第一章,第四讲(1.5、1.6)

导读:第一章,1、行列式的值也可表示为(按第一行展开),第一章第四讲行列式与矩阵(§1.5、§1.6)行列式是高等数学中一个重要的工具,不仅在理论上蕴含着丰富的数学思维,而且有非常广泛的应用.行列式重要性质(6条)行列式的计算(4种)应用(解线性方程组)行列式(§1.5)一、行列式--定义1、行列式——定义(强调)由n个实数或复数aij,2i,j?1,?,n排成的“阵式”a11a12?a1na22?

第一章,第四讲(1.5、1.6)

第一章

第四讲 行列式与矩阵

(§1.5、§1.6)

行列式是高等数学中一个重要的工具,不仅在理论上蕴含着丰富的数学思维,而且 有非常广泛的应用.

行列式

重要性质(6条)

行列式的计算(4种)

应用(解线性方程组)

行列式 (§1.5 )

一、行列式--定义

1、行列式——定义 (强调)

由n个实数或复数aij,2i,j?1,?,n排成的“阵式”

a11a12?a1na22?a2n??an2?ann,i,j?1,?,n,

d?dn?|aij|?a21?an1这个阵式代表一个数dn,称为行列式.

aij称为行列式的(i,j)元素,它位于行列式的第i行、第j列;

?aj1???aj2??i称为行列式的第j列; ?ain?称为行列式的第行;

?????a???jn??ai1ai22、行列式的转置——转置行列式

1

将行列式dn的第i行放到第i列,iT?1,2,?,n,所得的行列式称为dn的转置行列式,记为dn

a11dT?|aji|?a12?a1n数dn是由归纳法定义的:

a21?an1a22?an2??a2n?ann,j,i?1,?,n

n?1:d1?a11?a11; n?2:d2?a11a11a12a12a22a32a21a22?a11a22?a12a22;

a13a23a33?a11a22a32a23a33a21a31a23a33a21a31a23a32n?3:d3?a21?a12?a13;

a31一般地,

????

a11dn?|aij|?a21?an1其中

a12??a1n??a11A11?a12A12???a1nA1n,

a22?a2nan2?annAij?(?1)i?jAij?(?1)i?j~a11?ai?1,1ai?1,1?an,1a1,j?1??ai?1,j?1?ai?1,j?1??an,j?1?a1,j?1?ai?1,j?1ai?1,j?1?an,j?1a1,n??ai?1,n?ai?1,n??an,n?jn?n,i,j?1,?,n,

Aij、Aij分别称为行列式d~的余子式与代数余子式,而行列式d?ai也常记为

A?aijn?n.

强调:(1)行列式是一个数;

(2)行列式的定义方式:大小是用归纳法定义的; (3)几个名词:“行列式”、“转置行列式”、“行”、“列”、“行列式的元”,特别

要理解“代数余子式”、“余子式”的定义与意义.

二、行列式的重要性质

2

1、行列式与它的转置行列式的值相等

a11dn?a21?an1

a12?a1na22?a2n??an2?ann?a11a12?a1na21?an1a22?an2??a2n?annT; ?dn2、对调行列式中任意两行(或两列)的位置,行列式的值改变符号

a11?ai1?aj1?an1

a12?a1n?ai2??ain??a11?aj1?ai1?a12?a1n??ai2??? ;

?ain?aj2?ajn??aj2?ajn??an2?annan1an2?ann3、将行列式的某一行乘以常数?,则行列式的值也乘以?

a11??aj1?an1

a12??aj2?an2?a1n??ajn?ann??a11?ai1?aj1?a12?ai2?a1n??ain?ai1?ai2??ain???? ; aj2?ajn??an1an2?ann4、只有第i行(列)不同,其余各行(列)都相同的两个行列式相加,其和由“和行列式”表示, “和行列式”的第i行等于两个行列式的第i行(列)的对应元素相加,其余各行(列)不变

a11?ai1?aj1?a12?a1n?ai2??ain?a11?bi1?aj1?a12?a1n?bi2??bin

??aj2?ajn????aj2?ajn??an1an2?annan1an2?ann 3

a11???aj1?an1

a12??aj2?an2?a1n??ajn?ann;

ai1?bi1ai2?bi2?ain?bin??强调:同阶的两个分列式相加,不等于对应的元素相加.

5、若行列式的两行(列)的元素对应成比例,则行列式的值等于0;特别地,若行列式的两行(列) 相等,则行列式为0;

a11??ai1?an1

a12??ai2?an2?a1n??ain?ann?0 ;

?ai1?ai2??ain??6、把行列式的某一行(列)的元素乘以常数?,再加到另一行(列)的对应元素上,则行列式的值

不变

a11?a12???a1n?a11?ai1?a12?a1n?ai2??ain?ai1?ai2?ain???aj1??ai1aj2??ai2?ajn??ain?an1

??? . aj1aj2?ajn???an1an2?ann?an2??ann三、行列式的值的计算

1、行列式的值也可表示为(按第一行展开)

dn?|aij|?ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin,

2、行列式的值也可表示为(按第

i?1,2,?,n;

j列展开)

dn?|aij|?a1jA1j?a2jA2j???anjAnj,j?1,2,?,n;

4

3、行列式有如下展开式(按第i行展开)

?d,ai1Aj1?ai2Aj2???ainAjn??n?0,

4、行列式可分块求值(分块求值)

i?ji?ji,j?1,2,?,n

d? 其中

aijcst0bkl?aijbkl,

aij是m阶行列式、

bkl是n阶行列式(d是m?n阶行列式).

强调:行列式的计算可以充分利用行列式的性质,能简单则简单,高阶的行列式一般

不要硬算;请仔细阅读教材中的例子,并掌握行列式的计算技巧.

四、行列式的应用——Cramer法则

求线性方程组的解:

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn2 . ????????an1x1?an2x2???annxn?bn

a11用

a12??a1n表示方程组的系数行列式,则有如下Cramer法则(定理1.5.4):

A?a21?an1a22?a2nan2?ann设

A?0,则方程组的解是

xj?BjA,j?1,2,?,n,

其中

b1B1?b2?bn

a12??a1n、

a11B2??b1?a1n?、

a22?a2nan2?anna21b2?a2nan1bn?ann 5

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