一元二次方程考点复习及典例练习

导读:一元二次方程考点复习及典例练习,考点一、概念,这样的整式方程就是一元二次方程,例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是(),关于x的方程kx2?2x?x2?3是一元二次方程,例2、方程?m?2?x针对练习:,1、方程8x2?7的一次项系数是,2、若方程?m?1?x2?m?x?1是关于x的一元二次方程,考点二、方程的解,⑴内容:使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解,例2、关于x的一元二次方

一元二次方程考点复习及典例练习

一元二次方程考点复习及典例练习

考点一、概念

(1)内容:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2,这样的整式方程就是一元二次方程。

(2)一般表达式:ax2?bx?c?0(a?0)

(3)关键点:强调对最高次项的讨论:①次数为“2”;②系数不为“0”。 典型例题:

例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )

112 A 3?x?1??2?x?1? B 2??2?0

xx

C ax2?bx?c?0

D x2?2x?x2?1

变式:当k 时,关于x的方程kx2?2x?x2?3是一元二次方程。 例2、方程?m?2?x针对练习:

1、方程8x2?7的一次项系数是 ,常数项是 。

2、若方程?m?1?x2?m?x?1是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是 。

考点二、方程的解

⑴内容:使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。 ⑵应用:①利用根的概念求代数式的值; 典型例题:

例1、已知2y2?y?3的值为2,则4y2?2y?1的值为 。

例2、关于x的一元二次方程?a?2?x2?x?a2?4?0的一个根为0,则a的值为 。

说明:任何时候,都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.

例3、已知关于x的一元二次方程ax2?bx?c?0?a?0?的系数满足a?c?b,则此方程必有一根为 。

说明:本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察,再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。

例4、已知a?b,a2?2a?1?0,b2?2b?1?0,求a?b? 变式:若a2?2a?1?0,b2?2b?1?0,则针对练习:

1

m则m的值为 。 ?3mx?1?0是关于x的一元二次方程,

ab?的值为 。 ba

1、已知方程x2?kx?10?0的一根是2,则k为 ,另一根是 。 2、已知m是方程x2?x?1?0的一个根,则代数式m2?m? 。 3、已知a是x2?3x?1?0的根,则2a2?6a? 。 4、方程?a?b?x2??b?c?x?c?a?0的一个根为( )

A ?1 B 1 C b?c D ?a

5、若2x?5y?3?0,则4x?32y? 。 作业:

1、若方程?m?2?xm?1?0是关于x的一元一次方程,

⑴求m的值;⑵写出关于x的一元一次方程。 2、已知关于x的方程x2?kx?2?0的一个解与方程x?1x?1?3的解相同。 ⑴求k的值;⑵方程的另一个解。

考点三、解法

⑴方法:①直接开方法;②因式分解法;③配方法;④公式法 ⑵关键点:降次

类型一、直接开方法:x2?m?m?0?,?x??m

※※对于?x?a?2?m,?ax?m?2??bx?n?2等形式均适用直接开方法

典型例题:

例1、解方程:?1?2x2?8?0; ?2?25?16x2=0; ?3??1?x?2?9?0;

例2、若9?x?1?2?16?x?2?2,则x的值为 。

针对练习:

1、下列方程无解的是( )

A.x2?3?2x2?1 B.?x?2?2?0 C.2x?3?1?x D.x2?9?0

类型二、因式分解法:?x?x1??x?x2??0?x?x1,或x?x2

2

※方程特点:左边可以分解为两个一次因式的积,右边为“0”,

※方程形式:如?ax?m???bx?n?,?x?a??x?b???x?a??x?c? ,x2?2ax?a2?0

22典型例题:

例1、2x?x?3??5?x?3?的根为( )

A x?52 B x?3 C x521?2,x2?3 D x?5 例2、若?4x?y?2?3?4x?y??4?0,则4x+y的值为 。 变式1:?a2?b2?2??a2?b2??6?0,则a2?b2? 。

变式2:若?x?y??2?x?y??3?0,则x+y的值为 。

变式3:若x2?xy?y?14,y2?xy?x?28,则x+y的值为 。 例3、方程x2?x?6?0的解为( ) A.x1??3,x2?2 B.x1?3,x2??2 C.x1?3,x2??3 D.x1?2,x2??2

例4、解方程: x2?2?3?1?x?23?4?0 例5、已知2x2?3xy?2y2?0,则

x?yx?y的值为 。 变式:已知2x2?3xy?2y2?0,且x?0,y?0,则x?yx?y的值为 。 针对练习: 1、下列说法中:

①方程x2?px?q?0的二根为x1,x2,则x2?px?q?(x?x1)(x?x2) ② ?x2?6x?8?(x?2)(x?4). ③a2?5ab?6b2?(a?2)(a?3)

④ x2?y2?(x?y)(x?y)(x?y)

⑤方程(3x?1)2?7?0可变形为(3x?1?7)(3x?1?7)?0 正确的有( )

3

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2、⑴写出一个一元二次方程,要求二次项系数不为1,且两根互为倒数: ⑵写出一个一元二次方程,要求二次项系数不为1,且两根互为相反数: 3、若实数x、y满足?x?y?3??x?y??2?0,则x+y的值为( ) A、-1或-2 B、-1或2 C、1或-2 D、1或2 4、方程:x2?

1?2的解是 。 2xb?b2?4ac?2类型三、配方法ax?bx?c?0?a?0???x??? 22a4a??※在解方程中,多不用配方法;但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。 典型例题:

例1、试用配方法说明x2?2x?3的值恒大于0,?10x2?7x?4的值恒小于0。 例2、已知x、y为实数,求代数式x2?y2?2x?4y?7的最小值。

变式:若t?2??3x2?12x?9,则t的最大值为 ,最小值为 。 例3、已知x2?y2?4x?6y?13?0,x、y为实数,求xy的值。 变式1:已知x2?111,则?x??4?0x?? . 2xxx2变式2:如果a?b?c?1?1?4a?2?2b?1?4,那么a?2b?3c的值为 。 类型四、公式法

⑴条件:a?0,且b2?4ac?0

???b?b2?4ac⑵公式: x?,?a?0,且b2?4ac?0?

2a典型例题:

例1、选择适当方法解下列方程:

4

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