2013年中考数学压轴题训练教师用

导读:1.第(1)题说明△ABC是等腰三角形,暗示了两个动点M、N同时出发,同时到达终点.2.不论M在AO上还是在OB上,用含有t的式子表示OM边上的高都是相同的,用含有t的式子表示OM要分类讨论.3.将S=4代入对应的函数解析式,解关于t的方程.4.分类讨论△MON为直角三角形,不存在∠ONM=90°的可能.满分解答(1)直线y??4x?4与x轴的交点为B(3,

2013年中考数学压轴题训练教师用

1.第(1)题说明△ABC是等腰三角形,暗示了两个动点M、N同时出发,同时到达终点.

2.不论M在AO上还是在OB上,用含有t的式子表示OM边上的高都是相同的,用含有t的式子表示OM要分类讨论.

3.将S=4代入对应的函数解析式,解关于t的方程.

4.分类讨论△MON为直角三角形,不存在∠ONM=90°的可能. 满分解答

(1)直线y??4x?4与x轴的交点为B(3,0)、与y轴的交点C(0,4). 3Rt△BOC中,OB=3,OC=4,所以BC=5. 点A的坐标是(-2,0),所以BA=5. 因此BC=BA,所以△ABC是等腰三角形.

(2)①如图2,图3,过点N作NH⊥AB,垂足为H. 在Rt△BNH中,BN=t,sinB?44,所以NH?t. 55如图2,当M在AO上时,OM=2-t,此时

S?11424?OM?NH?(2?t)?t??t2?t.定义域为0<t≤2. 2255511424?OM?NH?(t?2)?t?t2?t.定义域为2<t≤5. 22555如图3,当M在OB上时,OM=t-2,此时

S?

图2 图3

22424t?t,得t2?t?4. 5555解得t1?2?11,t2?2?11(舍去负值).

②把S=4代入S?因此,当点M在线段OB上运动时,存在S=4的情形,此时t?2?11. ③如图4,当∠OMN=90°时,在Rt△BNM中,BN=t,BM ?5?t,cosB?所以

3, 55?t325?.解得t?. t5825或者t?5时,△MON为直角三角形. 8如图5,当∠OMN=90°时,N与C重合,t?5. 不存在∠ONM=90°的可能. 所以,当t?

图4 图5

考点伸展

在本题情景下,如果△MON的边与AC平行,求t的值.

如图6,当ON//AC时,t=3;如图7,当MN//AC时,t=2.5.

图6 图7

1.4 因动点产生的平行四边形问题

例 1 2012年福州市中考第21题

如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动,动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动,过点P作PD//BC,交AB于点D,联结PQ.点P、Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动的时间为t秒(t≥0).

(1)直接用含t的代数式分别表示:QB=_______,PD=_______;

(2)是否存在t的值,使四边形PDBQ为菱形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由,并探究如何改变点Q的速度(匀速运动),使四边形PDBQ在某一时刻为菱形,求点Q的速度;

(3)如图2,在整个运动过程中,求出线段PQ的中点M所经过的路径长.

图1 图2

动感体验

请打开几何画板文件名“12福州21”,拖动左图中的点P运动,可以体验到,PQ的中点M的运动路径是一条线段.拖动右图中的点Q运动,可以体验到,当PQ//AB时,四边形PDBQ为菱形.

请打开超级画板文件名“12福州21”,拖动点Q向上运动,可以体验到,PQ的中点M的运动路径是一条线段.点击动画按钮的左部,Q的速度变成1.07,可以体验到,当PQ//AB时,四边形PDBQ为菱形.点击动画按钮的中部,Q的速度变成1.

思路点拨

1.菱形PDBQ必须符合两个条件,点P在∠ABC的平分线上,PQ//AB.先求出点P运动的时间t,再根据PQ//AB,对应线段成比例求CQ的长,从而求出点Q的速度.

2.探究点M的路径,可以先取两个极端值画线段,再验证这条线段是不是点M的路径. 满分解答

4(1)QB=8-2t,PD=t.

3(2)如图3,作∠ABC的平分线交CA于P,过点P作PQ//AB交BC于Q,那么四边形PDBQ是菱形.

过点P作PE⊥AB,垂足为E,那么BE=BC=8. 在Rt△ABC中,AC=6,BC=8,所以AB=10. 图3

AE2310在Rt△APE中,cosA???,所以t?.

APt53106?CQCPCQ3.解得CQ?32. 当PQ//AB时,,即??CBCA986321016所以点Q的运动速度为??.

9315(3)以C为原点建立直角坐标系.

如图4,当t=0时,PQ的中点就是AC的中点E(3,0). 如图5,当t=4时,PQ的中点就是PB的中点F(1,4). 直线EF的解析式是y=-2x+6.

6?t6?t如图6,PQ的中点M的坐标可以表示为(,t).经验证,点M(,t)在直

22线EF上.

所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长,EF=25.

图4 图5 图6

考点伸展

第(3)题求点M的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数: 当t=2时,PQ的中点为(2,2).

设点M的运动路径的解析式为y=ax2+bx+c,代入E(3,0)、F(1,4)和(2,2), ?9a?3b?c?0,得??a?b?c?4, 解得a=0,b=-2,c=6. ?4a?2b?c?2.?所以点M的运动路径的解析式为y=-2x+6.

例 2 2012年烟台市中考第26题

如图1,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4).以

2

A为顶点的抛物线y=ax+bx+c过点C.动点P从点A出发,沿线段AB向点B运动,同时动点Q从点C出发,沿线段CD向点D运动.点P、Q的运动速度均为每秒1个单位,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.

(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;

(2)过点E作EF⊥AD于F,交抛物线于点G,当t为何值时,△ACG的面积最大?最大值为多少?

(3)在动点P、Q运动的过程中,当t为何值时,在矩形ABCD内(包括边界)存在点H,使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形?请直接写出t的值.

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12烟台26”,拖动点P在AB上运动,可以体验到,当P在AB的中点时,△ACG的面积最大.观察右图,我们构造了和△CEQ中心对称的△FQE和△ECH′,可以体验到,线段EQ的垂直平分线可以经过点C和F,线段CE的垂直平分线可以经过点Q和H′,因此以C、Q、E、H为顶点的菱形有2个.

请打开超级画板文件名“12烟台26”,拖动点P在AB上运动,可以体验到,当P在AB的中点时,即t=2,△ACG的面积取得最大值1.观察CQ,EQ,EC的值,发现以C、Q、E、H为顶点的菱形有2个.点击动画按钮的左部和中部,可得菱形的两种准确位置。

思路点拨

1.把△ACG分割成以GE为公共底边的两个三角形,高的和等于AD. 2.用含有t的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来.

3.构造以C、Q、E、H为顶点的平行四边形,再用邻边相等列方程验证菱形是否存在. 满分解答

(1)A(1, 4).因为抛物线的顶点为A,设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+4, 代入点C(3, 0),可得a=-1.

所以抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3.

APAB11(2)因为PE//BC,所以??2.因此PE?AP?t.

PEBC221所以点E的横坐标为1?t.

211将x?1?t代入抛物线的解析式,y=-(x-1)2+4=4?t2.

24111所以点G的纵坐标为4?t2.于是得到GE?(4?t2)?(4?t)??t2?t.

444111因此S?ACG?S?AGE?S?CGE?GE(AF?DF)??t2?t??(t?2)2?1.

244所以当t=1时,△ACG面积的最大值为1.

20(3)t?或t?20?85.

13考点伸展

第(3)题的解题思路是这样的:

因为FE//QC,FE=QC,所以四边形FECQ是平行四边形.再构造点F关于PE轴对称的点H′,那么四边形EH′CQ也是平行四边形.

再根据FQ=CQ列关于t的方程,检验四边形FECQ是否为菱形,根据EQ=CQ列关于t的方程,检验四边形EH′CQ是否为菱形.

11E(1?t,4?t),F(1?t,4),Q(3,t),C(3,0).

221如图2,当FQ=CQ时,FQ2=CQ2,因此(t?2)2?(4?t)2?t2.

22整理,得t?40t?80?0.解得t1?20?85,t2?20?85(舍去).

1如图3,当EQ=CQ时,EQ2=CQ2,因此(t?2)2?(4?2t)2?t2.

220整理,得13t2?72t?800?0.(13t?20)(t?40)?0.所以t1?,t2?40(舍去).

13图2 图3

例 3 2011年上海市中考第24题

已知平面直角坐标系xOy(如图1),一次函数y?

3x?3的4图象与y轴交于点A,点M在正比例函数y?y=x2+bx+c的图象经过点A、M.

(1)求线段AM的长;

(2)求这个二次函数的解析式;

(3)如果点B在y轴上,且位于点A下方,点C在上述二次函数的图象上,点D在一

3次函数y?x?3的图象上,且四边形ABCD是菱形,求点C的坐标.

4

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“11上海24”,拖动点B在y轴上点A下方运动,四边形ABCD保持菱形的形状,可以体验到,菱形的顶点C有一次机会落在抛物线上.

思路点拨

1.本题最大的障碍是没有图形,准确画出两条直线是基本要求,抛物线可以不画出来,但是对抛物线的位置要心中有数.

2.根据MO=MA确定点M在OA的垂直平分线上,并且求得点M的坐标,是整个题目成败的一个决定性步骤.

3.第(3)题求点C的坐标,先根据菱形的边长、直线的斜率,用待定字母m表示点C的坐标,再代入抛物线的解析式求待定的字母m.

满分解答

3(1)当x=0时,y?x?3?3,所以点A的坐标为(0,3),OA=3.

433如图2,因为MO=MA,所以点M在OA的垂直平分线上,点M的纵坐标为.将y?223313代入y?x,得x=1.所以点M的坐标为(1,).因此AM?.

222?c?3,352

(2)因为抛物线y=x+bx+c经过A(0,3)、M(1,),所以?解得,b???3221?b?c?.??2c?3.所以二次函数的解析式为y?x2?3x的图象上,且MO=MA.二次函数 25x?3. 2(3)如图3,设四边形ABCD为菱形,过点A作AE⊥CD,垂足为E. 在Rt△ADE中,设AE=4m,DE=3m,那么AD=5m.

因此点C的坐标可以表示为(4m,3-2m).将点C(4m,3-2m)代入y?x2?5x?3,得23?2m?16m2?10m?3.解得m?因此点C的坐标为(2,2).

1或者m=0(舍去). 2

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