南京大学2000年至2010年硕士研究生入学考试数学分析考研真题

导读:222222x02005年南京大学硕士研究生入学考试数学分析考研真题,n??n??3?4|4sinx?1.|dx?ppxp?sinx(n?1)??12,研究f(x)的存在域,南京大学2005年数学分析考研试题解答,于是有limfn?x??n??cosx???,x??0,?.1?cosx?2????fn?x?在?0,?上连续,显然fn?0??n,?fn?0??发散,?2????从而知?fn?x?

南京大学2000年至2010年硕士研究生入学考试数学分析考研真题

于是有limfn?x??n??cosx???,x??0,?.

1?cosx?2????fn?x?在?0,?上连续,显然fn?0??n,?fn?0??发散,

?2????从而知?fn?x??在?0,?上不一致收敛,

?2?对任意0???????,?fn?x??在??,?上一致收敛. 2?2?五、设fn(x)?cosx?cos2x???cosnx,

求证:

(2)对任意自然数n(n?2),方程fn(x)?1在区间(0,(3)并求数列?xn?的极限limxn.

n???3)内必有唯一根xn,

?111证明 (2) 显fn(0)?n?1,fn()??2???n?1,

3222? 由连续函数的介值定理,存在xn?(0,),使得fn(xn)?1;

3??显然fn?(x)?0,x?(0,),即fn(x)在(0,)上严格单调递减,所以fn(x)?1的

33根是唯一的.

(3) 显然fn?1(x)?fn(x),

fn(xn)?fn?1(xn?1)?fn(xn?1),

于xn?xn?1,即得?xn?单调递增, 0?x2?xn?0?x2?a??3,从而limxn?a存在,且

n???3,limcosxn?cosa,

n??1?cosxn?cosx2?1,lim(cosxn)n?0;

n??2cosxn(1?(cosxn)n)在fn(xn)?cosxn???(cosxn)??1,

1?cosxnn中 令 n??,取极限,得

故limxn?n??cosa?11?coas?1?coas?,得a?,

32?3 .

六.证明(1)显然 f?x?是偶函数,f?x?在?0,???上连续,

limf?x??limx?etdt0x2x???x???ex22

2 ?lim?x0etdt?xex2xex22x???

1ex ??lim2x22

2x???4xe?2ex ?11?0?, 22于是可知,f?x?在?0,???上有界,且f?x?在?0,???上一致连续; (2)对x?0,设g?x??ex?1?x?etdt,

0?2?x2g?0??0,g?x?是偶函数,

g??x??2xex??etdt?xex?xex??etdt,

002x222x2g??0??0,g???x??2x2ex?ex?ex?2x2ex?0 从而有g??x??0,g?x??0,

故有x?etdt?ex?1,??x????,????.

222222x02005年南京大学硕士研究生入学考试数学分析考研真题

1、 求lim(n??12n?1???). n2n2n2n2解 解法1 利用几何平均与算术平均不等式,及n!?n,

nnnn1?2??nn?12?n?(n!)2?(n2)2?n4,

nlimn??1?2??n???.

n

解法2 利用Stolz定理, 原式?limn??1?2??n?1

n ?limn

n??(n?1)?n ?limn???.

n??2 、求limlnn!.

n??nlnn解 利用Stolz定理, 原式?limln(n?1)

n??(n?1)ln(n?1)?nlnnln(n?1)

n??1n?1ln(1?)?nnln(n?1) ?limn??1n?1ln(1?)?lnnn1 ?limn??1n?1ln(1?)lnnn?ln(n?1)ln(n?1)?lim?1.

3 求lim解 0?1n??0?1xn(1?x)xdx.

nx10?10x(1?x)dx??2xndx?1, n?1lim?xn(1?x)xdx?0.

n??0x??1?1?x,1?xni(1?x)4 设g(x)??2,求limg(x?). ?n??ni?1n?x?x?2,x??1解 原式??1?x0g(x?y)dy,

3?n??1sinx?15、当?p?1时,证明:??4|p. |dx?ppn??2x?sinx22(n?1)??14证明

??n??n??3?443?sinxsin(n??u)|p|dx???4||du px?sinx(n??u)?sin(n??u)43?4 ???4sinudu, pn|(n??u)?(?1)sinu|当

?4?u?3?时, 4|(n??u)p?(?1)nsinu|?(n???)p?1?(n?1)p?p?1,

sinu?sin于是

?4?1, 2sinu11?, pnpp|(n??u)?(?1)sinu|2(n?1)??1故有

??

n??n??3?4|4sinx?1. |dx?ppxp?sinx(n?1)??122南京大学2005年数学分析考研试题

一 、求下列极限

1 设常数a?1,试求极限lim?a。 ?1n??k?1n?(a?1)knknln(x?ex)?2sinx2 lim。 x?01?2x?cosx3 设a?1,0?x1?a,xn?1?a?a2?xn(n?1,2,?),求limxn。

n??x?(sin2x)enx二 设f(x)?lim,试讨论f(x)的连续性、一致连续性及其可微性。

n??1?enx1三 设f(x)??(x?)n,研究f(x)的存在域,并讨论f(x)在定义域内的连续性

nn?1?和可微性。

四 、1、 设In??1?1n11?xndx,计算limnIn;

n??x 2、 计算曲面积分

I???x2dydz?y2dzdx?z2dxdy,

S其中S为曲面x2?y2?z2?a(x?y?z)的外侧。

五、 设a?0,b?0,c?0,M(a,b,c)为曲面S:x?y?z?1上的任一点, 求曲面S上点M的切平面?三个截距之积u的最大值。 六、 设f(x)?C1[0,1],试证明:

limn[?n??101n?1kf(1)?f(0). f(t)dt??f()]?nk?0n2

南京大学2005年数学分析考研试题解答

na1k1n?a一、 1、 解 解法1 ?, ??11n?(a?1)knk?1k?11?(a?1)nknkn11?(a?1)nkn1nk?1?O(1), nknna1k11n故 lim?lim[a?O( )]????1n??n??)nnkk?1n?(a?1kk?1nk?111??axdx?(a?1). 0lna 解法2

n1a1ka????an, ??11k?1n?(a?1)kk?1n1?(a?1)k?1nn1nknnkn

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