数学分析(二)试卷6

导读:数学分析(二)试卷6,数学分析(二)试卷6一、单项选择题(从给出的四个答案中,选出一个最恰当的答案填入括号内,每小题2分,共20分)1、函数f(x)在[a,b]上可积的充要条件是()A??>0,??>0和?>0使得对任一分法?,当?(?)0,?>0,?>0使得对某一分法?,当?(?)

数学分析(二)试卷6

数学分析(二)试卷6

一、单项选择题(从给出的四个答案中,选出一个最恰当的答案填入括号内,每小题2分,

共20分)

1、 函数f(x)在 [a,b] 上可积的充要条件是( )

A ??>0,? ?>0和?>0使得对任一分法?,当?(?)

B ??>0,?>0, ?>0使得对某一分法?,当?(?)

C ??>0,??>0使得对任一分法?,当?(?)

D ??>0, ?>0,? ?>0使得对任一分法?,当?(?)

d2xf(t)dt=( ) 2、函数f(x)连续,则在[a,b]上?1dxA f(2x) B 2f(2x) C 2f(x) D 2f(2x)?f(x) 3、

1??1x2dx?( )

1A -2 B 2 C 0 D 发散 4、liman?0,则

n???an?1??n( )

A 必收敛 B必发散 C必条件收敛 D 敛散性不定 5、若级数

??bn?1??n是

?an?1n更序级数,则( )

?A

?an?1?n和

?bn?1n同敛散 B

??bn?1?n可以发散到+∞

?C 若

?an?1nn绝对收敛,

?bn?1n也收敛 D若

?an?1n条件收敛,

?bn?1n也条件收敛

6、

?an?1?,那么( ) (x)在[a,b]一致收敛,且an(x)可导(n=1,2…)

?A f(x)在[a,b]可导,且f(x)?'?an?1'n(x)

1

B f(x)在[a,b]可导,但f(x)不一定等于

?'?an?1?'n(x)

C

?an?1?'n(x)点点收敛,但不一定一致收敛

D

'a?n(x)不一定点点收敛 n?17、函数项级数

?an?1?n(x)在D上一致收敛的充要条件是( )

A ??>0,? N(?)>0,使?m>n> N有an?1(x)??am(x)?? B ??>0, N>0,使?m>n> N有an?1(x)??am(x)?? C ??>0, ? N(?)>0,使?m>n> N有an?1(x)??am(x)?? D ??>0,? N(?)>0,使?m>n> N有an?1(x)??am(x)?? 8、

?n(x?1)n?1?1n的收敛域为( )

A (-1,1) B (0,2] C [0,2) D [-1,1) 9、重极限存在是累次极限存在的( )

A充分条件 B必要条件 C充分必要条件 D 无关条件 10、

?f(x,y)|(x0,y0)?( ) ?xAlim?x?0f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)f(x0??x,y0)?f(x0,y0) Blim

?x?0?x?xf(x0??x,y0??y)?f(x0??x,y0)f(x0??x,y0) D lim

?x?0?x?xClim?x?0二、计算题:(每小题6分,共30分)

1、

sinxcosx?1??11?x2dx

12、计算由曲线y?x?1,y?0,xy?2和x?e围成的面积 3、求e?x22的幂级数展开

?2z4、 已知z?f(x?y,xy),f(u,v)可微,求

?x?y 2

5、 求

f(x,y)?x?y在(0,0)的累次极限 x?y三、判断题(每小题10分,共20分)

1、 讨论

lncos的敛散性 ?nn?3???xn2、 判断?的绝对和条件收敛性 2n1?xn?1四、证明题(每小题10分,共30分)

1、设f(x)是[-a,a]上的奇函数,证明

??a?af(x)dx?0

x4n(4)2、证明级数y??满足方程y?y

n?0(4n)!3、 证明S为闭集的充分必要条件是Sc是开集。

3

参考答案

一、1、D 2、B3、D4、B5、C6、D7、A8、C9、D10、B

1sinxcosx1sinxcosx?11sinxcosxdxdx?dx=(2分)由于为2??11?x2??11?x2??11?x21?x1sinxcosx11??1dxdxarctanx|?奇函数?=0(2分)=(2分)所以积分值为(1?1??11?x2?1221?x2二、1、解:

1分)

2、 解:两曲线的交点为(1,2)(2分)

所求的面积为:1/2?2?2+

?e212dx?6(4分) xx2xnx4(?1)nx2n?x22????e?1?x?????3、解:由于e?1?x?(3分),2!n!2!n!x(3分)

?z?z?2z4、解:=f1?f2y=f1?f2x(3分)?f11?f2?(x?y)f12?xyf22(3

?x?y?x?y分) 5、解:limx?y?yx?yx?lim??1,?lim?1(3分) (3分)limx?0y?0x?yy?0yy?0x?0x?yy?0x三、1、解:由于lncos?n~?22n2(6分),又

1收敛(2分) ?2n?1n?所以原级数收敛(2分)

xn?|x|n,所以级数绝对收敛(4分)2、解:当|x|?1时,有2x,

x?1xn1?,原级数发散(2分) 当|x|?1时,2xx?121n()??xn当|x|?1时,有?,由上讨论知级数绝对收敛(4分) ??x2n1n?11?xn?11?()2nx四、证明题(每小题10分,共30分)

1、证明:

?a?af(x)dx??f(x)dx??f(x)dx(1)(4分)

?a0aa000a?0?af(x)dxx??t?f(?t)d(?t)???f(t)dt(2)(4分)

将式(2)代入(1)得证(2分)

2、证明:所给级数的收敛域为(??,??),在收敛域内逐项微分之,得

4

???x4n?1x4n?2x4n?3x4n?4'''''(4)(8分)代入得y??y??y??y??(4n?1)!(4n?2)!(4n?3)!(4n?4)!n?1n?1n?1n?1'?证(2分)

3、证明:必要性 若S为闭集,由于S的一切聚点都属于S,因为,对于任意的x?S。x不是S的聚点,也就是说,存在x的邻域O(x,?)使得O(x,?)?S??,即O(x,?)?Sc,因此Sc是开集。

充分性 对任意的x?S,由于Sc是开集,因此存在x的邻域O(x,?)使得O(x,?)?Sc, 即x不是S的聚点。所以如果S有聚点,它就一定属于S.

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