概率高中数学专题复习资料

导读:高三数学专题复习专题25:概率,【复习要点】,本章内容分为概率初步和随机变量两部分.第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件有一,求甲、乙两人中至少一人进球的概率,求甲战胜乙的概率.,A、B两队每局比赛获胜的概率都相等且分别为,求最后A、B队各自获胜的概率,(2)B队以3:2获胜的概率.,解:(1)设最后A获胜的概率为P1,设最后B获胜的概率为P2.,(2)设B队以3:2获胜的概率为P3=C4(

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高三数学专题复习 专题25:概率

【复习要点】

本章内容分为概率初步和随机变量两部分.第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率和独立重复实验.第二部分包括随机变量、离散型随机变量的期望与方差.

涉及的思维方法:观察与试验、分析与综合、一般化与特殊化. 主要思维形式有:逻辑思维、聚合思维、形象思维和创造性思维.

【例题】

【例1】

已知甲、乙两名篮球运动员投篮命中率分别为0.7和0.8.

(1)如果每人各投篮一次,求甲、乙两人中至少一人进球的概率; (2)如果两人比赛,各投篮2次,求甲战胜乙的概率.

解:设甲、乙两名篮球运动员投篮进球分别记为事件A、B,则A、B为独立事件.

(1)P(A+B)=1-P(A+B)=1-P(A)?P(B)=1-(1-0.7)(1-0.8)=0.94 或P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7+0.8-0.7?0.8=0.94 (2)甲战胜乙有1比0、2比0、2比1三种情形,

11

∴P=C20.7?0.3?0.22+0.72?0.22+0.72?C20.8?0.2=0.1932.

【例2】 排球比赛的规则是5局3胜制,A、B两队每局比赛获胜的概率都相等且分别为

21

和.(1)前2局中B队以2:0领先,求最后A、B队各自获胜的概率; 33

(2)B队以3:2获胜的概率.

解:(1)设最后A获胜的概率为P1,设最后B获胜的概率为P2.

8323

∴P=C()=; 13

327

1212211919

P2=+?+??=.(或P2=1-P=) 1

3333332727

232

(2)设B队以3:2获胜的概率为P3=C4()()=3.∴P

1

3238. 81

【例3】 如图,用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2,当元件A、B、C都正常工作时,系统N1正常工作;当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时,系统N2正常工作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90,分别求系统N1,N2正常工作的概率P1、P2.

解:记元件A、B、C正常工作的事件分别为A、B、C,由已知条件P(A)=0.80, P(B)=0.90,P(C)=0.90.

(1)因为事件A、B、C是相互独立的,所以,系统N1正常工作的概率P1=P(A·B·C)=P(A)P(B)P(C)=0.648,故系统N1正常工作的概率为0.648

(2)系统N2正常工作的概率P2=P(A)·[1-P(B?C)] =P(A)·[1-P(B)P(C)]

=0.80×[1-(1-0.90)(1-0.90)]=0.792 故系统N2正常工作的概率为0.792

【例4】 有A、B两个箱子,A箱中有6张相同的卡片,其中一张写有0,两张写有1,三张写有2;B箱中有7张相同的卡片,其中四张写有0,一张写有1,两张写有2,现从A箱中任取1张,从B箱中任取2张,共3张卡片。 求:(1)3张卡片都写有0的概率; (2)3张卡片中数字之积为0的概率。

2

1C41

解:(1)?2=

6C721

2112?CCC1C75?37434

(2)?2+? 2+2?=

?6C76 42C7??C7

【例5】 袋里装有35个球,每个球上都标有从1到35的一个号码,设号码n的球n2

重.这些球以等可能性(不受重量的影响)从袋里取出. -5n+15(克)

3

(1)如果任意取出一球,试求其重量大于号码数的概率; (2)如果同时任意取出二球,试求它们重量相同的概率. n2

解:(1)由不等式-5n+15>n得n>15,n<3,

3

由题意知n=1,2,或n=16,17,?,35.于是所求概率为

22 35

(2)设第n号与第m号的两个球的重量相等,其中n<m, n2m2

则有-5n+15=-5m+15,

33

所以(n2-m2)-15(n-m)=0,

因为n≠m,所以n+m=15,(n,m)=(1,14),(2,13),?(7,8),

2但从35个球中任取两个的方法数为C35=

35?34

=595, 1?2

故所求概率为

71

=

59585

【例6】 已知:有6个房间安排4个旅游者住,每人可以进住任一房间,

且进住房间是等可能的,试求下列各事件的概率:(Ⅰ)事件A:指定的4个房间各有1人;(Ⅱ)事件B:恰有4个房间各有1人;(Ⅲ)事件C:指定的某个房间有2人。 解:由于每人可进住任1房间,进住哪间房是等可能的,每人都有6种等可能的方法, 根据乘法原理,4人进住6个房间共有64种方法 (1)指定的4个房间各有1人,有A

4

4种方法, P(A)

=

4A4

64

=

4

1 54

4

(2)从6间中选出4间有C6种方法,4个人每人去1间有A4种方法,

∴P(B)=

44

C4?A4

64

=

4

A6

64

=

5 18

2

(3)从4人中选2个人去指定的某个房间,共有C4种选法,余下2人每人都可去5个房

间中的任1间,因而有52种种方法。

∴P(C)=

2

C4?52

64

=

25

216

【例7】 一个电路中有三个电子元件,它们接通的概率都是m(0<m<1)

如图,有如下三种联接方法:

(1)分别求出这三种电路各自接通的概率;

(2)试分析这三种电路哪种性能最优,并证明你的结论.

解:(1)三种电路各自接通分别记为事件A1、A2、A3,则P(A1)=m3

P(A2)=1-(1-m)3=3m-3m2+m3 P(A3)=2(1-m)m2+m3=2m2-m3

(2)P(A2)-P(A1)=3m-3m2=3m(1-m) ∵0<m<1 ∴P(A2)>P(A1)

P(A2)-P(A3)=2m3-5m2+3m=m(2m-3)(m-1)>0 ∴P(A2)>P(A3)

三个电子元件并联接通的概率最大,故性能最优

【例8】 某厂生产的A产品按每盒10件进行包装,每盒产品均需检验合格后方可出厂.质检办法规定:从每盒10件A产品中任抽4件进行检验,若次品数不超过1件,就认为该盒产品合格;否则,就认为该盒产品不合格.已知某盒A产品中有2件次品. (1)求该盒产品被检验合格的概率;

(2)若对该盒产品分别进行两次检验,求两次检验得出的结果不一致的概率.

4解:(1)从该盒10件产品中任抽4件,有等可能的结果数为C10种,' 431其中次品数不超过1件有C8+C8C2种, 431

C8+C8C213

=. 被检验认为是合格的概率为4

15C10

(2)两次检验是相互独立的,可视为独立重复试验, 因两次检验得出该盒产品合格的概率均为

13, 15

故“两次检验得出的结果不一致”即两次检验中恰有一次是合格的概率为

C12?

131352

?(1-)=. 1515225

1352

;两次检验得出的结果不一致的概率为. 15225

答:该盒产品被检验认为是合格的概率为

【例9】 某先生居住在城镇的A处,准备开车到单位B处上班. 若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的,且在同一路段发生堵车事件最多只有一次,发生堵车事件的概率如图.(例如:A→C→D算作两个路段:路段AC发生堵车事件的概率为段CD发生堵车事件的概率为

1). 15

1

,路10

(1)请你为其选择一条由A到B的路线,使得途中发生堵车事件的概率最小; (2)若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量ξ,求ξ的数学期望Eξ.

解:(1)记路段MN发生堵车事件为MN. 因为各路段发生堵车事件都是独立的, 且在同一路段发生堵车事件最多只有一次, 所以路线A→C→D→B中遇到堵车 的概率P1为

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