统计计算期末考试B卷

导读:2015年统计计算试题B,三、计算题:,12、(1)计算概率积分I??????????e?x2?y22dxdy,(2)利用MonteCarlo方法编程计算积分I的MATLAB程序,(Ni?npi)2检验统计量为????12.8.,2015年统计计算试题B一、填空题:1、若随机变量X的概率密度为f(x)?ce?5x,x?0,则X的方差为2。2、若X服从二项分布B(500,0.01),则由泊松定理

统计计算期末考试B卷

2015年统计计算试题B

一、填空题:

1、若随机变量X的概率密度为f(x)?ce?5x,x?0,则X的方差为2。 2、若X服从二项分布B(500,0.01),则由泊松定理知P(X?1)?5e?5。 3、若X服从失效率为0.05的指数分布,则P(X?200|X?100)?e?5。 4、设N(t)服从参数为0.5的泊松过程,则P(N(2)?0)?1?e?1。 5、设X的概率密度为f(x)?1,x?R,则其分布函数的逆函数为

?(1?x2)tan(y???2),0?y?1。

二、选择题:

6、能产生等可能取值为1,2,3,4中一个数的MATLAB程序是( B ) (A) ceil(5*rand) (B) ceil(4*rand) (C)floor(4*rand) (D)randperm(4)

7、在MATLAB中,表示负二项分布的概率密度函数的是( C ) (A) binopdf (B) binocdf (C) nbinpdf (D) nbincdf

8、能产生失效率为5的指数分布随机数的MATLAB程序是( C ) (A) -5*ln(rand) (B) -log(rand)/5 (C) -5*log(rand) (D) 5*log(rand)

9、在MATLAB中,不可能产生一个均匀分布U(0,1)随机数的是哪个?( B ) (A) unifrnd(0,1) (B) unidrnd(1,1,1) (C) unifrnd(0,1,1) (D) rand(1)

10、设时齐Markov链{Xn,n?1,2,?}, 其一步转移概率矩阵为P?的5步转移概率矩阵为( A )

1?12???, 则该过程3?21?1?1??513(A)?2?1?1??351?1?1?1???35? (B)1?3512?1?11?5???3??351?5?3? (C)1?11? (D) 1?12?

????1?231121????1?5?3?1?

三、计算题:

11、设X的分布函数为F(x)?1?e的均匀分布。

??x,x?0.证明:F(X)?1?e??X服从区间(0,1)上

解:记Y?F(X), 当y?0时,FY(y)?0;当y?1时,FY(y)?0;

当0?y?1时,FY(y)?P(Y?y)?P(1?e??X?y)?P(e??X?1?y)?P(X??ln(1?y))??11?ln(1?y)??0?e??xdx?y,(8分)

?0,y?1,?所以FY(y)??y,0?y?1, 故Y?F(X)服从U(0,1).

?1,y?1.?

12、 (1) 计算概率积分I??????????e?x2?y22dxdy;

(2) 利用Monte Carlo方法编程计算积分I的MATLAB程序。

解:(1)令x?rcos?,yr22?rsin?,D??{(?,r)|0???2?,0?r??}.

??r22I??dr?e00?2???rdr?2??e0r2d()?2?. 2??x22(2)I???0e?x22dx?e0??y22dy?I12,其中I1??e0dx.

令y?1112,dy??dx,dx??ydy,x??1. x?1(x?1)2yMatlab程序为:

N=10000;y=rand(N,1); for i=1:N

I1(i)=exp(-(1/(y(i)-1)^2/2)*y(i)^2; end

I=(mean(I1)^2;

3x2,?1?x?1的随机数, 写出推导过程和13、利用逆变换方法产生概率密度函数f(x)?2MATLAB程序。

x3231311解:当?1?x?1时,F(x)??tdt?t?x3?,

?1223?122x131令F(x)?u,即x??u,解得x?(2u?1)3.

22Matlab程序:

X=(2*rand-1)^(1/3);

14、利用舍选抽样法产生概率分布为 1X P 1 0.15 2 0.1 3 0.2 4 0.15 5 0.3 6 0.1 的随机数的算法步骤和MATLAB程序。 解:取pY?P(Y?j)?1,j?1,2,6,6,则

pX0.3??1.8?c. pY1/6算法步骤为:第一步:产生随机数U1和U2;第二步:令Y=Int(6U1); 第三步:若U2?P(X?Y)P(X?Y)时,令X=Y;否则返回。 ?cpY0.3Matlab程序:

P=[0.15,0.1,0.2,0.15,0.3,0.1]; Y=floor(6*rand+1);U=rand; while (U>P(Y)/0.3)

Y=floor(6*rand+1); U=rand; end X=Y;

15、考虑随机变量,其可能取值为1,2,3,4,5,我们检验假设随机变量是等可能取这些值,如果样本大小为50,观测分别为12,5,19,7,7,利用检验方法说明该数据是否来自离散均匀分布。

2(附表:其中?n,(y)表示自由度为n的?分布在点y的分布函数值,?4(12.8)?0.98772?5(12.8)?0.9747))。

22解:原假设为:pi?P(X?i)?251,j?1,2,5,5,n?50.

(Ni?npi)2检验统计量为????12.8.

npii?1由于?~?(4), 则P值为P(??12.8)?1?P(??12.8)?0.0123, 因P值很小,应拒绝原假设,即认为数据不是来自离散均匀分布。

16、(1)简述Metropolis准则;

(2)若要产生密度p(x)的随机数,设当前状态为x?(x1,x2,2222,xn),从1,n中等可能

取一坐标,按分布函数P(X?x)?P(Xi?x|Xj?xj,j?i)产生随机数

x,则

y?(x,1,x,,xi?x,,nx)为下一个状态,证明:吉布斯(Gibbs)抽样法的转移概率i?11?(x,y)?1;

(3)设随机变量X和Y均在区间(0,B)。设在Y?y下X的条件密度为

f(x|y)?C(y)e?xy,0?x?B及X?x下Y的条件密度为f(y|x)? C(x)e?xy,0?y?B,利用吉布斯抽样法给出随机向量(X,Y)的随机数程序。

解:(1) 设马尔可夫链{xn},n?1,2,, y是按照某概率原则产生的状态,xn的下一步状

态xn?1以概率?接受状态,即xn?1?y;以概率1??保持不变,即xn?1?xn。 (2)采用H-M算法有

q(x,y)?则转移概率为

1p(y)P(Xi?x|Xj?xj,j?i)?, nnP(Xj?xj,j?i)?(x,y)?min???p(x)??p(y)?nP(Xj?xj,j?i)?p(y)q(y,x)?,1??min?,1?p(y)?p(x)?p(x)q(x,y)??? nP(X?x,j?i)jj???p(y)p(x)??min?,1??1.(15分)p(x)p(y)??(3) Matlab程序为:

N=10000; B=50;

X=zeros(N,1);Y=zeros(N,1);

X(1)=unifrnd(0,B); Y(1)=unifrnd(0,B); for i=2:N

X(i)=-log(rand)/Y(i-1); Y(i)=-log(rand)/X(i);

end 或

X0=unifrnd(0,B); Y0=unifrnd(0,B); X=-log(rand)/Y0;

Y=-log(rand)/X;

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