2013年中考数学压轴题训练教师用

导读:111所以点G的纵坐标为4?t2.于是得到GE?(4?t2)?(4?t)??t2?t.444111因此S?ACG?S?AGE?S?CGE?GE(AF?DF)??t2?t??(t?2)2?1.244所以当t=1时,△ACG面积的最大值为1.20(3)t?或t?20?13考点伸展第(3)题的解题思路是这样的:因为FE//QC,FE=QC,所以四边形FECQ是平行

2013年中考数学压轴题训练教师用

111

所以点G的纵坐标为4?t2.于是得到GE?(4?t2)?(4?t)??t2?t.

444111

因此S?ACG?S?AGE?S?CGE?GE(AF?DF)??t2?t??(t?2)2?1.

244

所以当t=1时,△ACG面积的最大值为1.

20

(3)t?

或t?20?

13

考点伸展

第(3)题的解题思路是这样的:

因为FE//QC,FE=QC,所以四边形FECQ是平行四边形.再构造点F关于PE轴对称的点H′,那么四边形EH′CQ也是平行四边形.

再根据FQ=CQ列关于t的方程,检验四边形FECQ是否为菱形,根据EQ=CQ列关于t的方程,检验四边形EH′CQ是否为菱形.

11

E(1?t,4?t),F(1?t,4),Q(3,t),C(3,0).

22

1

如图2,当FQ=CQ时,FQ2=CQ2,因此(t?2)2?(4?t)2?t2.

2

2

整理,得t?40t?80?

0.解得t1?20?

,t2?20?.

1

如图3,当EQ=CQ时,EQ2=CQ2,因此(t?2)2?(4?2t)2?t2.

2

20

整理,得13t2?72t?800?0.(13t?20)(t?40)?0.所以t1?,t2?40(舍去).

13

图2 图3

例 3 2011年上海市中考第24题

已知平面直角坐标系xOy(如图1),一次函数y?

3

x?

3的4

图象与y轴交于点A,点M在正比例函数y?

y=x2+bx+c的图象经过点A、M.

(1)求线段AM的长;

(2)求这个二次函数的解析式;

(3)如果点B在y轴上,且位于点A下方,点C在上述二次函数的图象上,点D在一

3

次函数y?x?3的图象上,且四边形ABCD是菱形,求点C的坐标.

4

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“11上海24”,拖动点B在y轴上点A下方运动,四边形ABCD保持菱形的形状,可以体验到,菱形的顶点C有一次机会落在抛物线上.

思路点拨

1.本题最大的障碍是没有图形,准确画出两条直线是基本要求,抛物线可以不画出来,但是对抛物线的位置要心中有数.

2.根据MO=MA确定点M在OA的垂直平分线上,并且求得点M的坐标,是整个题目成败的一个决定性步骤.

3.第(3)题求点C的坐标,先根据菱形的边长、直线的斜率,用待定字母m表示点C的坐标,再代入抛物线的解析式求待定的字母m.

满分解答

3

(1)当x=0时,y?x?3?3,所以点A的坐标为(0,3),OA=3.

4

33

如图2,因为MO=MA,所以点M在OA的垂直平分线上,点M的纵坐标为.将y?

22

33代入y?x,得x=1.所以点M的坐标为(1,).因此AM

22

?c?3,

352

(2)因为抛物线y=x+bx+c经过A(0,3)、M(1,),所以?解得,b???3221?b?c?.??2c?3.所以二次函数的解析式为y?x2?

3

x的图象上,且MO=MA.二次函数 2

5

x?3. 2

(3)如图3,设四边形ABCD为菱形,过点A作AE⊥CD,垂足为E. 在Rt△ADE中,设AE=4m,DE=3m,那么AD=5m.

因此点C的坐标可以表示为(4m,3-2m).将点C(4m,3-2m)代入y?x2?

5

x?3,得2

3?2m?16m2?10m?3.解得m?

因此点C的坐标为(2,2).

1

或者m=0(舍去). 2

图2 图3

考点伸展

如果第(3)题中,把“四边形ABCD是菱形”改为“以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形”,那么还存在另一种情况:

727

如图4,点C的坐标为(,).

416

图4

例4 2011年江西省中考第24题

将抛物线c1

:y?2x轴翻折,得到抛物线c2,如图1所示. (1)请直接写出抛物线c2的表达式;

(2)现将抛物线c1向左平移m个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为M,与x轴的交点从左到右依次为A、B;将抛物线c2向右也平移m个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为N,与x轴的交点从左到右依次为D、E.

①当B、D是线段AE的三等分点时,求m的值;

②在平移过程中,是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形?若存在,请求出此时m的值;若不存在,请说明理由.

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“11江西24”,拖动点M向左平移,可以体验到,四边形ANEM可以成为矩形,此时B、D重合在原点.观察B、D的位置关系,可以体验到,B、D是线段AE的三等分点,存在两种情况.

思路点拨

1.把A、B、D、E、M、N六个点起始位置的坐标罗列出来,用m的式子把这六个点平移过程中的坐标罗列出来.

2.B、D是线段AE的三等分点,分两种情况讨论,按照AB与AE的大小写出等量关系列关于m的方程.

3.根据矩形的对角线相等列方程. 满分解答

(1)抛物线c2

的表达式为y2

(2)抛物线c1

:y?2x轴的两个交点为(-1,0)、(1,0)

,顶点为. 抛物线c2

:y2x轴的两个交点也为(-1,0)、(1,0)

,顶点为(0,. 抛物线c1向左平移m个单位长度后,顶点M

的坐标为(?m,与x轴的两个交点为A(?1?m,0)、B(1?m,0),AB=2.

抛物线c2向右平移m个单位长度后,顶点N

的坐标为(m,,与x轴的两个交点为D(?1?m,0)、E(1?m,0).所以AE=(1+m)-(-1-m)=2(1+m).

①B、D是线段AE的三等分点,存在两种情况:

1

情形一,如图2,B在D的左侧,此时AB?AE?2,AE=6.所以2(1+m)=6.解得

3

m=2.

2

情形二,如图3,B在D的右侧,此时AB?AE?2,AE=3.所以2(1+m)=3.解得

3

1m?.

2

图2 图3 图4

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