第15课 二次函数

导读:第15课二次函数,〖知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向〖大纲要求〗,1.理解二次函数的概念,2.会把二次函数的一般式化为顶点式,会用描点法画二次函数的图象,3.会平移二次函数y=ax(a≠0)的图象得到二次函数y=a(ax+m)+k的图,4.会用待定系数法求二次函数的解析式,5.利用二次函数的图象,了解二次函数的增减性,会求二次函数的图象与x轴的交点坐标和函数的最大值、最小值,二

第15课  二次函数

第15课 二次函数

〖知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向 〖大纲要求〗

1. 理解二次函数的概念;

2. 会把二次函数的一般式化为顶点式,确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向,会用描点法画二次函数的图象; 3. 会平移二次函数y=ax(a≠0)的图象得到二次函数y=a(ax+m)+k的图象,了解特殊与一般相互联系和转化的思想; 4. 会用待定系数法求二次函数的解析式;

5. 利用二次函数的图象,了解二次函数的增减性,会求二次函数的图象与x轴的交点坐标和函数的最大值、最小值,了解

二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。 内容分析

(1) 二次函数及其图象

如果y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),那么y叫做x的二次函数.二次函数的图象是抛物线,可用描点法画出二次函数的图象. (2)抛物线的顶点、对称轴和开口方向

2

2

2

bb4ac?b2,),对称轴是x??, 抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的顶点是(?2a2a4a2

当a>0时,抛物线开口向上,当a<0时,抛物线开口向下。 抛物线y=a(x+h)2+k(a≠0)的顶点是(-h,k),对称轴是x=-h. 〖考查重点与常见题型〗

1. 考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如:

已知以x为自变量的二次函数y=(m-2)x+m-m-2额图像经过原点, 则m的值是

2. 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像,试题

类型为选择题,如:

如图,如果函数y=kx+b的图像在第一、二、三象限内,那么函数y=kx+bx-1的图像大致是( )

y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D 3. 考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题和选拔性的综合题,如: 5

已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴为x= ,求这条抛物线的解析式。

3

4. 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题,如:

32

已知抛物线y=ax+bx+c(a≠0)与x轴的两个交点的横坐标是-1、3,与y轴交点的纵坐标是- (1)确定抛物线的解

2析式;(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5.考查代数与几何的综合能力,常见的作为专项压轴题。 习题1:

一、填空题:(每小题3分,共30分)

1、 已知A(3,6)在第一象限,则点B(3,-6)在第 象限 1

2、 对于y=- ,当x>0时,y随x的增大而

3、 二次函数y=x+x-5取最小值是,自变量x的值是 4、 抛物线y=(x-1)-7的对称轴是直线x= 第 1 页 共 5 页

2

2

2

5、 直线y=-5x-8在y轴上的截距是 6、 函数y=

中,自变量x的取值范围是

2-4x

m2+3m+1

7、 若函数y=(m+1)x8、 在公式

是反比例函数,则m的值为

1-a

=b中,如果b是已知数,则a= 2+a

9、 已知关于x的一次函数y=(m-1)x+7,如果y随x的增大而减小,则m的取值范围是 10、

某乡粮食总产值为m吨,那么该乡每人平均拥有粮食y(吨),与该乡人口数x的函数关系式是

二、选择题:(每题3分,共30分)

11、函数y=x-5 中,自变量x的取值范围( )(A)x>5 (B)x<5 (C)x≤5 (D)x≥5 12、抛物线y=(x+3)-2的顶点在()(A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 13、抛物线y=(x-1)(x-2)与坐标轴交点的个数为( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 14、下列各图中能表示函数和在同一坐标系中的图象大致是( )

yy54321-5-4-3-2-154321123452

y54321y54321-5-4-3-2-10-1-2-3-4-5x-5-4-3-2-10-1-2-3-412345x0-1-2-3-412345x-5-4-3-2-10-1-2-3-412345x -5 -5 -5 (A) (B) (C) (D)

15.平面三角坐标系内与点(3,-5)关于y轴对称点的坐标为()(A)(-3,5)(B)(3,5)(C)(-3,-5)(D)(3,-5) 112222

16.下列抛物线,对称轴是直线x= 的是()y= x(B)y=x+2x(C)y=x+x+2(D)y=x-x-2

223x111

17.函数y= 中,x的取值范围是( )(A)x≠0 (B)x> (C)x≠ (D)x< 1-2x222231

18.已知A(0,0),B(3,2)两点,则经过A、B两点的直线是()(A)y= x(B)y= x(C)y=3x(D)y= x+1

32319.不论m为何实数,直线y=x+2m与y=-x+4的交点不可能在第( )象限(A)一 (B)二 (C)三(D)四 20.某幢建筑物,从10米高的窗口A用水管和向外喷水,喷的水流呈抛物线(抛物线所在平面与墙40

面垂直,(如图)如果抛物线的最高点M离墙1米,离地面 米,则水流下落点B离墙距离OB是( )

3(A)2米 (B)3米 (C)4米 (D)5米

三.解答下列各题(21题6分,22----25每题4分,26-----28每题6分,共40分)

1

21.已知:直线y= x+k过点A(4,-3)。(1)求k的值;(2)判断点B(-2,-6)是否在这

2条直线上;(3)指出这条直线不过哪个象限。

522.已知抛物线经过A(0,3),B(4,6)两点,对称轴为x= ,

3(1) 求这条抛物线的解析式;

(2) 试证明这条抛物线与X轴的两个交点中,必有一点C,使得对于x轴上任意一点D都有AC+BC≤AD+BD。 23.已知:金属棒的长1是温度t的一次函数,现有一根金属棒,在O℃时长度为200cm,温度提高1℃,它就伸长0.002cm. (1) 求这根金属棒长度l与温度t的函数关系式; (2) 当温度为100℃时,求这根金属棒的长度; 第 2 页 共 5 页

(3) 当这根金属棒加热后长度伸长到201.6cm时,求这时金属棒的温度。

24.已知x1,x2,是关于x的方程x-3x+m=0的两个不同的实数根,设s=x1+x2 (1) 求S关于m的解析式;并求m的取值范围; (2) 当函数值s=7时,求x1+8x2的值;

25.已知抛物线y=x-(a+2)x+9顶点在坐标轴上,求a的值。

26.如图,在直角梯形ABCD中,∠A=∠D=Rt∠,截取AE=BF=DG=x,已知AB=6,CD=3,AD=4,求: (1) 四边形CGEF的面积S关于x的函数表达式和X的取值范围; (2) 当x为何值时,S的数值是x的4倍。

DXGC2

3

2

2

2

EXAFXB

27、国家对某种产品的税收标准原定每销售100元需缴税8元(即税率为8%),台洲经济开发区某工厂计划销售这种产品m吨,每吨2000元。国家为了减轻工人负担,将税收调整为每100元缴税(8-x)元(即税率为(8-x)%),这样工厂扩大了生产,实际销售比原计划增加2x%。

(1) 写出调整后税款y(元)与x的函数关系式,指出x的取值范围;

(2) 要使调整后税款等于原计划税款(销售m吨,税率为8%)的78%,求x的值.

28、已知抛物线y=x+(2-m)x-2m(m≠2)与y轴的交点为A,与x轴的交点为B,C(B点在C点左边) (1) 写出A,B,C三点的坐标;

(2) 设m=a-2a+4试问是否存在实数a,使△ABC为Rt△?若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由; (3) 设m=a-2a+4,当∠BAC最大时,求实数a的值。 习题2:

一.填空(20分)

32

1.二次函数=2(x - )+1图象的对称轴是 。

2

22

2.函数y=1?2xx?1的自变量的取值范围是 。

3.若一次函数y=(m-3)x+m+1的图象过一、二、四象限,则的取值范围是 。

4.已知关于的二次函数图象顶点(1,-1),且图象过点(0,-3),则这个二次函数解析式为 。 5.若y与x成反比例,位于第四象限的一点P(a,b)在这个函数图象上,且a,b是方程x-x -12=0的两根,则这个函数

的关系式 。 6.已知点P(1,a)在反比例函数y=

2

2

k(k≠0)的图象上,其中a=m+2m+3(m为实数),则这个函数图象在第 象限。 x2

7. x,y满足等式x=

2

3y?2,把y写成x的函数 ,其中自变量x的取值范围是 。

y2y?1o-28.二次函数y=ax+bx+c+(a?0)的图象如图,则点P(2a-3,b+2)

在坐标系中位于第 象限

9.二次函数y=(x-1)+(x-3),当x= 时,达到最小值 。

2

2

2

-2x10.抛物线y=x-(2m-1)x- 6m与x轴交于(x1,0)和(x2,0)两点,已知x1x2=x1+x2+49,要使抛物线经过原点,应将它

向右平移 个单位。 第 3 页 共 5 页

二.选择题(30分)

11.抛物线y=x+6x+8与y轴交点坐标( )(A)(0,8) (B)(0,-8) (C)(0,6) (D)(-2,0)(-4,0) 12.抛物线y= -2

12(x+1)+3的顶点坐标( )(A)(1,3) (B)(1,-3) (C)(-1,-3) (D)(-1,3)

2

2

13.如图,如果函数y=kx+b的图象在第一、二、三象限,那么函数y=kx+bx-1的图象大致是( )

y1oxAByo-1xy1oxCy14.函数y=2?x的自变量x的取值范围是( )

x?12

-1Dox(A)x?2 (B)x<2 (C)x> - 2且x?1 (D)x?2且x?–1

15.把抛物线y=3x先向上平移2个单位,再向右平移3个单位,所得抛物线的解析式是( ) (A)=3(x+3)-2 (B)=3(x+2)+2 (C)=3(x-3)-2 (D)=3(x-3)+2 16.已知抛物线=x+2mx+m -7与x轴的两个交点在点(1,0)两旁,则关于x的方程

22

2

2

2

14x+(m+1)x+m+5=0的根的情况是

y22

( )(A)有两个正根 (B)有两个负数根 (C)有一正根和一个负根 (D)无实根 17.函数y= - x的图象与图象y=x+1的交点在第( )象限(A)第一 (B)二 (C)三 (D)四 18.如果以y轴为对称轴的抛物线y=ax+bx+c的图象,如图,

则代数式b+c-a与0的关系( )(A)b+c-a=0 (B)b+c-a>0 (C)b+c-a<0 (D)不能确定 19.已知:二直线y= -2

Ox3x +6和y=x - 2,它们与y轴所围成的三角形的面积为( )(A)6 (B)10 (C)20 (D)12 520.某学生从家里去学校,开始时匀速跑步前进,跑累了后,再匀速步行余下的路程。下图所示图中,横轴表示该生从家里出发的时间t,纵轴表示离学校的路程s,则路程s与时间t之间的函数关系的图象大致是( )

ssssoAtoBtoCtoDt32三.解答题(21~23每题5分,24~28每题7分,共50分)

21.已知抛物线y=ax+bx+c(a?0)与x轴的两交点的横坐标分别是-1和3,与y轴交点的纵坐标是-2

(1)确定抛物线的解析式;

(2)用配方法确定抛物线的开口方向,对称轴和顶点坐标。 22、如图抛物线与直线

y?k(x?4)都经过坐标轴的正半轴上A,B两点,该抛物线的对称轴x=—1,与x轴交于点C,

Y且∠ABC=90°求: (1)直线AB的解析式;(2)抛物线的解析式。

23、某商场销售一批名脾衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决 第 4 页 共 5 页

COAXB定采取适当的降价措施.经调查发现每件衬衫降价1元, 商场平均每天可多售出2件: (1)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫要降价多少元, (2)每件衬衫降价多少元时,商场平均每天盈利最多? 24、已知:二次函数求a、b的值。

25、如图,已知⊿ABC是边长为4的正三角形,AB在x轴上,点C在第一象限,AC与y轴交于点D,点A的坐标为{—1,0),求(1)B,C,D三点的坐标;

Yy?x2?2ax?2b?1和y??x2?(a?3)x?b2?1的图象都经过x轴上两个不同的点M、N,

(2)抛物线

y?ax?bx?c经过B,C,D三点,求它的解析式;

2C (3)过点D作DE∥AB交过B,C,D三点的抛物线于E,求DE的长。

26 某市电力公司为了鼓励居民用电,采用分段计费的方法计算电费:每月用电不超100度

时,按每度0.57元计费:每月用电超过100度时.其中的100度仍按原标准收费,超过部分按每度0.50元计费。 (1)设月用电x度时,应交电费y元,当x≤100和x>100时,分别写出y关于x的函数 关系式;

(2)小王家第一季度交纳电费情况如下: 月 份 交费金额 一月份 76元 二月份 63元 三月份 45元6角 合 计 184元6角 AOBXDE问小王家第一季度共用电多少度?

222y?x?(m?5)x?2m?6 27、巳知:抛物线

(1)求证;不论m取何值,抛物线与x轴必有两个交点,并且有一个交点是A(2,0); (2)设抛物线与x轴的另一个交点为B,AB的长为d,求d与m之间的函数关系式; (3)设d=10,P(a,b)为抛物线上一点: ①当⊿ABP是直角三角形时,求b的值;

②当⊿ABP是锐角三角形,钝角三角形时,分别写出b的取值范围(第2题不要求写出过程) 28、已知二次函数的图象与y轴的交点为C;

(1)若⊿ABC为Rt⊿,求m的值;

(1)在⊿ABC中,若AC=BC,求sin∠ACB的值;

(3)设⊿ABC的面积为S,求当m为何值时,s有最小值.并求这个最小值。

第 5 页 共 5 页

52y?x2?(m2?4m?)x?2(m2?4m?)与x轴的交点为A,B(点B在点A的右边),

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