理论力学 悬索桥

导读:我们有充分的理由有证明我们的力学模型是正确的,式中L为跨度,a、b分别为悬索两端固定点A、B到最低点C的距离。以上结论,我们通过网上查阅资料,有充分的理由认为合理(误差已经达到很小)。上述模型4.引发的思考:绳子在载荷沿绳索均匀分布时绳子所形成的轨迹是什么呢(事实上常见的架在高空中的电线就是这种模型)?首先,我们只看一根绳索在只受重力情况下的所形成的方程(设载荷沿索长均匀分布,载荷集度为w)如

理论力学 悬索桥

式中L为跨度,a、b分别为悬索两端固定点A、B到最低点C的距离。

以上结论,我们通过网上查阅资料,有充分的理由认为 合理(误差已经达到很小)。

上述模型

4.引发的思考:绳子在载荷沿绳索均匀分布时绳子所形成的轨迹是什么呢(事实上常见的架在高空中的电线就是这种模型)?首先,我们只看一根绳索在只受重力情况下的所形成的方程(设载荷沿索长均匀分布,载荷集度为w)

如图所示,取最低点为c标原点,建立Cxy坐标系,绳上任取一点D(x,y), 取隔离体CD段,画出受力图,由力的平衡方程可得

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Tcos??T0,Tsin??W?ws

T?T?ws,即

dy2022tan??wT0wT0ss (1)

dx?tan?? (a)

2ds?又

?dy?1???dx??dx?ds2?ws??1???T?dx?0? dx?所以 ?ws??1???T?0??2 x?积分可得 -1T0wsinh?1wT0s?C1(b) 其中为sinh(ws/T0)反双曲正弦函数,C1为积分常数。 存在边界条件: s=0时,x=0 代边界条件入(b)式,求出积分常数C1=0。故(b)式变为x?T0wsinh?1wT0s?s,即

T0wsinhwT0x (2)

sinh(wx/T0)为双曲函数,将(2)式代入(a)式得到

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dydx?sinhwT0x

由此可得

y??x0sinhwT0xdx?T0w(coshwT0x?1) (3)

上式表明,当载荷沿绳索均匀分布时,悬索为悬链线形状。

将(2)式代入(1)式,得到 T?T0coshwT0x 由(3)式削去上式中的双曲余弦函数,有 T?T0?wy (4) 由此可见,悬索在最低点(y=0)拉力最小,拉力的最大值发生在支承处A点或B点。 ?TA?T0?wy??TB?T0?wy由(8—29)式计算悬索总长 AB (5) sAB?sCA?sCB?T0w(sinhwaT0?sinhwbT0) (6) 上式中a、b分别为A、B点在水平方向离C点的距离,即

a??xA,b?xB。求a、b的数值也可利用式(3),即:

-1T0?a?cosh?w??T0?b?cosh?w?((wyA-1T0wyBT0?1)?1) (7)

在利用式(1)~(7) 计算悬索拉力、索长以及最低点到两端的距离

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时,均需要首先求出悬索最低点的水平拉力T0(或绳索上任意一点拉力的水平分量),但是计算T0要解超越方程。工程实际中多采用试算法由下式求出

L?a?b?T0w[cosh(-1wyT0A?1)?cosh(-1wyBT0?1)](8)

当绳索完全拉紧时,可以假设载荷沿水平方向均匀分布,悬链线可以用抛物线代替。这可以大大简化问题的求解,而引入的误差很小。

5.小结

事实上,在悬索桥中,悬索本身的重力影响常小,完全可以忽略不计。但是在有些情况下(如架在空中的输电线路)则不能忽略悬索本身的重力,这取决于我们研究的问题。对于悬索桥,如果我们将重力也考虑进去势必会使情况相对复杂(主要是利用上面两种讨论情况的综合),限于篇幅和本身数学知识的局限性以及时间问题,我们小组未予讨论。而且,我们小组成员通过查阅相关资料也证实了悬索桥所形成的形状的确接近于抛物线。因此,我们有充分的理由有证明我们的力学模型是正确的。

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朱永波 第 10 页 2013/4/17

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