第四章 曲线运动

导读:6、匀速圆周运动的特点:,⑴匀速圆周运动的定义:做圆周运动的物体在相等的时间内通过的弧长相等,⑵匀速圆周运动的轨迹:是圆,⑶匀速圆周运动的性质:①“匀速”指的是“匀速率”,线运动,7、圆周运动的表征物理量:,⑴线速度v:①定义:圆周运动的瞬时速度,④匀速圆运动线速度的特点:线速度大小不变,④匀速圆周运动中角速度特点:角速度恒定不变,⑶周期T:①定义:匀速圆周运动物体运动一周所用的时间,④匀速圆

第四章 曲线运动

22?。 再设平抛到A、B的时间为tA和tB,h?g?tB?tA12x?v0t,x1?v0tA,x2?v0tB

22?x2x11??h?g2?2?,v0??2??v0v0?22 gx2?x12h?? 答案:

v0?2h

6、匀速圆周运动的特点:

⑴匀速圆周运动的定义:做圆周运动的物体在相等的时间内通过的弧长相等。 ⑵匀速圆周运动的轨迹:是圆,且任意相等的时间内半径转过的角度相等。 ⑶匀速圆周运动的性质:①“匀速”指的是“匀速率”,即速度的大小不变但速度的方向

时刻改变。

②加速度大小不变,但加速度的方向时刻改变,所以是变加速曲

线运动。

7、圆周运动的表征物理量:

⑴线速度v:①定义:圆周运动的瞬时速度;单位时间内通过的弧长

②大小:线速度=弧长/时间,即v=s/t; ③方向:圆周的切线方向;

④匀速圆运动线速度的特点:线速度大小不变,但方向时刻改变 ⑵角速度ω: ①定义:半径在单位时间内转过的角度;

②大小:角速度=角度(弧度)/时间即:ω=φ/t ③单位:弧度每秒,即:rad/s;

④匀速圆周运动中角速度特点:角速度恒定不变

⑶周 期T: ①定义:匀速圆周运动物体运动一周所用的时间;

②大小:周期=周长/线速度,即:T=2πr/v ③单位:秒,即s;

④匀速圆周运动中周期的特点:周期不变

⑷频 率f: ①定义:每秒钟完成匀速圆周运动的转数

②大小:f=1/T

③单位:赫兹,即Hz,1Hz=1转/秒

⑸转 速n: ①定义:单位时间内做匀速圆周运动的物体转过的圈数,符号n

②大小:转速的大小就等于频率的大小

③单位:国际单位制中用转/秒,日常生活中也用转/分

⑹匀速圆周运动各物理量之间的关系:

①各量关系:v=2πr/T,

ω=2π/T=2πf=2πn(n的单位为转/秒), v=ωr

②同一转盘上半径不同的各点,角速度相等但线速度大小不同

③皮带传动或齿轮传动的两轮边缘线速度大小相等,但角速度不一定相同

④当半径一定时,线速度与角速度成正比;当角速度一定时,线速度与半径成正比 8、向心力

⑴向心力定义:做匀速圆周运动的物体受到的合外力总是指向圆心,这个力叫做向心力。 【注意】向心力是根据力的作用效果命名,不是某种特殊性质的力。

⑵向心力的来源:可以由重力、弹力、摩擦力等提供。总之是物体所受的合外力提供了物

体做匀速圆周运动所需的向心力。

⑶向心力的方向:总是沿半径指向圆心,方向时刻与线速度方向垂直,故方向时刻在改变。

向心力是变力。

⑷向心力的作用效果:只改变线速度的方向,不改变线速度的大小。

22gx2?x1??

【原因】向心力指向圆心,而物体的运动方向沿圆周上该处的切线方向,两者相互垂直。

物体在运动方向所受的合外力为零。在这个方向上无加速度。速度大小不会改变,所以向心力只改变速度的方向,。 ⑸向心力的大小:

①向心力大小:Fn=mrω=mr(22

2?2)=mr(2πTf)=mr(2πn)

22

Fn=m v/r

②向心力大小与多个变量有关。因此在分析问题时,一定要利用控制变量的方法不处理。即在设定其它量不变的条件下,来分析所需向心力与某一变量的关系。 ③向心力F跟r、ω(或v)是瞬时对应关系。

⑹匀速圆周运动的条件:具有初速度v,合外力大小不变,方向时刻垂直线速度v,指向圆心

【注意】物体在恒力作用下不可能作匀速圆周运动。 9、向心力作用下使物体产生的加速度―――向心加速度an

⑴向心加速度:在向心力作用下物体产生的加速度叫做向心加速度

【注意】向心力与向心加速度具有瞬时对应关系,即向心力改变时,向心加速度随即改变 ⑵向心加速度的方向:始终垂直于线速度,沿着半径指向圆心,且每时每刻都在不断地变

化。所以匀速圆周运动是变加速曲线运动 ⑶向心加速度的大小:an= rω=r(an=v/r an=vω

⑷向心加速度是描述速度方向变化快慢的物理量。

⑸当v一定时,an与r成反比;当ω一定时an与r成正比,注意:r、v及ω间有制约关系

例题:下列说法正确的是

A.匀速圆周运动是一种匀速运动 B.匀速圆周运动是一种匀变速运动 C.匀速圆周运动是一种变加速运动

D.因为物体有向心力存在,所以才使物体不断改变速度的方向而做圆周运动

2

2

2?2)=r(2πTf)=r(2πn)

22

解析:匀速圆周运动的加速度大小不变而方向在时刻改变,因此属于变加速运动。力是改变物体运动状态的原因,向心力对速度大小的改变没有贡献,它作用只是不断改变速度方向,所以正确选项是C、D。

10、离心现象: ⑴定义:做圆周运动的物体,在所受合力突然消失或者不足于提供圆周运动所需的向心力的情况下,就做逐渐远离圆心的运动,这种运动就叫离心运动 ⑵离心现象的应用:

①离心干燥器(洗衣机的脱水筒):利用离心运动把附着在物体上的水分甩掉 ②用离心机把体温计的水银柱甩回玻璃泡内 ③“棉花糖”的制作 ⑶离心现象的防止:

①车辆转弯时速度不能超过规定的速度:车辆转弯时所需的向心力大于最大静摩擦力时,即最大

静摩擦力不能提供汽车转弯时所需的向心力时,汽车将做离心运动而造成交通事故 ②高速转动的砂轮、飞轮等都不得超过允许的最大速度,如果转速过高,砂轮、飞轮内部分子间的相互作用力不足以提供所需的向心力时,离心运动会使它们破裂,以致酿成事故。

例题:将来人类离开地球到宇宙中去生活,可以设计成如图所示的宇宙村,它是一个圆形的密封建筑,人们生活在圆环的边上,为了使人们在其中生活不至于有失重感,可以计它旋转,设这个建筑物的直径为200m,那么,当它绕其中心轴转动的转速为多少(r/s)时,人类感觉到像生活在地球上一样要承受10m/s2的加速度?如果转速超过了上述值,人们将有怎样的感觉?

解析:处于宇宙间的物体处于完全失重状态,现要生活在其宇宙村中的人无失重感,题中告诉让该装置转动,即处于宇宙村边缘的人随宇宙村一起旋转时,所需的向心加速度等于题中所给的10m/s2时对应的转速就是所求转速。

由圆周运动的向心力加速度公式有a=(2πn)2R

得n=

12?a 代入数值有n=0.05r/s 。 R若转速超过此值,由上式可知,其加速度将大于10m/s2,因而人有超重的感觉。

点评 这是一道假设推理题,要求建立一个物理假象的模型,这能培养学生的想象力和

处理解决问题的能力,同时这也是高考趋势的发展方向。要求考生能够根据已知的知识和所给的物理事实、条件,对物理问题进行逻辑推理和论证,得出正确的结论或作出正确的判断,并能把推理过程表达出来,论证推理有助于加强对学生的推理能力的考查。

规律

1、匀速圆周运动解题步骤:

⑴明确研究对象,确定它在哪个平面内做圆周运动,找出圆心和半径

⑵确定研究对象在某位置(某时刻)所处状态,进行受力分析,作出受力分析图,找出向心力的来源

222

⑶根据向心力公式Fn= mωr=m v/r=mωv=m(2π/T)r列方程,取“向心”方向为正 ⑷检查结果的合理性,并进行必要的分析讨论。

例题:如图所示一皮带轮传动装置,右轮半径为r,a是它边缘上的一点。左侧是一轮轴,大轮的半径为4r,小轮半径为2r,b点在小轮上,到小轮中心距离为r,c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上,若在传动过程中,皮带不打滑,则

A.a点与b点的线速度大小相等 B.a点与b点的角速度大小相等 C.a点与c点的线速度大小相等 D.a点与d点的向心加速度大小相等

2?R2?v2v???a???2R,解析:匀速圆周运动中各参量的关系,即v??R,,,

TTRa??v。在皮带传动中这些参量的特殊制约和联系是:皮带上各点线速度大小相等;同轴

的轮上各点角速度相等。由题意可知va?vc,?c??b??d再经过简单运算可得出正确选项是C、D。

例题:质量相等的小球A、B分别固定在轻杆OB的中点及端点,当杆在光滑水平面上绕O点匀速转动,如图所示,求杆的OA段及AB段对球的拉力之比?

解析:A、B小球受力如图所示,在竖直方向上A与B处于平衡态。在水平方向上根据

匀速圆周运动规律TA?TB?m?2OA,

TB?m?2OB,OB?2OA。 TA?m?2·3OA,TB?m?22OA,

TA∶TB = 3∶2

答案:TA∶TB = 3∶2

2、匀速圆周运动的实例分析 ⑴火车拐弯问题:

由于火车的质量比较大,火车拐弯时所需的向心力就很大。如果铁轨内外侧一样高,则外侧轮缘所受的压力很大,容易损坏;实用中使外轨略高于内轨,从而重力,铁轨支持力和侧向压力的合力提供火车拐弯时所需的向心力

例题:铁轨拐弯处半径为R,内外轨高度差为H两轨间距为L,火车总质量为M,则: ⑴火车在拐弯处运动的“规定速度vP”大小为 ,

⑵若火车实际速度大于vP,则 轨将受到侧向压力, ⑶若火车实际速度小于vP,则 轨将受到侧向压力。

v2解析:⑴mgtanθ=m

Rv?gRtan??gRH/L

⑵火车做离心运动,外轨受到侧向压力。

⑶火车做向心运动,内轨受到侧向压力。

例题:在高速公路的拐弯处,路面造得外高内低,即当车向右拐弯时,司机左侧的路面比右侧的要高一些,路面与水平面间的夹角为θ.设拐弯路段是半径为R的圆弧,要使车速为v时车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零,θ应等于( )

v2v2A .arcsin B . arctan

RgRg12v2v2C . arcsin D. arccot

2RgRg解析:如图所示,要使摩擦力为零,必使车受的重力与支持力的

v2v2合力捉供向心力,则:Fn=mgtanθ=m,故所以θ=arctan。

RRg即答案为B。

点评这是一道综合应用题,是用圆周运动知识来解决处理实际物理

问题,这在实际生活中有着广泛的应用,例如铁路、高速公路、杂技表演等,都是利用自身的重力分力提供转弯所需的向心力。 ⑵“水流星”节目分析

例题:⑴绳系杯子在竖直平面内圆运动,最高点杯中水不流

出的原因是: 。 ⑵杯在最高点的最小速度vmin= , ⑶设杯内水的质量为m,则当最高点的速度v1>vmin时, 杯对水的压力N= ,

⑷设杯运动到最低点速度为v2,则此时水对杯的压力 N`= 。 解析:⑴水和重力提供水做圆周运动的向心力

v2⑵mg?m v?gl

l⑶mg?N?mv2v2 N?m?mg llv2v2⑷N?mg?m N?m?mg

ll⑶“水流星”节目的变形讨论

①“绳模型”

如图所示,在最高点没有物体支撑的小球,在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况 例:绳拴一小球在竖直平面内做圆周运动、小球在竖直平面内单轨道的内单侧做圆周运动 ⑴临界条件:绳子或轨道对小球没有作用力

mg?mv2R

v临界=gR (可理解为恰好转过或恰好转不过)

【注意】如果小球带电,且空间存在电、磁场,临界条件应是小球所受重力、电场力和

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