2013年中考数学压轴题训练教师用

导读:以点M的坐标为?,?612??.55??126?22?MNDN5.解得?如图2,过点M作MN⊥AB,垂足为N,那么,即5?FADAFA2FA?1.因为∠EDC绕点D旋转的过程中,△DCG≌△DEF,所以CG=EF=2.因此GO=1,图2EF=2GO.(3)在第(2)中,GC=2.设点Q的坐标为?x,???5213?x?x?1?.66?①如图3,当CP=CG=

2013年中考数学压轴题训练教师用

以点M的坐标为?,?612??. 55??126?22?MNDN5.解得?如图2,过点M作MN⊥AB,垂足为N,那么,即5?FADAFA2FA?1.

因为∠EDC绕点D旋转的过程中,△DCG≌△DEF,所以CG=EF=2.因此GO=1,

图2

EF=2GO.

(3)在第(2)中,GC=2.设点Q的坐标为?x,???5213?x?x?1?. 66?①如图3,当CP=CG=2时,点P与点B(3,2)重合,△PCG是等腰直角三角形.此时yQ?xQ?xG,因此?5213?127?x?x?1?x?1。由此得到点Q的坐标为?,?. 66?55?②如图4,当GP=GC=2时,点P的坐标为(1,2).此时点Q的横坐标为1,点Q的坐标为?1,?13??. 6??③如图5,当PG=PC时,点P在GC的垂直平分线上,点P、Q与点D重合.此时点

Q的坐标为(2,2).

图3 图4 图5

考点伸展

在第(2)题情景下,∠EDC绕点D旋转的过程中,FG的长怎样变化?

设AF的长为m,那么FG?

(2?m)2?(2?m)2?2m2?8.

点F由E开始沿射线EA运动的过程中,FG先是越来越小,F与A重合时,FG达到最小值22;F经过点A以后,FG越来越大,当C与O重合时,FG达到最大值4.

例 8 2009年江西省中考第25题

如图1,在等腰梯形ABCD中,AD//BC,E是AB的中点,过点E作EF//BC交CD于点F,AB=4,BC=6,∠B=60°.

(1)求点E到BC的距离;

(2)点P为线段EF上的一个动点,过点P作PM⊥EF交BC于M,过M作MN//AB交折线ADC于N,连结PN,设EP=x.

①当点N在线段AD上时(如图2),△PMN的形状是否发生改变?若不变,求出△PMN的周长;若改变,请说明理由;

②当点N在线段DC上时(如图3),是否存在点P,使△PMN为等腰三角形?若存在,请求出所有满足条件的x的值;若不存在,请说明理由.

图1 图2 图3

动感体验

请打开几何画板文件名“09江西25”,拖动点P在EF上运动,可以体验到,当N在AD上时,△PMN的形状不发生改变,四边形EGMP是矩形,四边形BMQE、四边形ABMN是平行四边形,PH与NM互相平分.

当N在DC上时,△PMN的形状发生变化,但是△CMN恒为等边三角形,分别双击按钮“PM=PN”、“MP=MN”和“NP=NM”,可以显示△PMN为等腰三角形.

思路点拨

1.先解读这个题目的背景图,等腰梯形ABCD的中位线EF=4,这是x的变化范围.平行线间的距离处处相等,AD与EF、EF与BC间的距离相等.

2.当点N在线段AD上时,△PMN中PM和MN的长保持不变是显然的,求证PN的长是关键.图形中包含了许多的对边平行且相等,理顺线条的关系很重要.

3.分三种情况讨论等腰三角形PMN,三种情况各具特殊性,灵活运用几何性质解题. 满分解答

(1)如图4,过点E作EG⊥BC于G.

1AB?2,∠B=60°, 2所以BG?BE?cos60??1,EG?BE?sin60??3.

在Rt△BEG中,BE?所以点E到BC的距离为3.

(2)因为AD//EF//BC,E是AB的中点,所以F是DC的中点. 因此EF是梯形ABCD的中位线,EF=4.

①如图4,当点N在线段AD上时,△PMN的形状不是否发生改变. 过点N作NH⊥EF于H,设PH与NM交于点Q.

在矩形EGMP中,EP=GM=x,PM=EG=3. 在平行四边形BMQE中,BM=EQ=1+x. 所以BG=PQ=1.

因为PM与NH平行且相等,所以PH与NM互相平分,PH=2PQ=2. 在Rt△PNH中,NH=3,PH=2,所以PN=7. 在平行四边形ABMN中,MN=AB=4. 因此△PMN的周长为3+7+4.

图4 图5

②当点N在线段DC上时,△CMN恒为等边三角形.

如图5,当PM=PN时,△PMC与△PNC关于直线PC对称,点P在∠DCB的平分线上.

在Rt△PCM中,PM=3,∠PCM=30°,所以MC=3. 此时M、P分别为BC、EF的中点,x=2.

如图6,当MP=MN时,MP=MN=MC=3,x=GM=GC-MC=5-3. 如图7,当NP=NM时,∠NMP=∠NPM=30°,所以∠PNM=120°. 又因为∠FNM=120°,所以P与F重合. 此时x=4.

综上所述,当x=2或4或5-3时,△PMN为等腰三角形.

图6 图7 图8

考点伸展

第(2)②题求等腰三角形PMN可以这样解:

如图8,以B为原点,直线BC为x轴建立坐标系,设点M的坐标为(m,0),那么点P的坐标为(m,3),MN=MC=6-m,点N的坐标为(

由两点间的距离公式,得PN?m?9m?21.

2当PM=PN时,m?9m?21?9,解得m?3或m?6.此时x?2.

m?63(6?m),). 2222当MP=MN时,6?m?3,解得m?6?3,此时x?5?3.

22当NP=NM时,m?9m?21?(6?m),解得m?5,此时x?4.

1.3 因动点产生的直角三角形问题

例1 2012年广州市中考第24题

33如图1,抛物线y??x2?x?3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y

84轴交于点C.

(1)求点A、B的坐标;

(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标;

(3)若直线l过点E(4, 0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式. ....

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12广州24”,拖动点M在以AB为直径的圆上运动,可以体验到,当直线与圆相切时,符合∠AMB=90°的点M只有1个.

请打开超级画板文件名“12广州24”,拖动点M在以AB为直径的圆上运动,可以体验到,当直线与圆相切时,符合∠AMB=90°的点M只有1个.

思路点拨

1.根据同底等高的三角形面积相等,平行线间的距离处处相等,可以知道符合条件的点D有两个.

2.当直线l与以AB为直径的圆相交时,符合∠AMB=90°的点M有2个;当直线l与圆相切时,符合∠AMB=90°的点M只有1个.

3.灵活应用相似比解题比较简便. 满分解答

333(1)由y??x2?x?3??(x?4)(x?2),

848得抛物线与x轴的交点坐标为A(-4, 0)、B(2, 0).对称轴是直线x=-1.

(2)△ACD与△ACB有公共的底边AC,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,点B、D到直线AC的距离相等.

过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D,在AC的另一侧有对应的点D′. 设抛物线的对称轴与x轴的交点为G,与AC交于点H.

DGCO3由BD//AC,得∠DBG=∠CAO.所以??.

BGAO4399所以DG?BG?,点D的坐标为(1,?).

444因为AC//BD,AG=BG,所以HG=DG.

2727而D′H=DH,所以D′G=3DG?.所以D′的坐标为(1,).

44图2 图3

(3)过点A、B分别作x轴的垂线,这两条垂线与直线l总是有交点的,即2个点M. 以AB为直径的⊙G如果与直线l相交,那么就有2个点M;如果圆与直线l相切,就

只有1个点M了.

联结GM,那么GM⊥l.

在Rt△EGM中,GM=3,GE=5,所以EM=4.

MA3在Rt△EM1A中,AE=8,tan?M1EA?1?,所以M1A=6.

AE43所以点M1的坐标为(-4, 6),过M1、E的直线l为y??x?3.

43根据对称性,直线l还可以是y?x?3.

4考点伸展

第(3)题中的直线l恰好经过点C,因此可以过点C、E求直线l的解析式. 在Rt△EGM中,GM=3,GE=5,所以EM=4. 在Rt△ECO中,CO=3,EO=4,所以CE=5.

因此三角形△EGM≌△ECO,∠GEM=∠CEO.所以直线CM过点C.

例2 2012年杭州市中考第22题

在平面直角坐标系中,反比例函数与二次函数y=k(x2+x-1)的图象交于点A(1,k)和点B(-1,-k).

(1)当k=-2时,求反比例函数的解析式;

(2)要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大,求k应满足的条件以及x的取值范围;

(3)设二次函数的图象的顶点为Q,当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时,求k的值. 动感体验

请打开几何画板文件名“12杭州22”,拖动表示实数k的点在y轴上运动,可以体验到,当k<0并且在抛物线的对称轴左侧,反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大.观察抛物线的顶点Q与⊙O的位置关系,可以体验到,点Q有两次可以落在圆上.

请打开超级画板文件名“12杭州22”,拖动表示实数k的点在y轴上运动,可以体验到,当k<0并且在抛物线的对称轴左侧,反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大.观察抛物线的顶点Q与⊙O的位置关系,可以体验到,点Q有两次可以落在圆上.

思路点拨

k

1.由点A(1,k)或点B(-1,-k)的坐标可以知道,反比例函数的解析式就是y?.题目

x

中的k都是一致的.

2.由点A(1,k)或点B(-1,-k)的坐标还可以知道,A、B关于原点O对称,以AB为直径的圆的圆心就是O.

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