必修二综合测试题

导读:高二滚动训练卷(2)设Q为PA的中点,G为?AOC的重心,求证:QG//平面PBC.17.(本题12分)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB?AA1?2.(1)证明:A1BD//平面CD1B1;(2)求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.18.(本题12分)如图1,在边长为1的等边三角形ABC中

必修二综合测试题

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(2) 设Q为PA的中点,G为?AOC的重心,求证:QG//平面PBC.

17. (本题12分)如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD, AB?AA1?2.

(1) 证明: A1BD // 平面CD1B1; (2) 求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.

18. (本题12分) 如图1,在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,AD?AE,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将?ABF沿AF折起,得到如图2所示的三棱锥A?BCF,其中BC?2. 2

(1) 证明:DE//平面BCF; (2) 证明:CF?平面ABF; (3) 当AD?2时,求三棱锥F?DEG的体积VF?DEG. 319. (本题12分)如图,在在四棱锥P?ABCD中,PA⊥面

ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,

∠ABC=120°,G为线段PC上的点.

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(1) 证明:BD⊥面PAC;

(2) 若G是PC的中点,求DG与APC所成的角的正切值; (3) 若G满足PC⊥面BDG,求

PG 的值. GC20. (本题13分)如图,在三棱柱ABC?A1B1C中,侧棱AA1?底面

ABC,AB?AC?2AA1?2,?BAC?120,

D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线段AD上异于端点的点.

(1)在平面ABC内,试作出过点P与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l?平面ADD1A1;

1 (2)设(1)中的直线l交AC于点Q,求三棱锥A1?QC1D的体积.(锥体体积公式:V?Sh,

3其中S为底面面积,h为高)

解:(1)如图,在平面ABC内,过点P作直线l∥BC,

因为l在平面A1BC外,BC在平面A1BC内,

由直线与平面平行的判定定理可知,l∥平面A1BC. 由已知,AB=AC,D是BC的中点, 所以,BC⊥AD,则直线l⊥AD.

因为AA1⊥平面ABC,所以AA1⊥直线l.

又因为AD,AA1在平面ADD1A1内,且AD与AA1相交, 所以直线l⊥平面ADD1A1. (2)过D作DE⊥AC于E,

因为AA1⊥平面ABC,所以DE⊥AA1.

又因为AC,AA1在平面AA1C1C内,且AC与AA1相交, 所以DE⊥平面AA1C1C.

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由AB=AC=2,∠BAC=120°,有AD=1,∠DAC=60°, 所以在△ACD中,DE=又S?A1QC1=

33AD=. 221A1C1·AA1=1, 21133所以VA1?QC1D=VD?AQC=DE·=. ??1?S?A111QC133263因此三棱锥A1-QC1D的体积是.

621.(本题14分) 如图,某地质队自水平地面A,B,C三处垂直向地下钻探,自A点向下钻到A1处发现矿藏,再继续下钻到A2处后下面已无矿,从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2?d1.同样可得在B,C处正下方的矿层厚度分别为B1B2?d2,C1C2?d3,且d1?d2?d3. 过AB,AC的中点M,N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1?A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面,其面积记为S中.

(1) 证明:中截面DEFG是梯形;

(2) 在△ABC中,记BC?a,BC边上的高为h,面积为S. 在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量(即多面体A1B1C1?A2B2C的2体积V)时,可用近似公式V估?S中?h来估算. 已知

1V?(d1?d2?d3)S,试判断V估与V的大小关系,并加以证明.

3(Ⅰ)依题意A1A2⊥平面ABC,B1B2⊥平面ABC,C1C2⊥平面ABC, 所以A1A2∥B1B2∥C1C2,又A1A2=d1,B1B2=d2,C1C2=d3,且d1<d2<d3. 因此四边形A1A2B2B1,A1A2C2C1均是梯形.

由AA2∥平面MEFN,AA2?平面AA2B2B,且平面AA2B2B∩平面MEFN=ME, 可得AA2∥ME,即A1A2∥DE.同理可证A1A2∥FG,所以DE∥FG. 又M,N分别为AB,AC的中点,

则D,E,F,G分别为A1B1,A2B2,A2C2,A1C1 的中点, 即DE、FG分别为梯形A1A2B2B1、A1A2C2C1的中位线.

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因此DE=,FG=,

而d1<d2<d3,故DE<FG,所以中截面DEFG是梯形; (Ⅱ)V估<V.证明:

由A1A2⊥平面ABC,MN?平面ABC,可得A1A2⊥MN. 而EM∥A1A2,所以EM⊥MN,同理可得FN⊥MN.

由MN是△ABC的中位线,可得MN=BC=a,即为梯形DEFG的高,

因此即

S=ah,所以于是

由d1-d2<0,d3-d1>0,故V估<V.

=

.又

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