2013年中考数学压轴题训练教师用

导读:的三个顶点有四次机会可以落在对边的垂直平分线上.双击按钮“第(3)题”,拖动点P由O向C运动,可以体验到,点H在以OM为直径的圆上运动.双击按钮“第(2)题”可以切换.思路点拨1.用含m的代数式表示表示△APD的三边长,为解等腰三角形做好准备.2.探求△APD是等腰三角形,分三种情况列方程求解.3.猜想点H的运动轨迹是一个难题.不变的是直角,会不会找到不变的

2013年中考数学压轴题训练教师用

的三个顶点有四次机会可以落在对边的垂直平分线上.双击按钮“第(3)题”, 拖动点P由O向C运动,可以体验到,点H在以OM为直径的圆上运动.双击按钮“第(2)题”可以切换.

思路点拨

1.用含m的代数式表示表示△APD的三边长,为解等腰三角形做好准备. 2.探求△APD是等腰三角形,分三种情况列方程求解.

3.猜想点H的运动轨迹是一个难题.不变的是直角,会不会找到不变的线段长呢?Rt△OHM的斜边长OM是定值,以OM为直径的圆过点H、C.

满分解答

CPPMMC

(1)因为PC//DB,所以???1.因此PM=DM,CP=BD=2-m.所以

BDDMMB

AD=4-m.于是得到点D的坐标为(2,4-m).

(2)在△APD中,AD2?(4?m)2,AP2?m2?4,PD2?(2PM)2?4?4(2?m)2.

3

①当AP=AD时,(4?m)2?m2?4.解得m?(如图3).

2

4

②当PA=PD时,m2?4?4?4(2?m)2.解得m?(如图4)或m?4(不合题意,

3

舍去).

2

③当DA=DP时,(4?m)2?4?4(2?m)2.解得m?(如图5)或m?2(不合题意,

3

舍去).

342

综上所述,当△APD为等腰三角形时,m的值为,或.

233

图3 图4 图5

(3)点H

考点伸展

第(2)题解等腰三角形的问题,其中①、②用几何说理的方法,计算更简单:

①如图3,当AP=AD时,AM垂直平分PD,那么△PCM∽△MBA.所以PCMB113

??.因此PC?,m?. CMBA222

②如图4,当PA=PD时,P在AD的垂直平分线上.所以DA=2PO.因此4?m?2m.解4得m?.

3

第(2)题的思路是这样的:

如图6,在Rt△OHM中,斜边OM为定值,因此以OM为直径的⊙G经过点H,也就是说点H在圆弧上运动.运动过的圆心角怎么确定呢?如图7,P与O重合时,是点H运动的起点,∠COH=45°,∠CGH=90°.

图6 图7

例4 2011年盐城市中考第28题

4

如图1,已知一次函数y=-x+7与正比例函数y?x 的图象交于点A,且与x轴交

3

于点B.

(1)求点A和点B的坐标; (2)过点A作AC⊥y轴于点C,过点B作直线l//y轴.动点P从点O出发,以每秒1个单位长的速度,沿O—C—A的路线向点A运动;同时直线l从点B出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直线l交x轴于点R,交线段BA或线段AO于点Q.当点P到达点A时,点P和直线l都停止运动.在运动过程中,设动点P运动的时间为t秒.

①当t为何值时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8?

②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“11盐城28”,拖动点R由B向O运动,从图象中可以看到,△APR的面积有一个时刻等于8.观察△APQ,可以体验到,P在OC上时,只存在AP=AQ的情况;P在CA上时,有三个时刻,△APQ是等腰三角形.

思路点拨

1.把图1复制若干个,在每一个图形中解决一个问题.

2.求△APR的面积等于8,按照点P的位置分两种情况讨论.事实上,P在CA上运动时,高是定值4,最大面积为6,因此不存在面积为8的可能.

3.讨论等腰三角形APQ,按照点P的位置分两种情况讨论,点P的每一种位置又要讨论三种情况.

满分解答

?y??x?7,

?x?3, 所以点A的坐标是(3,4).

(1)解方程组? 得?4?

y?x,?y?4.?3?

令y??x?7?0,得x?7.所以点B的坐标是(7,0).

(2)①如图2,当P在OC上运动时,0≤t<4.由S△APR?S梯形CORA?S△,ACP?SP△OR?8

111

得3+7?t)?4??4?(4?t)??t(7?t)?8.整理,得t2?8t?12?0.解得t=2或t=6222(舍去).如图3,当P在CA上运动时,△APR的最大面积为6.

因此,当t=2时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8.

图2 图3 图4

②我们先讨论P在OC上运动时的情形,0≤t<4. 如图1,在△AOB中,∠B=45°,∠AOB>45°,OB=7

,AB?所以OB>AB.因此∠OAB>∠AOB>∠B.

如图4,点P由O向C运动的过程中,OP=BR=RQ,所以PQ//x轴.

因此∠AQP=45°保持不变,∠PAQ越来越大,所以只存在∠APQ=∠AQP的情况. 此时点A在PQ的垂直平分线上,OR=2CA=6.所以BR=1,t=1. 我们再来讨论P在CA上运动时的情形,4≤t<7.

35520

在△APQ中, cos?A?为定值,AP?7?t,AQ?OA?OQ?OA?OR?t?.

5333

52041

如图5,当AP=AQ时,解方程7?t?t?,得t?.

338

如图6,当QP=QA时,点Q在PA的垂直平分线上,AP=2(OR-OP).解方程7?t?2[(7?t)?(t?4)],得t?5.

1AQ如7,当PA=PQ时,那么cos?A?.因此AQ?2AP.解方程?cos?AAP

5203226

. t??2(7?t)?,得t?

33543

41226

综上所述,t=1或或5或时,△APQ是等腰三角形.

843

图5 图6 图7

考点伸展

当P在CA上,QP=QA时,也可以用AP?2AQ?cos?A来求解.

例5 2010年上海市闸北区中考模拟第25题

如图1,在直角坐标平面内有点A(6, 0),B(0, 8),C(-4, 0),点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点,点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动,点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动,MN交OB于点P.

(1)求证:MN∶NP为定值;

(2)若△BNP与△MNA相似,求CM的长; (3)若△BNP是等腰三角形,求CM的长.

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“10闸北25”,拖动点M在CA上运动,可以看到△BNP与△MNA的形状随M的运动而改变.双击按钮“△BNP∽△MNA”,可以体验到,此刻两个三角形都是直角三角形.分别双击按钮“BP=BN,N在AB上”、“NB=NP”和“BP=BN,N在AB的延长线上”,可以准确显示等腰三角形BNP的三种情况.

思路点拨

1.第(1)题求证MN∶NP的值要根据点N的位置分两种情况.这个结论为后面的计算提供了方便.

2.第(2)题探求相似的两个三角形有一组邻补角,通过说理知道这两个三角形是直角三角形时才可能相似.

3.第(3)题探求等腰三角形,要两级(两层)分类,先按照点N的位置分类,再按照顶角的顶点分类.注意当N在AB的延长线上时,钝角等腰三角形只有一种情况.

4.探求等腰三角形BNP,N在AB上时,∠B是确定的,把夹∠B的两边的长先表示出

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