2013年中考数学压轴题训练教师用

导读:时点D的坐标为(-5,9).2532252综上所述,当D的坐标为(,)或(-,9)时,以A、B、C、D为顶点的四边形为直角梯形.考点伸展第(3)题可以用代数的方法这样解:例如图3,先求得直线BC为y=据AD//BC求得直线AD为y=点D的坐标.1.6因动点产生的面积问题例12012年菏泽市中考第21题如图1,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为A(0

2013年中考数学压轴题训练教师用

时点D的坐标为(-

5

,9). 2

5322

52

综上所述,当D的坐标为(,)或(-,9)时,以A、B、C、D为顶点的四边形为直角梯形.

考点伸展

第(3)题可以用代数的方法这样解:例如图3,先求得直线BC为y=据AD//BC求得直线AD为y=点D的坐标.

1.6 因动点产生的面积问题

例 1 2012年菏泽市中考第21题

如图1,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0),将此三角板绕原点O逆时针旋转90°,得到三角形A′B′O.

(1)一抛物线经过点A′、B′、B,求该抛物线的解析式;

(2)设点P是第一象限内抛物线上的一个动点,是否存在点P,使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;

(3)在(2)的条件下,试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形?并写出它的两条性质.

1

x-1,再根2

11

x+,由直线AD和抛物线的解析式组成的方程组,得到24

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12菏泽21”,拖动点P在第一象限内的抛物线上运动,可以体验到,当四边形PB′A′B是等腰梯形时,四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍.

请打开超级画板文件名“12菏泽21”,拖动点P在第一象限内的抛物线上运动,可以体验到,当四边形PB′A′B是等腰梯形时,四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍.

思路点拨

1.四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍,可以转化为四边形PB′OB的面积是 △A′B′O面积的3倍.

2.联结PO,四边形PB′OB可以分割为两个三角形.

3.过点向x轴作垂线,四边形PB′OB也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形. 满分解答

(1)△AOB绕着原点O逆时针旋转90°,点A′、B′的坐标分别为(-1, 0) 、(0, 2). 因为抛物线与x轴交于A′(-1, 0)、B(2, 0),设解析式为y=a(x+1)(x-2), 代入B′(0, 2),得a=1.

所以该抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-2) =-x2+x+2.

(2)S△A′B′O=1.

如果S四边形PB′A′B=4 S△A′B′O=4,那么S四边形PB′OB=3 S△A′B′O=3. 如图2,作PD⊥OB,垂足为D. 设点P的坐标为 (x,-x2+x+2).

1111

S梯形PB'OD=DO(B'O+PD)=x(2-x2+x+2)=-x3+x2+2x.

22221113

S?PDB=DB?PD=(2-x)(-x2+x+2)=x3-x2+2.

2222

2

所以S四边形PB'A'D=S梯形PB'OD+S?PDB=-x+2x+2. 解方程-x2+2x+2=3,得x1=x2=1. 所以点P的坐标为(1,2).

图2 图3 图4

(3)如图3,四边形PB′A′B是等腰梯形,它的性质有:等腰梯形的对角线相等;等腰梯形同以底上的两个内角相等;等腰梯形是轴对称图形,对称轴是经过两底中点的直线. 考点伸展

第(2)题求四边形PB′OB的面积,也可以如图4那样分割图形,这样运算过程更简单.

11

S?PB'O=B'O?xP=?2x=x.

2211

S?PBO=BO?yP=?2(-x2+x+2)=-x2+x+2.

22

所以S四边形PB'A'D=S?PB'O+S?PBO=-x2+2x+2. 甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P:

作△A′OB′关于抛物线的对称轴对称的△BOE,那么点E的坐标为(1,2).

而矩形EB′OD与△A′OB′、△BOP是等底等高的,所以四边形EB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍.因此点E就是要探求的点P.

例 2 2012年河南省中考第23题

1

如图1,在平面直角坐标系中,直线y=x+1与抛物线y=ax2+bx-3交于A、B两点,

2

点A在x轴上,点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上的一动点(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,作PD⊥AB于点D.

(1)求a、b及sin∠ACP的值; (2)设点P的横坐标为m.

①用含m的代数式表示线段PD的长,并求出线段PD长的最大值;

②连结PB,线段PC把△PDB分成两个三角形,是否存在适合的m的值,使这两个三角形的面积比为9∶10?若存在,直接写出m的值;若不存在,请说明理由.

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12河南23”,拖动点P在直线AB下方的抛物线上运动,可以体验到,PD随点P运动的图象是开口向下的抛物线的一部分,当C是AB的中点时,PD达到最大值.观察面积比的度量值,可以体验到,左右两个三角形的面积比可以是9∶10,也可以是10∶9.

思路点拨

1.第(1)题由于CP//y轴,把∠ACP转化为它的同位角.

2.第(2)题中,PD=PCsin∠ACP,第(1)题已经做好了铺垫.

3.△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形,面积比等于对应高DN与BM的比. 4.两个三角形的面积比为9∶10,要分两种情况讨论. 满分解答

1

(1)设直线y=x+1与y轴交于点E,那么A(-2,0),B(4,3),E(0,1).

2

在Rt△AEO中,OA=2,OE=1

,所以AE

.所以sin∠AEO=.

因为PC//EO,所以∠ACP=∠AEO

.因此sin∠ACP

?4a-2b-3=0,

将A(-2,0)、B(4,3)分别代入y=ax2+bx-3,得?

?16a+4b-3=3.

11

解得a=,b=-.

22

111

(2)由P(m,m2-m-3),C(m,m+1),

222

1111

得PC=(m+1)-(m2-m-3)=-m2+m+4.

2222

12所以PD=PCsin∠ACP= -m+m+4)=m-1)22所以PD

5

(3)当S△PCD∶S△PCB=9∶10时,m=;

232

当S△PCD∶S△PCB=10∶9时,m=.

9

图2

考点伸展

第(3)题的思路是:△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形,面积比等于对应高DN与BM的比.

而DN=PDcos∠PDN=PDcos∠ACP=BM=4-m.

121-m+m+4)=-(m+2)(m-4), 25

195

①当S△PCD∶S△PCB=9∶10时,-(m+2)(m-4)=(4-m).解得m=.

510211032

②当S△PCD∶S△PCB=10∶9时,-(m+2)(m-4)=(4-m).解得m=.

599

例 3 2011年南通市中考第28题

m

如图1,直线l经过点A(1,0),且与双曲线y=(x>0)交于点B(2,1).过点P(p,p-1)(p

x

mm

>1)作x轴的平行线分别交曲线y=(x>0)和y=-(x<0)于M、N两点.

xx

(1)求m的值及直线l的解析式;

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