:平面向量基本定理 配图增加试题详解

导读:撰稿:刘杨审稿:严春梅责编:张杨平面向量的基本定理及坐标表示,1.了解平面向量的基本定理及其意义,2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示,3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算,4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.,平面向量基本定理与平面向量的坐标运算.,平面向量基本定理的理解与应用,向量的坐标表示的理解及运算的准确性.,知识点一:平面向量基本定理,是同一平面内两个不共线的向量,那

:平面向量基本定理 配图增加试题详解

北京四中

撰稿:刘杨 审稿:严春梅 责编:张杨 平面向量的基本定理及坐标表示

一、目标认知学习目标:

1.了解平面向量的基本定理及其意义; 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示; 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算; 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

重点:

平面向量基本定理与平面向量的坐标运算.

难点:

平面向量基本定理的理解与应用,向量的坐标表示的理解及运算的准确性.

二、知识要点梳理

知识点一:平面向量基本定理

如果有一对实数 ①其中

是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量,有且只,使

,称

的线性组合.

叫做表示这一平面内所有向量的基底;

的方向分解为两个向量的和,并且这

②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量种分解是唯一的. 这说明如果 ③当基底量基本定理实际

上是平面向量坐标表示的基础. 要点诠释:

,那么.

是两个互相垂直的单位向量时,就建立了平面直角坐标系,因此平面向

平面向量基本定理的作用:平面向量基本定理是建立向量坐标的基础,它保证了向量与坐标是一一对应的,在应用时,构成两个基底的向量是不共线向量.

知识点二:向量坐标与点坐标的关系

当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,即若A(x,y),则 要点诠释:

当向量起点不在原点时,向量y2),则

=(x2-x1,y2-y1).

=(x,y).

坐标为终点坐标减去起点坐标,即若A(x1,y1),B(x2,

知识点三:平面向量的坐标运算运 算 记加法与减法 坐标语言 =(x1,y1),=(x2,y2) =(x2-x1,y2-y1) =(x1+x2,y1+y2),实数与向量的乘积

记=(x,y),则

=(x,y) 知识点四:平面向量平行(共线)的坐标表示

设非零向量或x1y2-x2y1=0. 要点诠释:

,则∥(x1,y1)=(x2,y2),即,

,则∥不能表示成因为分母有可能为0.

三、规律方法指导

1.用向量证明几何问题的一般思路: 先选择一组基底,并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来证明.

2.三点共线的判断方法

判断三点是否共线,先求每两点对应的向量,然后再按两向量共线进行判定,即已知 若

=(x2-x1,y2-y1),

=(x3-x1,y3-y1),

则A,B,C三点共线.

经典例题透析

类型一:平面向量基本定理 配图增加试题详解

1.P是△ABC内一点,且满足条件

,设Q为

延长线与

AB的交点,令,用表示,

.

思路点拨:这里选取

最终变成 解析:

形式求解.

两不共线向量为基底,运用化归思想,

又因为A,B,Q三点共线,C,P,Q三点共线

为不共线向量

故:

总结升华:

1.在平面向量基本定理的应用中,当基底确定后,向量的表示是唯一的,合理的选取基底会给解题带 来方便;

2.解决该类问题,用基底表示向量是基本方法,还应注意三角形法则、中点坐标公式的熟练应用.

举一反三:

【变式1】△ABC中,BD=DC,AE=2EC,求.

思路点拨:选取

作为基底,构造

在此基底下的两种不同的表达形式.再

根据相同基底的系数对应相等得实数方程组求解.

解析:设

?①

??????②

比较①②,由平面向量基本定理得:

解得:或(舍) ,把代入得:

.

类型二:平面向量的坐标运算

2.已知点以及求点C,D的坐标和

的坐标.

思路点拨:根据题意可设出点C、D的坐标,然后利用已知的两个关系式,列方程组,求出坐标.

解析:设点C、D的坐标分别为

, 由

因为,

所以有和,解得和

所以点C、D的坐标分别是(0,4),(-2,0),从而

总结升华:向量的坐标是向量的另一种表示形式,它只与起点、终点、相对位置有关,三者中给出任意两个,可求第三个.在求解时,应将向量坐标看做一“整体”,运用方程的思想求解.向量的坐标运算是向量中最常用也是最基本的运算,必须熟练掌握.

举一反三: 【变式1】已知及

的坐标.

,且

,求M、N

解析:

,则

同理可求

,因此

类型三:平面向量的坐标表示

(1)若 (2)设

满足

3.平面内给定三个向量

求实数k;

.

思路点拨:(1)由两向量平行的条件得出关于k的方程,从而求出实数k的值;(2)由两向量平行及得出关于x,y的两个方程,解方程即可得出x,y的值,从而求出 解析: (1)

.

(2) 又

总结升华:

(1)与平行有关的问题,一般可以考虑运用向量平行的充要条件,用待定系数法求解; (2)向量共线定理的坐标表示提供了代数运算来解决向量共线的方法,也为点共线、线平行问题的处理

提供了简单易行的方法.

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