2013年中考数学压轴题训练教师用

导读:②当PO=PM=1时,解方程(46?x)2?(3)2?1,可得x?OA?42555③当OM=OP时,解方程(42?x)2?(6)2?(46?x)2?(3)2,可得x?OA?65.55558例22012年连云港市中考第26题如图1,甲、乙两人分别从A、B两点同时出发,点O为坐标原点.甲沿AO方向、乙沿BO方向均以每小时4千米的速度行走,t小时后,甲到达M点,乙

2013年中考数学压轴题训练教师用

②当PO=PM=1时,解方程(46?x)2?(3)2?1,可得x?OA?42

5

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③当OM=OP时,解方程(42?x)2?(6)2?(46?x)2?(3)2,可得x?OA?65.

5

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5

5

8

例2 2012年连云港市中考第26题

如图1,甲、乙两人分别从A、B两点同时出发,点O为坐标原点.甲沿AO方向、乙沿BO方向均以每小时4千米的速度行走,t小时后,甲到达M点,乙到达N点.

(1)请说明甲、乙两人到达点O前,MN与AB不可能平行; (2)当t为何值时,△OMN∽△OBA?

(3)甲、乙两人之间的距离为MN的长.设s=MN2,求s与t之间的函数关系式,并求甲、乙两人之间距离的最小

值. 图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12连云港26”,拖动点N在射线BO上运动,可以体验到,当

?M、N都在O右侧时,MN与AB不平行.当点A落在MNB上时,∠MNO=∠BAO,△OMN∽△OBA.

请打开超级画板文件名“12连云港26”,拖动点N在射线BO上运动,可以体验到,当

?M、N都在O右侧时,MN与AB不平行.当点A落在MNB上时,∠MNO=∠BAO,△OMN∽△OBA.s与t之间的函数关系式呈抛物线图象,当t=1时,甲、乙两人的最小距离为12

千米.

OM2?4tON6?4t2

答案 (1)当M、N都在O右侧时,??1?2t,??1?t,

OA2OB63

OMON所以.因此MN与AB不平行. ?

OAOB

(2)①如图2,当M、N都在O右侧时,∠OMN>∠B,不可能△OMN∽△OBA. ②如图3,当M在O左侧、N在O右侧时,∠MON>∠BOA,不可能△OMN∽△OBA.

ONOA

③如图4,当M、N都在O左侧时,如果△OMN∽△OBA,那么. ?

OMOB

4t?62所以?.解得t=2.

4t?26

图2 图3 图4

(3)①如图2,OM?2?4t,OH?1?

2t,MH?2t). NH?ON?OH?(6?4t)?(1?2t)?5?2t.

②如图3,OM?4t?2,OH?2t?

1,MH?t?1). NH?ON?OH?(6?4t)?(2t?1)?5?2t.

③如图4,OM?4t?2,OH?2t?

1,MH?t?1). NH?OH?ON?(2t?1)?(4t?6)?5?2t.

综合①、②、③,s?MN2?MH2?

NH2

??(5?2t)2?16t2?32t?28?16(t?1)2?12. ?t?1)?

所以当t=1时,甲、乙两人的最小距离为12千米.

例3 2011年上海市中考第25题

在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=30,AB=50.点P是AB边上任意一点,直线PE⊥AB,与边AC或BC相交于E.点M在线段AP上,点N在线段BP上,EM=EN,

2

sin?EMP?

12. 13

(1)如图1,当点E与点C重合时,求CM的长;

(2)如图2,当点E在边AC上时,点E不与点A、C重合,设AP=x,BN=y,求y关于x的函数关系式,并写出函数的定义域;

(3)若△AME∽△ENB(△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应),求AP的长.

图1 图2 备用图

动感体验

请打开几何画板文件名“11上海25”,拖动点P在AB上运动,从图象中可以看到,y是x的一次函数.观察图形和角度的度量值,可以体验到,点E在AC和BC上,各存在一个时刻,△AME∽△ENB.

请打开超级画板文件名“11上海25”,拖动点P在AB上运动,当点E与点C重合时, CM?26.点E在边AC上时,y是x的一次函数.当AP=42时,三角形相似,且满足顶点对应。

思路点拨

1.本题不难找到解题思路,难在运算相当繁琐.反复解直角三角形,注意对应关系. 2.备用图暗示了第(3)题要分类讨论,点E在BC上的图形画在备用图中. 3.第(3)题当E在BC上时,重新设BP=m可以使得运算简便一些. 满分解答

33

(1)在Rt△ABC中,BC=30,AB=50,所以AC=40,sin?A?,tan?A?.

54

3

在Rt△ACP中,CP?AC?sin?A?40??24.

5CP121313

在Rt△CMP中,因为sin?CMP??,所以CM?CP??24?26.

CM131212

3

(2)在Rt△AEP中,EP?AP?tan?A?x.

4EP12EP12

在Rt△EMP中,因为sin?EMP??,所以tan?EMP??.

EM13MP5

55351313313

因此MP?EP??x?x,EM?EP??x?x.

12124161212416

5

x. 16521

于是y?BN?AB?AP?NP?50?x?x?50?x.

1616

已知EM=EN,PE⊥AB,所以MP=NP?定义域为0<x<32.

513

xxAMEN1616(3)①如图3,当E在AC上时,由,得. ??

MENB1321

x50?x1616

解得x=AP=22.

②如图4,当E在BC上时,设BP=m,那么AP=50-m.

4

在Rt△BEP中,EP?m.

35545131313

在Rt△EMP中,MP?EP??m?m,EM?EP??4m?m.

12123912129

51454

所以AM?AB?BP?MP?50?m?m?50?m,BN?BP?NP?5m?m?m.

9999

141350?mmAMEN99这时由,得.解得m=BP=8.所以AP=50-m=42. ??

MENB134

mm99

x?

图3 图4 图5

考点伸展

如果第(3)题没有条件“△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应”,那么还存在图5所示的一种情况,∠EAM=∠EBN,此时PE垂直平分AB,AP=25.

2.2 由面积产生的函数关系问题

例1 2012年广东省中考第22题

如图1,抛物线y?

123

x?x?9与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,联结BC、22

AC.

(1)求AB和OC的长;

(2)点E从点A出发,沿x轴向点B运动(点E与点A、B不重合),过点E作BC的平行线交AC于点D.设AE的长为m,△ADE的面积为s,求s关于m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;

(3)在(2)的条件下,联结CE,求△CDE面积的最大值;此时,求出以点E为圆心,与BC相切的圆的面积(结果保留π).

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12广东22”,拖动点E由A向B运动,观察图象,可以体验到,△ADE的面积随m的增大而增大,△CDE的面积随m变化的图象是开口向下的抛物线的一部分,E在AB的中点时,△CDE的面积最大.

思路点拨

1.△ADE与△ACB相似,面积比等于对应边的比的平方.

2.△CDE与△ADE是同高三角形,面积比等于对应底边的比. 满分解答

131

(1)由y?x2?x?9?(x?3)(x?6),得A(-3,0)、B(6,0)、C(0,-9).

222

所以AB=9,OC=9.

(2)如图2,因为DE//CB,所以△ADE∽△ACB.

SAE2. 所以?ADE?()

S?ACBAB

181

而S?ACB?AB?OC?,AE=m,

22

AE2m811

所以s?S?ADE?()?S?ACB?()2??m2.

AB922

m的取值范围是0<m<9.

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