2013届高考数学第一轮复习教案第11讲 空间中的垂直关系

导读:点评:本题考查直线与平面垂直等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力,分析:(1)由于C1D所在平面A1B1C1垂直平面A1B,只要证明C1D垂直交线A1B1,由直线与平面垂直判定定理可得C1D⊥平面A1B,题型3:面面垂直问题,(2)证明面面垂直的关键在于寻找平面内一直线垂直于另一平面,点评:面面垂直的问题常常转化为线面垂直、线线垂直的问题解决,www.wujiajiaoyu.com,中小

2013届高考数学第一轮复习教案第11讲  空间中的垂直关系

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(II)设BC?3CD,证明EO?平面。

D1证明:(1)∵ABCD—A1B1C1D1是正四柱,

∴CC1⊥平面ADCD,

C1B1A1棱

DCB∴BD⊥CC1 ∵ABCD是正方形 ∴BD⊥AC

又∵AC,CC1?平面ACC1A1, 且AC∩CC1=C,

∴BD⊥平面ACC1A1。 (2)证明:

(I)取CD中点M,连结OM。

A在矩形ABCD中, OM∥BC,又EF∥BC,

OM.连结EM,于是四边形EFOM为平行四边形。 则EF∥1212?FO∥EM.

又?FO?平面CDE,且EM?平面CDE,

?FO∥平面CDE。

(II)连结FM。

由(I)和已知条件,在等边?CDE中,CM?DM, EM?CD 且EM?

31CD?BC?EF. 22AOBCMFE因此平行四边形EFOM为菱形,

D从而EO?FM。

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?CD?OM,CD?EM,?CD?平面EOM,从而CD?EO.

而FM?CD?M,所以EO?平面CDF.

点评:本题考查直线与平面垂直等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力。

例4.如图,直三棱柱ABC—A1B1C1 中,AC =BC =1,∠ACB =90°,AA1 =2,D 是A1B1 中点.(1)求证C1D ⊥平面A1B ;(2)当点F 在BB1 上什么位置时,会使得AB1 ⊥平面C1DF ?并证明你的结论。

分析:(1)由于C1D 所在平面A1B1C1 垂直平面A1B ,只要证明C1D 垂直交线A1B1 ,由直线与平面垂直判定定理可得C1D ⊥平面A1B。

(2)由(1)得C1D ⊥AB1 ,只要过D 作AB1 的垂线,它与BB1 的交点即为所求的F 点位置。

(1)证明:如图,∵ ABC—A1B1C1 是直三棱柱,

∴ A1C1 =B1C1 =1,且∠A1C1B1 =90°。 又 D 是A1B1 的中点,∴ C1D ⊥A1B1 。 ∵ AA1 ⊥平面A1B1C1 ,C1D ?平面A1B1C1 , ∴ AA1 ⊥C1D ,∴ C1D ⊥平面AA1B1B。

(2)解:作DE ⊥AB1 交AB1 于E ,延长DE 交BB1 于F ,连结C1F ,则AB1 ⊥平面C1DF ,点F 即为所求。 事实上,∵ C1D ⊥平面AA1BB ,AB1 ?平面AA1B1B ,

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∴ C1D ⊥AB1 .又AB1 ⊥DF ,DF ?C1D =D , ∴ AB1 ⊥平面C1DF 。

点评:本题(1)的证明中,证得C1D ⊥A1B1 后,由ABC—A1B1C1 是直三棱柱知平面C1A1B1 ⊥平面AA1B1B ,立得C1D ⊥平面AA1B1B。(2)是开放性探索问题,注意采用逆向思维的方法分析问题。 题型3:面面垂直问题

例5.如图,△ABC 为正三角形,EC ⊥平面ABC ,BD ∥CE ,CE =CA =2 BD ,M 是EA 的中点,求证:(1)DE =DA ;(2)平面BDM ⊥平面ECA ;(3)平面DEA ⊥平面ECA。

分析:(1)证明DE =DA ,可以通过图形分割,证明△DEF ≌△DBA。(2)证明面面垂直的关键在于寻找平面内一直线垂直于另一平面。由(1)知DM ⊥EA ,取AC 中点N ,连结MN 、NB ,易得四边形MNBD 是矩形。从而证明DM ⊥平面ECA。

证明:(1)如图,取EC 中点F ,连结DF。

∵ EC ⊥平面ABC ,BD ∥CE ,得DB ⊥平面ABC 。

∴ DB ⊥AB ,EC ⊥BC。

∵ BD ∥CE ,BD =CE =FC ,则四边形FCBD 是矩形,DF ⊥EC。

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又BA =BC =DF ,

∴ Rt△DEF ≌Rt△ABD ,所以DE =DA。 (2)取AC 中点N ,连结MN 、NB , ∵ M 是EA 的中点, ∴ MN 由BD

1EC。 21EC ,且BD ⊥平面ABC ,可得四边形MNBD 是矩2形,于是DM ⊥MN。

∵ DE =DA ,M 是EA 的中点,

[来源:Z#xx#k.Com]

∴ DM ⊥EA .又EA ?MN =M ,

[来源学科网Z|X|X|K]∴ DM ⊥平面ECA ,而DM ?平面BDM ,则平面ECA ⊥平面BDM。

(3)∵ DM ⊥平面ECA ,DM ?平面DEA , ∴ 平面DEA ⊥平面ECA。

点评:面面垂直的问题常常转化为线面垂直、线线垂直的问题解决。

例6.如图所示,正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,底面边长为22,侧棱长为4.E,F分别为棱AB,BC的中点,EF∩BD=G。

(Ⅰ)求证:平面B1EF⊥平面BDD1B1; (Ⅱ)求点D1到平面B1EF的距离d; (Ⅲ)求三棱锥B1—EFD1的体积V。 (Ⅰ)证法一:连接AC。

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∵正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是正方形。 ∴AC⊥BD,又AC⊥D1D,故AC⊥平面BDD1B1

∵E,F分别为AB,BC的中点,故EF∥AC,∴EF⊥平面BDD1B1 ∴平面B1EF⊥平面BDD1B1。

证法二:∵BE=BF,∠EBD=∠FBD=45°,∴EF⊥BD. ∴平面B1EF⊥平面BDD1B1。

(Ⅱ)解:在对角面BDD1B1中,作D1H⊥B1G,垂足为H ∵平面B1EF⊥平面BDD1B1,且平面B1EF∩平面BDD1B1=B1G, ∴D1H⊥平面B1EF,且垂足为H,∴点D1到平面B1EF的距离d=D1H。

[来源:Z*xx*k.Com]

解法一:在Rt△D1HB1中,D1H=D1B1·sinD1B1H, ∵D1B1=2A1B1=4,

B1B?sinD1B1H=sinB1GB=GB1442?12?4, 17∴d=D1H=4·416?17. 1717解法二:∵△D1HB∽△B1BG,∴

D1HD1B1? B1BB1GB1B216?17。 ∴d=D1H=

B1G17图 解法三:如图所示,连接D1G,则三角形D1GB1的面积等于正方形DBB1D1面积的一半.即B1G·D1H=BB12。

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