 求下列非齐次线性方程组的用基础解系表示的通解:

=5,? x1+x2?(1) ?2x1+x2+x3+2x4=1, (2)

?5x+3x+2x+2x=3;234?1?x1?5x2+2x3?3x4=11,??5x1+3x2+6x3?x4=?1, ?2x+4x+2x+x=?6.234?1

?11005??11005??1012?4??1010?8?????????解 (1) B=?21121?→?0?112?9?→?0?112?9?→?01?1013?。 ?53223??0?222?22??000?2?4??00012?????????

?x1???c?8???1???8??x1=?x3?8,????????x2??c+13?113??==c??+??(c∈R)。 即?x2=x3+13,令x3=c,所以通解为?x3??c??1??0??x=2,?????????3?x??0??2??4??2?

?1?52?311??1?52?311??107?21???????(2) B=?536?1?1?→?028?414?56?→?01?72?2?。 ?2421?6??014?27?28??00000???????

?x1???97??2??1?????????x2?7??2???2??x1=?9x37+x42+1,?x3=c1,???即?令?,所以通解为=c+c+(c,c∈R)。 ?x3?1?1?2?0??0?12?x2=x3+x42?2,?x4=c2,????????x???0??1??0??4?

?2???3 2. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知η1,η2,η3是它的三个解向量,且η1=??, ?4? ???5?

?1???2η2+η3=??,求该方程组的通解。 ?3????4?

解 因系数矩阵的秩为3,n?r=4?3=1,故其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量。又η1,η2,η3均为非齐次方程组的解,故(η1?η2)+(η1?η3)=2η1?(η2+η3)为对应的齐次线性方程组的基础解系,故非齐次方程组的通解为

?x1??3??2????????x2?=c?2η?(η+η)?+η=c?4?+?3?(c∈R)。 23?1?1?x3??5??4????????x??6??5??4?

3. 设四元非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵A的秩为2,已知它的3个解向量为η1,η2,η3,其中

《线性代数》《概率论与数理统计》习题解答 (第1版)

?4??1???2???????3?3?6??,η2=,η3=??, η1=?2??5??3???????11?????2?

求该方程组的通解。

解 因为四元非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵A的秩为2,所有对应齐次线性方程组的基础解系包含有两个线性无关的解向量,且由解的性质知η3?η1和η2?η1都是齐次线性方程组的非零解向量,所以可取为基础解系,η1是非齐次线性方程组的特解,所以通解为

??6???3??4???????3?03?x=c1(η3?η1)+c2(η2?η1)+η1=c1+c2??+??(c1,c2∈R)。 ?1??3??2?????????1??0??1?

?a???2???1??1?????????4. 设有向量组A:α1=?2?,α2=?1?,α3=?1?,及向量β=?b?,问a,b为何值时,

?10??5??4???1?????????

(1) 向量β不能由向量组A线性表示;

(2) 向量β能由向量组A线性表示,且表达式唯一;

(3) 向量β能由向量组A线性表示,且表达式不唯一,并求一般表达式。

解 设β=k1α1+k2α2+k3α3,

a1???1?2a1???1?2a1???1?2??????B=(α3,α2,α1,β)=?112b?→?0?1a+2b+1?→?0?1a+2b+1?。

?4510?1??0?34a+10??3??????00a+4?3b?

(1) 当a=?4,b≠0时,R(α3,α2,α1)=2≠3=R(α3,α2,α1,β),β不能由α1,α2,α3线性表示;

(2) 当a≠4,R(α3,α2,α1)=R(α3,α2,α1,β)=3=n,β能由α1,α2,α3线性表示,且表达式唯一;

(3) 当a=?4,b=0时,R(α3,α2,α1)=R(α3,α2,α1,β)=2<n,β能由α1,α2,α3线性表示,且表达式不唯一。此时

??1?2?41??1001??x3=1,????令x1=c, B→?0?1?21?→?012?1?,即?=??x2x1,21??0000??0000?????

故表达式为β=cα1?(2c+1)α2+α3(c∈R)。

?a1??b1??c1???????5. 设α=?a2?,β=?b2?,γ=?c2?,ai2+bi2≠0,i=1,2,3。证明三直线

?a??b??c??3??3??3?

?l1:a1x+b1y+c1=0,??l2:a2x+b2y+c2=0,

??l3:a3x+b3y+c3=0

相交于一点的充分必要条件为:向量组α,β,γ线性相关而向量组α,β线性无关。

?x?证 记A=(α,β),则三直线l1,l2,l3相交于一点?方程A??=?γ有唯一解?R(A)=R(A,?γ)=2 ?y?

?R(A)=R(A,γ)=2?向量组α,β,γ线性相关而向量组α,β线性无关。 6. 设矩阵A=(α1,α2,α3,α4),其中α2,α3,α4线性无关,α1=2α2?α3,向量β=α1+α2+α3+α4,求方程Ax=β的通解。

解1 显然,Ax=β为四元方程。因α2,α3,α4线性无关,故R(A)≥3。 又α1能由α2,α3线性表示,即α1,α2,α3线性相关,从而α1,α2,α3,α4也线性相关,得R(A)≤3。 综上,R(A)=3,即原方程的基础解系所含向量个数为n?R(A)=4?3=1。 由α1=2α2?α3,即α1?2α2+α3=0,得x=(1,?2,1,0)是Ax=0的解,从而x=(1,?2,1,0)是Ax=0的基础解系。又β=α1+α2+α3+α4,即x=(1,1,1,1)是方程Ax=β的解,故非齐次线性方程组通解为 TTT

?x1??1??1????????x2?=c??2?+?1?(c∈R)。 ?x3??1??1????????x??0??1??4?

?x1???x解2 由题意,α1+α2+α3+α4=β=Ax=(α1,α2,α3,α4)?2?=x1α1+x2α2+x3α3+x4α4。 ?x3???x???4?

将α1=2α2?α3代入上式,得(2x1+x2?3)α2+(?x1+x3)α3+(x4?1)α4=0。

?2x1+x2?3=0,?因α2,α3,α4线性无关,故有??x1+x3?1=0,

?x?1=0.?4

?x1=x3,?21003??10?100??????B=??10100?→?01203?,即?x2=?2x3+3, 令x3=c,

?x=1,?00011??00011??????4

?x1??c??1??0?????????x2???2c+3??23?得通解为==c??+??(c∈R)。 ?x3??c??1??0??????????x??0??1??4??1?

?1212???7. 设矩阵A=?01tt?,齐次线性方程组Ax=0的基础解系含有2个线性无关的解向量,试求?1t01???

方程组Ax=0的全部解。

212??10?1212??1?????解 A=?01tt?→?01tt?→?01

??????1t01??0t?2?1?1???001?2tt2?2t??t?。 ?(t?1)2??(t?1)2

由于Ax=0的基础解系含有2个解向量,即n?R(A)=4?R(A)=2,故R(A)=2,从而t=1。

?1??0??10?10??????1??1??x1=x3,?x3??1??0?????,ξ2=A→?0111?,即?, 令??=??,??,得ξ1=????x=?x+x,10x01????34?4??2?0000???????0???1?

?x1??1??0???????x2??1??1??从而,方程组Ax=0的全部解为=c1+c2??(c1,c2∈R)。 ?x3??1??0????????x??0??1??4?

?21?8. 设A=?01

?1λ?

全部解。

解 因为η是Ax=b的解,所以由Aη=b可得λ=μ。 ?1?2??0????1???1?,b=?1?,η=??,如果η是方程组Ax=b的一个解,试求方程组Ax=b的?1??0?μ1????????1?13

λλ10??10?2λ1?λ?λ??21120??1??????B=?01311?→?01311?→?01311?。 ?1λλ10??01?2λ1?2λ00??004λ?22λ?12λ?1???????

(1) λ=1时,R(A)=R(B)=2<4=n,方程组有无穷多组解。 2

?10?12?2?11??x1=x3?x4?,??B→?01311?,即?22 令x3=c1,x4=2c2, ??000?00??x2=?3x3?x4+1,?

?x1??c1?c2?2??1???1???2???????????x2???3c1?2c2+1??3??2??1????得全部解为==c+c+(c,c∈R); ?x3???1?1?2?0??0?12c1?????????x?????2c2?0??2??0??4???

(2) λ≠1时,R(A)=R(B)=3<4=n,方程组有无穷多组解。 2

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