2013年中考数学压轴题训练教师用

导读:思路点拨1.第(1)、(2)题用待定系数法求解析式,它们的结果直接影响后续的解题.2.第(3)题的关键是求点E的坐标,反复用到数形结合,注意y轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系.3.根据C、D的坐标,可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形,这样写点E的坐标就简单了.满分解答(1)设抛物线的函数表达式为y?(x?1)2?n,代入点C(0,-3),得n

2013年中考数学压轴题训练教师用

思路点拨

1.第(1)、(2)题用待定系数法求解析式,它们的结果直接影响后续的解题.

2.第(3)题的关键是求点E的坐标,反复用到数形结合,注意y轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系.

3.根据C、D的坐标,可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形,这样写点E的坐标就简单了.

满分解答

(1)设抛物线的函数表达式为y?(x?1)2?n,代入点C(0,-3),得n??4.所以抛物线的函数表达式为y?(x?1)2?4?x2?2x?3.

(2)由y?x2?2x?3?(x?1)(x?3),知A(-1,0),B(3,0).设直线BC的函数表达

?3k?b?0, 解得

式为y?kx?b,代入点B(3,0)和点C(0,-3),得?k?1,b??3.所以

?b??3.直线BC的函数表达式为y?x?3.

3(3)①因为AB=4,所以PQ?AB?3.因为P、Q关于直线x=1对称,所以点P

4117?,点F的坐标为?7?.所以的横坐标为?.于是得到点P的坐标为??,?0,?????24??24??755FC?OC?OF?3??,EC?2FC?.

442511?进而得到OE?OC?EC?3??,点E的坐标为?0,??. ?222??直线BC:y?x?3与抛物线的对称轴x=1的交点D的坐标为(1,-2). 过点D作DH⊥y轴,垂足为H.

13DH2在Rt△EDH中,DH=1,EH?OH?OE?2??,所以tan∠CED??.

22EH365②P,P2(1?,?). 1(1?2,?2)22

图2 图3 图4

考点伸展

第(3)题②求点P的坐标的步骤是:

如图3,图4,先分两种情况求出等腰直角三角形CDE的顶点E的坐标,再求出CE的中点F的坐标,把点F的纵坐标代入抛物线的解析式,解得的x的较小的一个值就是点P的横坐标.

例4 2011年浙江省中考第23题

设直线l1:y=k1x+b1与l2:y=k2x+b2,若l1⊥l2,垂足为H,则称直线l1与l2是点H的直角线.

1(1)已知直线①y??x?2;②y?x?2;③y?2x?2;④

2y?2x?4和点C(0,2),则直线_______和_______是点C的直角线(填序号即可);

(2)如图,在平面直角坐标系中,直角梯形OABC的顶点A(3,0)、B(2,7)、C(0,7),P为线段OC上一点,设过B、P两点的直线为l1,过A、P两点的直线为l2,若l1与l2是点P的直角线,求直线l1与l2的解析式.

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“11浙江23”,拖动点P在OC上运动,可以体验到,∠APB有两个时刻可以成为直角,此时△BCP∽△POA. 答案

(1)直线①和③是点C的直角线.

BCPO2PO(2)当∠APB=90°时,△BCP∽△POA.那么,即.解得OP??CPOA7?PO3=6或OP=1.

1如图2,当OP=6时,l1:y?x?6, l2:y=-2x+6.

21如图3,当OP=1时,l1:y=3x+1, l2:y??x?1.

3

图2 图3

例5 2010年北京市中考第24题

在平面直角坐标系xOy中,抛物线y??

m?125mx?x?m2?3m?2与x轴的交点44分别为原点O和点A,点B(2,n)在这条抛物线上.

(1)求点B的坐标;

(2)点P在线段OA上,从点O出发向点A运动,过点P作x轴的垂线,与直线OB交于点E,延长PE到点D,使得ED=PE,以PD为斜边,在PD右侧作等腰直角三角形PCD(当点P运动时,点C、D也随之运动).

①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时,求OP的长;

②若点P从点O出发向点A作匀速运动,速度为每秒1个单位,同时线段OA上另一个点Q从点A出发向点O作匀速运动,速度为每秒2个单位(当点Q到达点O时停止运动,点P也停止运动).过Q作x轴的垂线,与直线AB交于点F,延长QF到点M,使得FM=QF,以QM为斜边,在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当点Q运动时,点M、N也随之运动).若点P运动到t秒时,两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,求此刻t的值.

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“10北京24”,拖动点P从O向A运动,可以体验到,两个等腰直角三角形的边有三个时刻可以共线.

思路点拨

1.这个题目最大的障碍,莫过于无图了.

2.把图形中的始终不变的等量线段罗列出来,用含有t的式子表示这些线段的长. 3.点C的坐标始终可以表示为(3t,2t),代入抛物线的解析式就可以计算此刻OP的长. 4.当两个等腰直角三角形有边共线时,会产生新的等腰直角三角形,列关于t的方程就可以求解了.

满分解答

m?125mx?x?m2?3m?2经过原点,所以44125m2?3m?2?0. 解得m1?2,m2?1(舍去).因此y??x?x.所以点B的坐

42(1) 因为抛物线y??标为(2,4).

(2) ①如图4,设OP的长为t,那么PE=2t,EC=2t,点C的坐标为(3t, 2t).当点C落在抛物线上时,2t??1522?(3t)2??3t.解得t?OP?. 429②如图1,当两条斜边PD与QM在同一条直线上时,点P、Q重合.此时3t=10.解得t?10. 3如图2,当两条直角边PC与MN在同一条直线上,△PQN是等腰直角三角形,PQ=PE.此时10?3t?2t.解得t?2.

如图3,当两条直角边DC与QN在同一条直线上,△PQC是等腰直角三角形,PQ=PD.此时10?3t?4t.解得t?10. 7

图1 图2 图3

考点伸展

在本题情境下,如果以PD为直径的圆E与以QM为直径的圆F相切,求t的值.

如图5,当P、Q重合时,两圆内切,t?

10. 3如图6,当两圆外切时,t?30?202.

图4 图5 图6

例6 2009年嘉兴市中考第24题

如图1,已知A、B是线段MN上的两点,MN?4,MA?1,MB?1.以A为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M、N两点重合成一点C,构成△ABC,设AB?x.

(1)求x的取值范围;

(2)若△ABC为直角三角形,求x的值; (3)探究:△ABC的最大面积?

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“09嘉兴24”,拖动点B在AN上运动,可以体验到,三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;∠CAB和∠ACB可以成为直角,∠CBA不可能成为直角;观察函数的图象,可以看到,图象是一个开口向下的“U”形,当AB等于1.5时,面积达到最大值.

思路点拨

1.根据三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边列关于x的不等式组,可以求得x的取值范围.

2.分类讨论直角三角形ABC,根据勾股定理列方程,根据根的情况确定直角三角形的存在性.

3.把△ABC的面积S的问题,转化为S2的问题.AB边上的高CD要根据位置关系分类讨论,分CD在三角形内部和外部两种情况.

满分解答

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