2001-2010年考研真题(数学一试卷版纯打印版)

导读:数学(一)试卷,2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)?x2?x(1)极限limx????(x?a)(x?b)?=?(A)1(B)e(C)ea?b(D)eb?a(2)设函数z?z(x,y)由方程F(yx,zx)?0确定,其中F为可微

2001-2010年考研真题(数学一试卷版纯打印版)

2010年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

?x

2

?x

(1)极限limx????(x?a)(x?b)

?= ?

(A)1 (B)e

(C)ea?b

(D)eb?a

(2)设函数z?z(x,y)由方程F(yx,zx)?0确定,其中F为可微函数,且F?z?z2??0,则x?x?y?y

= (A)x (B)z (C)?x

(D)?z

(3)设m,n为正整数,

则反常积分?0的收敛性

(A)仅与m取值有关 (B)仅与n取值有关

(C)与m,n取值都有关

(D)与m,n取值都无关

n

n

(4)lim

2

?j2

)

=

x??

??n

i?1

j?1(n?i)(n

(A)?1

x10

(1?x)(1?y2

)

dy

(B)

0dx?

?

10

dx?

x10

(1?x)(1?y)dy

(C)?1

11

(D)1

dx?

(1?x)(1?y)

dy ?110

dx?

(1?x)(1?y2

)

dy

(5)设A为m?n型矩阵,B为n?m型矩阵,若AB?E,则 (A)秩(A)?m,秩(B)?m (B)秩(A)?m,秩(B)?n

(C)秩(A)?n,秩(B)?m

(D)秩(A)?n,秩(B)?n

(6)设A为4阶对称矩阵,且A2

?A?0,若A的秩为3,则A相似于 ?1??1??1

???

(A)?

??1

?

(B)?

1

????1

?

?

0??

??

0??

?1

???1???(C)?

?1

???1

????

(D)?

?? ??1

?

0??

??1

?

0??

0 x?0

(7)设随机变量X的分布函数F(x)?

1则2

0?x?1,P{X?1}=

1?e?x

x?2

(A)0

(B)1

(C)1

2

?e?1

(D)1?e?1

(8)设f1(x)为标准正态分布的概率密度,f2(x)为[?1,3]上均匀分布的概率密度,

f(x?

af1(x)bf

x?02(x)

x?0

(a?0,b?0)

为概率密度,则a,b应满足

(A)2a?3b?4 (B)3a?2b?4

(C)a?b?1

(D)a?b?2

二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)

2

(9)设x?e?t

,y?

?

t.

ln(1?u2

)du,求

dydx

2t?0

(10)?

?

2

= .

(11)已知曲线L的方程为y?1?x{x?[?1,1]},起点是(?1,0),终点是(1,0), 则曲线积分?xydx?x2

L

dy= .

(12)设??{(x,y,z)|x2?y2

?z?1},则?的形心的竖坐标.

(13)设α(1,2,?1,0)T,α?(1,1,0,2)T,αT

1?23?(2,1,1,?),若由α1,α2,α3形成的向量空间的维数是2,则

?.

(14)设随机变量X概率分布为P{X?k}?

Ck!

(k?0,1,2,?),则EX2.

三、解答题(15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分10分)

求微分方程y???3y??2y?2xex的通解.

(16)(本题满分10分) 求函数f(x)?

?

x

2

t)e

?t

2

1

(x?dt的单调区间与极值.

(17)(本题满分10分)

(1)比较?1

lnt[ln(1?t)]ndt与?1

tnlntdt(n?1,2,?)的大小,说明理由.

(2)记un?

?

1

lnt[ln(1?t)]n

dt(n?1,2,?),求极限limx??

un.

(18)(本题满分10分)

?

求幂级数?

(?1)

n?1

n

n?1

2n?1

x

2的收敛域及和函数.

设P为椭球面S:x2?y2?z2?yz?1上的动点,若S在点P的切平面与xoy面垂直,求P点的轨迹C,并计算曲面

???

设A?0

??1?

1

1??a????

0,b?1,已知线性方程组Ax?b存在两个不同的解. ?????1?????

??11

积分I?

??

?

,其中?是椭球面S位于曲线C上方的部分.

(1)求?,a.

(2)求方程组Ax?b的通解.

设二次型f(xTAx在正交变换x?Qy下的标准形为y22

T

1,x2,x3)?x1?y2,且Q

的第三列为2

0,

2

.

(1)求A.

(2)证明A?E为正定矩阵,其中E为3阶单位矩阵.

(22)(本题满分11分)

设二维随机变量(X?Y)的概率密度为f(x,y)?Ae?2x2

?2xy?y

2

,???x??,???y??,求常数及A条件概率密

度fY|X(y|x).

(23)(本题满分11 分)

设总体X的概率分布为

其中??(0,1)未知,以Ni来表示来自总体X的简单随机样本(样本容量为n)中等于i的个数(i?1,2,3),试求常数

3

a1,a2,a3,使T?

?ai

N

i

为?的无偏估计量,并求T的方差.

i?1

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