matlab功率谱PSD研究分析(毕业论文)(值得读)

导读:2011届本科生毕业设计(论文),得到的功率谱,严格的分析AR谱的方法比较困难,Subplot(411);plot(n,xn);title('仿真信号x(n)',由仿真结果可知:对两个频率相差不大的信号进行功率谱估计时,功率谱估计的实现有许多方法,MA(q)的功率谱为,所以现代谱估计研究主要是用于基于AR模型的方法估计功率谱,功率谱估计是信息学科中的研究热点,2011届本科生毕业设计(论文)?

matlab功率谱PSD研究分析(毕业论文)(值得读)

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?②用rx代替上述地推算法中的rx(m),重新求解Yule-Walker方程,这时求出的AR模型参数是真实参数的估计值,即a(1)、a(2),,,a(p)、

????p?;

jwP(e)的估计。 x(n)x将这些参数代入(3)式,得到的功率谱

4.3.2 AR模型谱估计的性质 1. AR谱的平滑特性

AR模型是一有理分式,估计出的谱平滑,不需要像周期图那样再做平滑或平均,因此,不需要为此去牺牲分辨率。

2 .AR谱的分辨率

AR谱估计的频率分辨率,要优于经典谱估计方法。其原因在于求解AR模型参数的过程,实际上意味着将根据x(0),x(1),?,x(N?1)估计的rx(0),rx(0),rx(1),?,rx(M) 按一定准则进行了外推。

3 .AR模型谱的匹配性质

由维纳-辛钦定理及AR谱对应的一个无限长的自相关函数可得

Px(e)?j?Pe(ej?)A(ej?)2

2PAR(ej?)??minA(ej?)

若用AR谱去匹配信号的谱,则误差系列的谱应由常数谱来匹配,体现A(z)的白化性质,

j?j?j?j?P(e)P(e)的P(e)P(e)xxARAR从整体上看将均匀地和相跟随。当均值为1时,将在j?j?j?j?P(e)P(e)。因P(e)P(e)上下波动,即在有的区域,AR>x,而在另外的区域,AR

j?PAR(ej?)是Px(e)的包络的一个好的近似。

4 .AR谱的统计性质

严格的分析AR谱的方法比较困难,目前尚未有一个解析表达式。粗略的讲,AR谱的方差反比于数据xN(n) 的长度N和信噪比SNR。

4.3.3 AR 模型阶次p的选择

1.FPE准则(最终预测误差准则)

2FPE(m)??mN?(m?1)N?(m?1)随着m的增加,使FPE(m)达到最小值时的m?p。

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2. AIC准则(信息论准则)

AIC(m)?Nln(m)?2m

2?m前者表征将随着m的增加而单调下降,后者表示计算误差将随着m的增加而增长。

4.3.4 AR模型谱估计仿真

以下是用matlab对AR模型法进行仿真,并得到仿真图。

clear;

Fs=1000;n=0:1/Fs:1;

xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n)); nfft=1024;

Subplot(411);plot(n,xn);title('仿真信号x(n)'); [px1,f1]=pyulear(xn,30,nfft,Fs);subplot(412); plot(f1,px1);title('自相关法功率谱估计'); [px2,f2]=pburg(xn,30,nfft,Fs);subplot(413); plot(f2,px2);title('burg算法功率谱估计'); [px3,f3]=pmcov(xn,30,nfft,Fs);subplot(414); Plot(f3,px3);title('改进协方差算法功率谱估计')

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图4-1 AR模型谱估计仿真图

由仿真结果可知:对两个频率相差不大的信号进行功率谱估计时,自相关法不容易看出其频率成分,而Burg算法和改进的协方差算法提高了参数估计的精度和频率分辨率。

功率谱估计的实现有许多方法,也有很多具体的算法可以参阅,MATLAB提供的算法函数为学习设计谱估计提供了方便高效的途径。参数模型谱估计方法是现代谱估计的重要内容,AR模型谱估计隐含着数据和自相关函数的外推,其长度可能超过给定的长度,分辨率不受信源信号长度的限制,这是经典谱估计无法做到的。在AR模型BT算法中由于前后都加窗,使得自相关法的分辨率降低,数据越短分辨率越差。仿真结果直观说明了BT算法、Burg算法和改进协方差算法各自的优缺点,能为实际工作中做出合理的选择提供依据。

4.4 MA模型谱估计

给出MA(q)模型的三个方程

x(n)?w(n)??bkw(n?k)k?1q (4-14)

H(z)?B(z)?1??bkz?kk?1q (4-15)

2

Px(ej?)??21??bke?j?kk?1q (4-16)

q 由(4-1)得

x(n?m)?w(n?m)??bkw(n?m?k)k?1 (4-17)

将上式两边同乘以x(n),并求均值,得

rx(m)?E?x(n)x(n?m)?

q???E?[w(n?m)??bkw(n?m?k)]x(n)?k?1??

?E?w(n?m)x(n)???bkE?w(n?m?k)x(n)?k?1q

??bkrxw(m?k)k?0q

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式中b0?1。

因为rxw(m?k)?E?w(n?m?k)x(n)?

????E?w(n?m?k)?h(i)w(n?i)?i?0??

?? 的正则方程,即有

2?h(i)?(m?k?i)??i?0?2h(k?m) 对MA(q)模型,由式(2) 式得h(i)?bi

i?0,1,?,q ; 所以,可以求出MA(q)模型

q?m?2q2???bkbk?m???bkbk?mrx(m)??k?mk?0??0m?0,1,?qm?q

MA(q)的功率谱为

等效于经典谱估计中的自相关法,即MA谱估计等效为信号长度为q+1的自相关法谱估

m???m??qPMA(e)?j??r(m)ex??j?m??r(m)exq?j?m计。

4.5 ARMA模型谱估计

ARMA(p,q)模型的差分方程

x(n)???akx(n?k)??brw(n?r)k?1r?0pq

式中b0?1。类似地,可导出其正则方程如下:

q?m?p2?akrx(m?k)??w?h(k)bm?k????1k?0rx(m)??kp???akrx(m?k)??k?10?m?qm?q

式中h(k)是系数ak和br的函数,前q+1个方程是高度非线性的。从第q+1个方程开始是线性的,可以解出AR部分的系数,将上式中的第二个方程写成如下展开形式:

?rx(q)?r(q?1)?x????rx(q?p?1)rx(q?1)?rx(q?p?1)??a1??rx(q?1)??a??r(q?2)?rx(q)?rx(q?p?2)?2??????x???????????????arx(q?p?2)?rx(q)r(q?p)??p????x?

上式虽然可解出AR部分的系数,但存在以下两个问题:

?①由于式中的真实自相关函数rx(m)是未知的,因此只能使用估计值rx(m)来代替,且?要用到大延迟的估计值(最大延迟是p+q),而对于给定的信号长度,这将造成rx(m)估

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计很不准确。因而,也就不能得到AR部分系数的准确估计。

②式中阶次p和q都是未知的,需要事先指定。P实际上是式中自相关阵的维数,p和

?q决定了rx(m)的选用范围。因此p和q的不正确指定有可能导致自相关阵出现奇异。 因此,在实际应用中,对自相关阵采用更一般的形式,即取L个方程,这里 L?p,即

RL?qa??rL?q,式中

?1,a?2,?,a?pa?a??T,

?x(q?1),r?x(q?2),?,r?x(q?L)?rL?q??rT

RL?q?x(q)?x(q?1)?x(q?p?1)?r?r?r?r?x(q?1)?x(q)?x(q?p?2)?r?r?????????????r(q?L?1)r(q?L?2)?r(q?L?p)xx?x?

H?1Ha??(RR)Ra(1?k?p)L?qL?qL?qrL?q由此得到 k的最小二乘解为 求得ARMA(p,q)模型

中的AR参数,余下的任务就是求解MA部分的参数。 利用求得的AR系数先得到一个FIR系统为

p?(z)?1?aA??kz?kk?1p序列x(n)经此FIR

系统滤波,得到一个输出序列

?kx(n?k)y(n)?x(n)??ak?1,ARMA(p,q)模型与FIR系统

?(z)?(m),rA级联,近似于模型B(z) 。 因此,可以利用输出序列y(n)估计自相关序列y并

?(e)?Pyj?按MA(q)模型谱估计公式来得到MA谱,即后,利用下式即可求得ARMA谱估计

m??q?r?(m)eyq?j?m,得到MA谱估计

Py(ej?)?PARMA(e)?j??(ej?)Py?ke?j?k1?k?an?1p2 。

4.6 小结

参数模型谱估计方法是现代谱估计的重要内容,AR模型谱估计隐含着数据和自相关函数的外推,其长度可能超过给定的长度,分辨率不受信源信号长度的限制,所以现代谱估计研究主要是用于基于AR模型的方法估计功率谱,这是经典谱估计无法做到的。AR模型的Burg法也存在问题,比如计算量大;信号起始相位变动可导致谱线偏移和分裂 ;低信噪比可导致谱分辨率下降等等。

功率谱估计是信息学科中的研究热点。现代谱估计主要是针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好的问题而提出的,其内容极其丰富,涉及的学科和领域也相当广泛。

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