2007年高考数学第一轮复习---指数与对数函数

导读:2007年高考数学第一轮复习---指数与对数函数,一、指数与对数运算:(一)知识归纳:1.根式的概念:,3.对数的概念:,那么数b称以a为底N的对数,记作logaN?b,其中a称对数的底,N称真数.1)以10为底的对数称常用对数,brrr?)为底的对数称自然对数,1)真数N为正数(负数和零无对数),4)对数恒等式:alogaN?N,根式常常化为指数式比较方便,而对数式一般应化为同应化为同底.,

2007年高考数学第一轮复习---指数与对数函数

2007年高考数学第一轮复习---指数与对数函数

一、指数与对数运算: (一)知识归纳: 1.根式的概念:

①定义:若一个数的n次方等于a(n?1,且n?N?),则这个数称a的n次方根.即,若

xn?a,则x称a的n次方根n?1且n?N?),

1)当n为奇数时,a的n次方根记作na;

2)当n为偶数时,负数a没有n次方根,而正数a有两个n次方根且互为相反数,记作

?na(a?0).

②性质:1)(na)n?a; 2)当n为奇数时,nan?a;

?a(a?0)3)当n为偶数时,a?|a|??

?a(a?0)?n2.幂的有关概念:

①规定:1)a?a?a???a(n?N*, 2)a?1(a?0), n个 3)a?pn01?p(p?Q,4)an?nam(a?0,m、n?N* 且n?1) arsr?sm②性质:1)a?a?arsr?s, (a?0,r、s?Q)

2)(a)?a(a?0,r、s? Q), 3)(a?b)?a?b(a?0,b?0,r? Q) (注)上述性质对r、s?R均适用.

3.对数的概念:

①定义:如果a(a?0,且a?1)的b次幂等于N,就是a?N,那么数b称以a为底N 的对数,记作logaN?b,其中a称对数的底,N称真数. 1)以10为底的对数称常用对数,log10N记作lgN,

brrr?)为底的对数称自然对数,logeN记作lnN 2)以无理数e(e?2.71828②基本性质:

1)真数N为正数(负数和零无对数), 2)loga1?0, 3)logaa?1, 4)对数恒等式:alogaN?N

③运算性质:如果a?0,a?0,M?0,N?0,则 1)loga(MN)?logaM?logaN; 2)logaM?logaM?logaN; N

3)logaMn?nlogaM(n?R). ④换底公式:logaN?logmN(a?0,a?0,m?0,m?1,N?0),

logman1)logab?logba?1, 2)logamb?(二)学习要点:

nlogab. m1.nN?a,ab?N,logaN?b(其中N?0,a?0,a?1)是同一数量关系的三种不同表示形式,因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化,选择最好的形式进行运算.在运算中,根式常常化为指数式比较方便,而对数式一般应化为同应化为同底.

2.要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式;进行数式运算的难点是运用各种变换技巧,如配方、因式分解、有理化(分子或分母)、拆项、添项、换元等等,这些都是经常使用的变换技巧,必须通过各种题型的训练逐渐积累经验.

【例1】解答下述问题: (1)计算:

??3?340.53[(3)(5)?(0.008)?(0.02)2?(0.32)2]?0.06250.25 89221184910003426254[解析]原式=[()3?()2?()?50?]?()

279810100002121471421172?[??25??]??(??2)?2? 932995210

lg5?lg8000?(lg23)2(2)计算.

11lg600?lg0.036?lg0.122[解析]分子=lg5(3?3lg2)?3(lg2)?3lg5?3lg2(lg5?lg2)?3;

2分母=(lg6?2)?lg3616??lg6?2?lg?4; 1000101003?原式=.

4(3)化简:

a?8ab4b?23ab?a1313323234313?(a?2323ba?3a2?)?.

53aa?a[解析]原式=

a[(a)?(2b)](a)?a?(2b)?(2b)1321313132133?a?2b(a?a)?111 a(a2?a3)52313132312?a(a?2b)?131313aa?2b1313?aa5616?a?a?a?a2.

13(4)已知:log189?a,18b?5,求log3036值. [解析]?18b?5,?log185?b,

?log3036?log1818?log1821?(log1818?log189)2(2?a). ??log185?log186b?(log1818?log183)2?2b?a[评析]这是一组很基本的指数、对数运算的练习题,虽然在考试中这些运算要求并不高,但是数式运算是学习数学的基本功,通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则,以及学习数式变换的各种技巧.

【例2】解答下述问题:

(1)已知logax?logcx?2logbx且x?1, 求证:c2?(ac)logab

[解析]?logax?logax2logax?,?x?1,?logax?0,

logaclogab?1?12??2logac?(logac?1)logab?logac2

logaclogablogab=loga(ac)?logab?loga(ac)?c2?(ac)logab

lgx?lgylgx?lgy[lg(x?y)]2(2)若???0,求log2(xy)的值.

lgxlgylgxlgy[解析]去分母得(lgx?lgy)?[lg(x?y)]?0

22?lgx?lgy?0?xy?1, ????lg(x?y)?0x?y?1???x、?y是二次方程t2?t?1?0的两实根,且x?0,y?0,x?1,y?1,x?y,解

得t?1?5, 25?15?1,y?,?log2(x?y)?0 22?x?0,?x?[评析]例2是更综合一些的指数、对数运算问题,这种问题更接近考试题的形式,应多从这种练习中积累经验.

二、指数函数与对数函数

(一)学习要点: 1.指数函数:

①定义:函数y?a(a?0,且a?1)称指数函数, 1)函数的定义域为R, 2)函数的值域为(0,??),

3)当0?a?1时函数为减函数,当a?1时函数为增函数.

②函数图像: 1)指数函数的图象都经过点(0,1),且图象都在第一、二象限,

2)指数函数都以x轴为渐近线(当0?a?1时,图象向左无限接近x轴,当a?1时,图象向右无限接近x轴),

x

3)对于相同的a(a?0,且a?1),函数y?ax与y?a?x的图象关于y轴对称.

③函数值的变化特征:

2.对数函数:

0?a?1 ①x?0时0?y?1, ②x?0时y?1, ③x?0时y?1 a?1 ①x?0时y?1, ②x?0时y?1, ③x?0时0?y?1, ①定义:函数y?logax(a?0,且a?1)称对数函数, 1)函数的定义域为(0,??), 2)函数的值域为R, 3)当0?a?1时函数为减函数,当a?1时函数为增函数,

4)对数函数y?logax与指数函数y?ax(a?0,且a?1)互为反函数. ②

1)对数函数的图象都经过点(0,1),且图象都在第一、四象限,

2)对数函数都以y轴为渐近线(当0?a?1时,图象向上无限接近y轴;当a?1时,图象向下无限接近y轴). 4)对于相同的a(a?0,且a?1),函数y?logax与y?log1x的图象关于x轴对称.

a0?a?1 a?1 ①x?1时y?0, ①x?1时y?0,

③函数值的变化特征: ②x?1②x?1时y?0, 时y?0, ③0?x?1③x?0时0?y?1. 时y?0.

(二)学习要点:

1.解决含指数式或对数式的各种问题,要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质,更关键是熟练运用指数与对数函数的性质,其中单调性是使用率比较高的知识.

2.指数、对数函数值的变化特点(上面知识结构表中的12个小点)是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识,要达到滚瓜烂熟,运用自如的水平,在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析.

3.含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型,解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类. 4.在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现,如与其它函数(特别是二次函数)形成的复合函数问题,与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等,因此要努力提高综合能力.

【例1】已知f(x)?loga(1)求m的值;

(2)讨论f(x)的单调性; (3)求f(x)的反函数f?11?mx是奇函数 (其中a?0,a?1), x?1(x);

(4)当f(x)定义域区间为(1,a?2)时,f(x)的值域为(1,??),求a的值.

1?mx1?mx1?m2x2?loga?loga?0 [解析](1)?f(?x)?f(x)?loga2?x?1x?11?x对定义域内的任意x恒成立,

1?m2x2??1?(m2?1)x2?0?m??1, 21?x当m?1时f(x)?0(x?1)不是奇函数,?m??1, (2)?f(x)?loga求导得f?(x)?x?1,?定义域为(??,?1)?(1,??), x?1?2logae, 2x?1①当a?1时,f?(x)?0,?f(x)在(??,?1)与(1,??)上都是减函数; ②当0?a?1时,f?(x)?0,?f(x)在(??,?1)与(1,??)上都是增函数; (另解)设g(x)?x?1,任取x1?x2??1或x2?x1?1, x?1?g(x2)?g(x1)?x2?1x1?1?2(x2?x1)???0, x2?1x1?1(x1?1)(x2?1)?g(x2)?g(x1),结论同上;

x?1x?1ay?1yyy?a??(a?1)x?a?1?x?y(3)y?loga, x?1x?1a?1ax?1?a?1?0,?y?0,?f(x)?x(x?0,a?0且a?1)

a?1y?1(4)?1?x?a?2,?a?3,f(x)在(1,a?2)上为减函数,

?命题等价于f(a?2)?1,即loga解得a?2?3.

a?1?1?a2?4a?1?0, a?3[评析]例1的各个小题概括了指数、对数函数的各种常见的基本问题,熟练掌握这些基本问题的解答程序及方法是很重要的能力训练,要认真总结经验.

【例2】对于函数f(x)?log1(x?2ax?3),解答下述问题:

22(1)若函数的定义域为R,求实数a的取值范围; (2)若函数的值域为R,求实数a的取值范围; (3)若函数在[?1,??)内有意义,求实数a的取值范围; (4)若函数的定义域为(??,1)?(3,??),求实数a的值; (5)若函数的值域为(??,?1],求实数a的值; (6)若函数在(??,1]内为增函数,求实数a的取值范围. [解答]记u?g(x)?x?2ax?3?(x?a)?3?a,

(1)?u?0对x?R恒成立,?umin?3?a2?0??3?a?3,

222

五星文库wxphp.com包含总结汇报、专业文献、旅游景点、应用文书、办公文档、党团工作、外语学习、IT计算机以及2007年高考数学第一轮复习---指数与对数函数等内容。

本文共3页123