2013年中考数学压轴题训练教师用

导读:图2图3考点伸展第(3)题在解答过程中运用了两个高难度动作:一是用旋转的性质说明AB⊥BG;二是BQ?x2?(3x)2??10x.我们换个思路解答第(3)题:如图3,作GH⊥y轴,QN⊥y轴,垂足分别为H、N.通过证明△AOB≌△BHG,根据全等三角形的对应角相等,可以证明∠ABG=90°.在Rt△BGH中,sin?1?1,cos?1?3.1010BQ①当?

2013年中考数学压轴题训练教师用

图2 图3

考点伸展

第(3)题在解答过程中运用了两个高难度动作:一是用旋转的性质说明AB⊥BG;二是BQ?x2?(3x)2??10x.

我们换个思路解答第(3)题:

如图3,作GH⊥y轴,QN⊥y轴,垂足分别为H、N.

通过证明△AOB≌△BHG,根据全等三角形的对应角相等,可以证明∠ABG=90°. 在Rt△BGH中,sin?1?1,cos?1?3.

1010BQ①当?3时,BQ?310.

BA在Rt△BQN中,QN?BQ?sin?1?3,BN?BQ?cos?1?9. 当Q在B上方时,Q1(3,10);当Q在B下方时,Q2(?3,?8). ②当

例4 2011年上海市杨浦区中考模拟第24题

Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示,反比例函数y?BQ1111?时,BQ?10.同理得到Q3(,2),Q4(?,0). BA3333k(k?0)在第一象限内x的图象与BC边交于点D(4,m),与AB边交于点E(2,n),△BDE的面积为2.

(1)求m与n的数量关系;

(2)当tan∠A=

1时,求反比例函数的解析式和直线AB的表达式; 2(3)设直线AB与y轴交于点F,点P在射线FD上,在(2)的条件下,如果△AEO与△EFP 相似,求点P的坐标.

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“11杨浦24”,拖动点A在x轴上运动,可以体验到,直线AB保持斜率不变,n始终等于m的2倍,双击按钮“面积BDE=2”,可以看到,点E正好在BD的垂直平分线上,FD//x轴.拖动点P在射线FD上运动,可以体验到,△AEO与△EFP 相似存在两种情况.

思路点拨

1.探求m与n的数量关系,用m表示点B、D、E的坐标,是解题的突破口. 2.第(2)题留给第(3)题的隐含条件是FD//x轴.

3.如果△AEO与△EFP 相似,因为夹角相等,根据对应边成比例,分两种情况. 满分解答

?4m?k,k

(1)如图1,因为点D(4,m)、E(2,n)在反比例函数y?的图象上,所以?

x2n?k.?整理,得n=2m.

(2)如图2,过点E作EH⊥BC,垂足为H.在Rt△BEH中,tan∠BEH=tan∠A=EH=2,所以BH=1.因此D(4,m),E(2,2m),B(4,2m+1).

已知△BDE的面积为2,所以1),E(2,2),B(4,3).

因为点D(4,1)在反比例函数y?式为y?

1,211BD?EH?(m?1)?2?2.解得m=1.因此D(4,22k

的图象上,所以k=4.因此反比例函数的解析x

4. x

设直线AB的解析式为y=kx+b,代入B(4,3)、E(2,2),得?,?3?4k?b1 解得k?,

2.?2?2k?bb?1.

因此直线AB的函数解析式为y?1x?1. 2

图2 图3 图4

(3)如图3,因为直线y?

1x?1与y轴交于点F(0,1),点D的坐标为(4,1),2所以FD// x轴,∠EFP=∠EAO.因此△AEO与△EFP 相似存在两种情况:

EAEF255?时,.解得FP=1.此时点P的坐标为(1,1). ?AOFP2FPEAFP25FP?②如图4,当时,.解得FP=5.此时点P的坐标为(5,1). ?AOEF25①如图3,当

图5

考点伸展

本题的题设部分有条件“Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示”,如果没有这个条件限制,保持其他条件不变,那么还有如图5的情况:

第(1)题的结论m与n的数量关系不变.第(2)题反比例函数的解析式为y??直线AB为y?12,x1x?7.第(3)题FD不再与x轴平行,△AEO与△EFP 也不可能相似. 2例5 2010年义乌市中考第24题

如图1,已知梯形OABC,抛物线分别过点O(0,0)、A(2,0)、B(6,3). (1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标; (2)将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1,得到如图2的梯形O1A1B1C1.设梯形O1A1B1C1的面积为S,A1、 B1的坐标分别为 (x1,y1)、(x2,y2).用含S的代数式表示x2-x1,并求出当S=36时点A1的坐标;

(3)在图1中,设点D的坐标为(1,3),动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动,动点Q从点D出发,以与点P相同的速度沿着线段DM运动.P、Q两点同时出发,当点Q到达点M时,P、Q两点同时停止运动.设P、Q两点的运动时间为t,是否存在某一时刻t,使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.

图1 图2

动感体验

请打开几何画板文件名“10义乌24”,拖动点I上下运动,观察图形和图象,可以体验到,x2-x1随S的增大而减小.双击按钮“第(3)题”,拖动点Q在DM上运动,可以体验到,如果∠GAF=∠GQE,那么△GAF与△GQE相似.

思路点拨

1.第(2)题用含S的代数式表示x2-x1,我们反其道而行之,用x1,x2表示S.再注意平移过程中梯形的高保持不变,即y2-y1=3.通过代数变形就可以了.

2.第(3)题最大的障碍在于画示意图,在没有计算结果的情况下,无法画出准确的位置关系,因此本题的策略是先假设,再说理计算,后验证.

3.第(3)题的示意图,不变的关系是:直线AB与x轴的夹角不变,直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变.变化的直线PQ的斜率,因此假设直线PQ与AB的交点G在x轴的下方,或者假设交点G在x轴的上方. 满分解答

111(1)抛物线的对称轴为直线x?1,解析式为y?x2?x,顶点为M(1,?).

8482(x1?1?x2?1)???3(x1?x2)?6,由此得到

2s12111x1?x2??2.由于y2?y1?3,所以y2?y1?x2?x2?x12?x1?3.整理,得

38484(2) 梯形O1A1B1C1的面积S?721??1. (x2?x1)?(x2?x1)???3.因此得到x2?x1?S84???x2?x1?14,?x1?6,当S=36时,? 解得? 此时点A1的坐标为(6,3).

x?x?2.x?8.?21?2(3)设直线AB与PQ交于点G,直线AB与抛物线的对称轴交于点E,直线PQ与x

轴交于点F,那么要探求相似的△GAF与△GQE,有一个公共角∠G.

在△GEQ中,∠GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角,为定值.

在△GAF中,∠GAF是直线AB与x轴的夹角,也为定值,而且∠GEQ≠∠GAF. 因此只存在∠GQE=∠GAF的可能,△GQE∽△GAF.这时∠GAF=∠GQE=∠PQD.

由于tan?GAF?

33t20DQt,tan?PQD?,所以?.解得t?. ?445?t7QP5?t

图3 图4

考点伸展

第(3)题是否存在点G在x轴上方的情况?如图4,假如存在,说理过程相同,求得的t的值也是相同的.事实上,图3和图4都是假设存在的示意图,实际的图形更接近图3.

例6 2010年上海市宝山区中考模拟第24题 如图1,已知点A (-2,4) 和点B (1,0)都在抛物线y?mx2?2mx?n上. (1)求m、n;

(2)向右平移上述抛物线,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,若四边形A A′B′B为菱形,求平移后抛物线的表达式;

(3)记平移后抛物线的对称轴与直线AB′ 的交点为C,试在x轴上找一个点D,使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似.

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“10宝山24”,拖动点A′向右平移,可以体验到,平移5个单位后,四边形A A′B′B为菱形.再拖动点D在x轴上运动,可以体验到,△B′CD与△ABC相似有两种情况.

思路点拨

1.点A与点B的坐标在3个题目中处处用到,各具特色.第(1)题用在待定系数法中;第(2)题用来计算平移的距离;第(3)题用来求点B′ 的坐标、AC和B′C的长.

2.抛物线左右平移,变化的是对称轴,开口和形状都不变.

3.探求△ABC与△B′CD相似,根据菱形的性质,∠BAC=∠CB′D,因此按照夹角的两边对应成比例,分两种情况讨论. 满分解答

2(1) 因为点A (-2,4) 和点B (1,0)都在抛物线y?mx上,所以?2mx?n4?4m?4m?n?4, 解得

m??,n?4. ?3?m?2m?n?0.(2)如图2,由点A (-2,4) 和点B (1,0),可得AB=5.因为四边形A A′B′B为菱形,所

以A A′=B′B= AB=5.因为y??4284162x?x?4???x?1??,所以原抛物线的对3333,称轴x=-1向右平移5个单位后,对应的直线为x=4.

因此平移后的抛物线的解析式为y??4?x?4?2?16. 33 图2

(3) 由点A (-2,4) 和点B′ (6,0),可得A B′=45. 如图2,由AM//CN,可得

B'NB'C2B'C?,即?.解得B'C?5.所以B'MB'A845AC?35.根据菱形的性质,在△ABC与△B′CD中,∠BAC=∠CB′D.

ABB'C55?①如图3,当时,,解得B'D?3.此时OD=3,点D的坐?ACB'D35B'D标为(3,0).

②如图4,当坐标为(

ABB'D5135B'D??时,,解得B'D?.此时OD=,点D的ACB'C3335513,0). 3

图3 图4

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