17-18版:1.2.2 第2课时 分段函数及映射(步步高)

导读:第2课时分段函数及映射,学习目标1.会用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数,能研究有关性质.3.了解映射的概念.,知识点一分段函数,则对应B中的y=-x.按函数定义,这一对算不算函数?,分段函数就是在函数定义域内,有着不同的____________的函数.,(2)分段函数是一个函数,其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的________,各段函数的定义域的交集是________

17-18版:1.2.2 第2课时 分段函数及映射(步步高)

第2课时 分段函数及映射

学习目标 1.会用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数,能研究有关性质.3.了解映射的概念.

知识点一 分段函数

思考 设集合A=R,B=[0,+∞).对于A中任一元素x,规定:若x≥0,则对应B中的y=x;若x<0,则对应B中的y=-x.按函数定义,这一对算不算函数?

梳理 (1)一般地,分段函数就是在函数定义域内,对于自变量x的不同取值范围,有着不同的____________的函数.

(2)分段函数是一个函数,其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的________;各段函数的定义域的交集是________.

(3)作分段函数图象时,应分别作出每一段的图象. 知识点二 映射

思考 设A={三角形},B=R,对应关系f:每个三角形对应它的周长.这个对应是不是函数?它与函数有何共同点?

梳理 映射的概念

设A,B是两个非空的__________,如果按某一个确定的____________f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中____________确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的____________. 函数一定是映射,映射不一定是函数.

类型一 建立分段函数模型

例1 如图所示,已知底角为45°的等腰梯形ABCD,底边BC长为

7cm,腰长为22cm,当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线l把梯形分成两部分,令BF=x,试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式,并画出大致图象.

反思与感悟 当目标在不同区间有不同的解析表达方式时,往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系,而分段函数图象也需要分段画.

跟踪训练1 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定: (1)5公里以内(含5公里),票价2元;

(2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里按照5公里计算).

如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象.

类型二 研究分段函数的性质 命题角度1 给x求y

x+1,x≤-2,??2

例2 已知函数f(x)=?x+2x,-2

??2x-1,x≥2. 引申探究

5

试求f(-5),f(-3),f(f(-))的值.

2

例2中f(x)解析式不变,若x≥-5,求f(x)的取值范围.

反思与感悟 分段函数求函数值的方法 (1)确定要求值的自变量属于哪一区间;

(2)代入该段的解析式求值,直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时,应从内到外依次求值. x+4,x≤0,??2

跟踪训练2 已知函数f(x)=?x-2x,0

??-x+2,x>4.(1)求f(f(f(5)))的值; (2)画出函数f(x)的图象.

命题角度2 给y求x

??2x,x≤2,

例3 已知函数f(x)=?2

?x+2,x>2.?

(1)若f(x0)=8,求x0的值; (2)解不等式f(x)>8.

反思与感悟 已知函数值求变量x取值的步骤: (1)先对x的取值范围分类讨论; (2)然后代入到不同的解析式中; (3)通过解方程求出x的解;

(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内;

(5)若解不等式,应把所求x的范围与所讨论区间求交集,再把各区间内的符合要求的x的值并起来.

2

??x,-1≤x≤1,

跟踪训练3 已知f(x)=?

??1,x>1或x<-1.

(1)画出f(x)的图象;

1

(2)若f(x)≥,求x的取值范围;

4(3)求f(x)的值域.

类型三 映射的概念

例4 以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射?

(1)集合A={P|P是数轴上的点},集合B=R,对应关系f:数轴上的点与它所代表的实数对应;

(2)集合A={P|P是平面直角坐标系中的点},集合B={(x,y)|x∈R,y∈R},对应关系f:平面直角坐标系中的点与它的坐标对应;

(3)集合A={x|x是三角形},集合B={x|x是圆},对应关系f:每一个三角形都对应它的内切圆;

(4)集合A={x|x是新华中学的班级},集合B={x|x是新华中学的学生},对应关系f:每一个班级都对应班里的学生.

反思与感悟 映射是一种特殊的对应,它具有:(1)方向性:一般地从A到B的映射与从B到A的映射是不同的;(2)唯一性:集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应,可以是:一对一,多对一,但不能一对多.

跟踪训练4 设集合A={x|1≤x≤2},B={y|1≤y≤4},则下述对应关系f中,不能构成从A到B的映射的是( ) A.f:x→y=x2 B.f:x→y=3x-2 C.f:x→y=-x+4 D.f:x→y=4-x2

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