同济大学第六版高数学课后练习详细解答

导读:lim|(?1)n|?1?但数列{|xn|}有极限?但数列{xn}未必有极限?例如n??n??lim(?1)n不存在?limyn?0?证明?limxnyn?0?5?设数列{xn}有界?又n??n??证明因为数列{xn}有界?所以存在M?使?n?Z?有|xn|?M?limyn?0?所以???0??N?N?当n?N时?有|yn|???从而当n?N又n??M时?有

同济大学第六版高数学课后练习详细解答

lim|(?1)n|?1? 但 数列{|xn|}有极限? 但数列{xn}未必有极限? 例如n??n??lim(?1)n不存在?

limyn?0? 证明? limxnyn?0? 5? 设数列{xn}有界? 又n??n?? 证明 因为数列{xn}有界? 所以存在M? 使?n?Z? 有|xn|?M?

limyn?0? 所以???0? ?N?N? 当n?N时? 有|yn|??? 从而当n?N 又n??M时? 有

|xnyn?0|?|xnyn|?M|yn|?M?????

Mlimxnyn?0? 所以n??

6? 对于数列{xn}? 若x2k?1?a(k??)? x2k ?a(k ??)? 证明? xn?a(n??)?

证明 因为x2k?1?a(k??)? x2k ?a(k ??)? 所以???0? ?K1? 当2k?1?2K1?1时? 有| x2k?1?a|?? ? ?K2? 当2k?2K2时? 有|x2k?a|?? ?

取N?max{2K1?1? 2K2}? 只要n?N? 就有|xn?a|?? ? 因此xn?a (n??)? 习题1?3

1? 根据函数极限的定义证明? (3x?1)?8? (1)limx?3 分析 因为

|(3x?1)?8|?|3x?9|?3|x?3|? 所以要使|(3x?1)?8|?? ? 只须|x?3|?1??

3 证明 因为???0? ???1?? 当0?|x?3|??时? 有

3 |(3x?1)?8|?? ?

(3x?1)?8? 所以limx?3(5x?2)?12? (2)limx?2 分析 因为

|(5x?2)?12|?|5x?10|?5|x?2|? 所以要使|(5x?2)?12|?? ? 只须|x?2|?1??

5 证明 因为?? ?0? ???1?? 当0?|x?2|??时? 有

5 |(5x?2)?12|?? ?

(5x?2)?12? 所以limx?22x?4??4 (3)xlim? ??2x?2 分析 因为

22 x?4?(?4)?x?4x?4?|x?2|?|x?(?2)|?

x?2x?2x2?4?(?4)??所以要使? 只须|x?(?2)|??? x?2 证明 因为?? ?0? ????? 当0?|x?(?2)|??时? 有

x2?4?(?4)?? ? x?22x?4??4所以xlim? ??2x?2

31?4x (4)lim?2? 12x?1x??2 分析 因为

3 1?4x?2?|1?2x?2|?2|x?(?1)|?

2x?121?4x3?2??所以要使? 只须|x?(?1)|?1?? 2x?122 证明 因为?? ?0? ???1?? 当0?|x?(?1)|??时? 有

221?4x3?2?? ? 2x?131?4x所以lim?2? 12x?1x??2 2? 根据函数极限的定义证明?

1?x?1? (1)xlim3??2x23 分析 因为

31?1?x3?x3?1? 1?x?3332x22x2|x|1?x3?1??所以要使? 只须13??? 即|x|?31? 322x2|x|2? 证明 因为?? ?0? ?X?31? 当|x|?X时? 有

2?31??? 1?x? 322x31?x1? ?所以xlim??2x32sinx?0 (2)xlim? ???x 分析 因为

sinx?0?|sinx|?1?

xxx所以要使sinx?0??? 只须1??? 即x?12?

x?x 证明 因为???0? ?X?1? 当x?X时? 有

?2 sinx?0???

xsinx?0所以xlim? ???x 3? 当x?2时? y?x2?4? 问?等于多少? 使当|x?2|

解 由于当x?2时? |x?2|?0? 故可设|x?2|?1? 即1?x?3? 要使

|x2?4|?|x?2||x?2|?5|x?2|?0?001? 只要|x?2|?0.001?0.0002?

5 取??0?0002? 则当0?|x?2|??时? 就有|x2?4|?0? 001? 4? 当x??时? |y?1|?0?01?

x2?1?1?4?0.01 解 要使2? 只要|x|?4?3?397? 故X?397? 20.01x?3x?32xy?2?1?1? 问x?3X等于多少? 使当|x|?X时?

5? 证明函数f(x)?|x|当x?0时极限为零? 证明 因为

|f(x)?0|?||x|?0|?|x|?|x?0|? 所以要使|f(x)?0|??? 只须|x|???

因为对???0? ????? 使当0?|x?0|??? 时有 |f(x)?0|?||x|?0|???

|x|?0? 所以limx?0 6? 求f(x)?x, ?(x)?|x|当x?0时的左﹑右极限? 并说明它们在

xxx?0时的极限是否存在?

证明 因为

lim?f(x)?lim?x?lim?1?1?

x?0x?0xx?0 lim?f(x)?lim?x?lim?1?1?

x?0x?0xx?0 limf(x)?lim?f(x)?

x?0?x?0f(x)存在? 所以极限limx?0 因为

lim??(x)?lim?|x|?lim??x??1?

xx?0x lim??(x)?lim?|x|?lim?x?1?

x?0x?0xx?0xx?0x?0 lim?(x)?lim??(x)?

x?0?x?0?(x)不存在? 所以极限limx?0

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