概率高中数学专题复习资料

导读:高三数学专题复习专题25:概率,【复习要点】,本章内容分为概率初步和随机变量两部分.第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件有一,求甲、乙两人中至少一人进球的概率,求甲战胜乙的概率.,A、B两队每局比赛获胜的概率都相等且分别为,求最后A、B队各自获胜的概率,33(2)B队以3:2获胜的概率.,解:(1)设最后A获胜的概率为P1,设最后B获胜的概率为P2.,8323?P?C()?;13327121

概率高中数学专题复习资料

高三数学专题复习 专题25:概率

【复习要点】

本章内容分为概率初步和随机变量两部分.第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率和独立重复实验.第二部分包括随机变量、离散型随机变量的期望与方差.

涉及的思维方法:观察与试验、分析与综合、一般化与特殊化. 主要思维形式有:逻辑思维、聚合思维、形象思维和创造性思维.

【例题】

【例1】

已知甲、乙两名篮球运动员投篮命中率分别为0.7和0.8.

(1)如果每人各投篮一次,求甲、乙两人中至少一人进球的概率; (2)如果两人比赛,各投篮2次,求甲战胜乙的概率.

解:设甲、乙两名篮球运动员投篮进球分别记为事件A、B,则A、B为独立事件.

(1)P(A?B)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?1?(1?0.7)(1?0.8)?0.94 或P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.7?0.8?0.7?0.8?0.94 (2)甲战胜乙有1比0、2比0、2比1三种情形,

11 ?P?C20.7?0.3?0.22?0.72?0.22?0.72?C20.8?0.2?0.1932.

【例2】 排球比赛的规则是5局3胜制,A、B两队每局比赛获胜的概率都相等且分别为

21和.(1)前2局中B队以2:0领先,求最后A、B队各自获胜的概率; 33(2)B队以3:2获胜的概率.

解:(1)设最后A获胜的概率为P1,设最后B获胜的概率为P2.

8323?P?C()?; 133271212211919P2???????.(或P2?1?P?) 13333332727232(2)设B队以3:2获胜的概率为P3?C4()()?3.?P13238. 81

【例3】 如图,用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2,当元件A、B、C都正常工作时,系统N1正常工作;当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时,系统N2正常工作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90,分别求系统N1,N2正常工作的概率P1、P2.

1

解:记元件A、B、C正常工作的事件分别为A、B、C,由已知条件P(A)=0.80, P(B)=0.90,P(C)=0.90.

(1)因为事件A、B、C是相互独立的,所以,系统N1正常工作的概率P1=P(A·B·C)=P(A)P(B)P(C)=0.648,故系统N1正常工作的概率为0.648

(2)系统N2正常工作的概率P2=P(A)·[1-P(B?C)] =P(A)·[1-P(B)P(C)]

=0.80×[1-(1-0.90)(1-0.90)]=0.792 故系统N2正常工作的概率为0.792

【例4】 有A、B两个箱子,A箱中有6张相同的卡片,其中一张写有0,两张写有1,三张写有2;B箱中有7张相同的卡片,其中四张写有0,一张写有1,两张写有2,现从A箱中任取1张,从B箱中任取2张,共3张卡片。 求:(1)3张卡片都写有0的概率; (2)3张卡片中数字之积为0的概率。

21C41解:(1)?2?

6C7212112?CCC1C75?37434(2)?2???2?2??

?6C76?42C7??C7【例5】 袋里装有35个球,每个球上都标有从1到35的一个号码,设号码n的球n2重.这些球以等可能性(不受重量的影响)从袋里取出. ?5n?15(克)

3(1)如果任意取出一球,试求其重量大于号码数的概率; (2)如果同时任意取出二球,试求它们重量相同的概率. n2解:(1)由不等式?5n?15?n得n>15,n<3,

3由题意知n=1,2,或n=16,17,?,35.于是所求概率为

22 35(2)设第n号与第m号的两个球的重量相等,其中n<m, n2m2则有?5n?15??5m?15,

33所以(n2?m2)?15(n?m)?0,

2

因为n≠m,所以n+m=15,(n,m)=(1,14),(2,13),?(7,8),

2但从35个球中任取两个的方法数为C35?35?34?595, 1?2故所求概率为

71 ?59585【例6】 已知:有6个房间安排4个旅游者住,每人可以进住任一房间,

且进住房间是等可能的,试求下列各事件的概率:(Ⅰ)事件A:指定的4个房间各有1人;(Ⅱ)事件B:恰有4个房间各有1人;(Ⅲ)事件C:指定的某个房间有2人。 解:由于每人可进住任1房间,进住哪间房是等可能的,每人都有6种等可能的方法, 根据乘法原理,4人进住6个房间共有64种方法 (1)指定的4个房间各有1人,有A44种方法,?P(A)?4A464?41 544(2)从6间中选出4间有C6种方法,4个人每人去1间有A4种方法,

?P(B)?44C4?A464?4A664?5 182(3)从4人中选2个人去指定的某个房间,共有C4种选法,余下2人每人都可去5个房

间中的任1间,因而有52种种方法。

?P(C)?2C4?5264?25 216【例7】 一个电路中有三个电子元件,它们接通的概率都是m(0<m<1)如图,有如下三种联接方法:

① ② ③

(1)分别求出这三种电路各自接通的概率;

(2)试分析这三种电路哪种性能最优,并证明你的结论.

解:(1)三种电路各自接通分别记为事件A1、A2、A3,则P(A1)=m3

P(A2)=1-(1-m)3=3m-3m2+m3 P(A3)=2(1-m)m2+m3=2m2-m3

(2)P(A2)-P(A1)=3m-3m2=3m(1-m) ∵0<m<1 ∴P(A2)>P(A1)

P(A2)-P(A3)=2m3-5m2+3m=m(2m-3)(m-1)>0 ∴P(A2)>P(A3)

3

三个电子元件并联接通的概率最大,故性能最优

【例8】 某厂生产的A产品按每盒10件进行包装,每盒产品均需检验合格后方可出厂.质检办法规定:从每盒10件A产品中任抽4件进行检验,若次品数不超过1件,就认为该盒产品合格;否则,就认为该盒产品不合格.已知某盒A产品中有2件次品. (1)求该盒产品被检验合格的概率;

(2)若对该盒产品分别进行两次检验,求两次检验得出的结果不一致的概率.

4解:(1)从该盒10件产品中任抽4件,有等可能的结果数为C10种,' 431其中次品数不超过1件有C8?C8C2种, 431C8?C8C213?. 被检验认为是合格的概率为415C10(2)两次检验是相互独立的,可视为独立重复试验, 因两次检验得出该盒产品合格的概率均为

13, 15故“两次检验得出的结果不一致”即两次检验中恰有一次是合格的概率为

C12?131352?(1?)?. 15152251352;两次检验得出的结果不一致的概率为. 15225答:该盒产品被检验认为是合格的概率为

【例9】 某先生居住在城镇的A处,准备开车到单位B处上班. 若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的,且在同一路段发生堵车事件最多只有一次,发生堵车事件的概率如图.(例如:A→C→D算作两个路段:路段AC发生堵车事件的概率为段CD发生堵车事件的概率为

1). 151,路10(1)请你为其选择一条由A到B的路线,使得途中发生堵车事件的概率最小; (2)若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量?,求?的数学期望E?.

解:(1)记路段MN发生堵车事件为MN. 因为各路段发生堵车事件都是独立的, 且在同一路段发生堵车事件最多只有一次, 所以路线A→C→D→B中遇到堵车 的概率P1为

4

1?P(AC?CD?DB)?1?P(AC)?P(CD)?P(DB)

=1-[1-P(AC)][1-P(CD)][1-P(DB)] =1-

91453; ???101561080010同理:路线A→C→F→B中遇到堵车的概率P2为1-P(AC?CF?FB)?239(小于3) 路线A→E→F→B中遇到堵车的概率P3为1-P(AE?EF?FB)?91(小于3)

30010显然要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小.只可能在以上三条路线中选择. 因此选择路线A→C→F→B,可使得途中发生堵车事件的概率最小. (2)路线A→C→F→B中遇到堵车次数?可取值为0,1,2,3.

P(ξ?0)?P(AC?CF?FB)?561,800P(ξ?1)?P(AC?CF?FB)?P(AC?CF?FB)?P(AC?CF?FB)

?1171193119171637?????????.1020121020121020122400P(ξ?2)?P(AC?CF?FB)?P(AC?CF?FB)?P(AC?CF?FB)1311117193177?????????,10201210201210201224001313P(ξ?3)?P(AC?CF?FB)????,??10?10201224005616377731?Eξ?0??1??2??3??.8002400240024003?

1答:路线A→C→F→B中遇到堵车次数的数学期望为.

3【例10】 某电器商经过多年的经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数ζ是一个随机变量,它的分布列如下: ζ P 1 2 3 ?? 12 1111 ?? 12121212设每售出一台电冰箱,电器商获利300元,如销售不出而囤积于仓库,则每台每月需花

保养费用100元,问电器商每月初购进多少台电冰箱才能使自己月平均收益最大?

解:设x为月初电器商购进的冰箱台数,只须考虑1≤x≤12的情况,设电器商每月的

?300x,??x收益为y元,则y是随机变量ζ的函数且y=?,电器商平均每月获益

?300x?100(x??),??x的平均数,即数学期望为:

Ey=300x(Px+Px+1+?+P12)+[300-100(x-1)]P1+[2×300-100(x-2)]P2+?+[300(x-1)-100]Px-1

=300x(12-x+1)

11x(x?1)(x?1)x+ [300×] ?100?2212125

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