2012年浙江省杭州市中考数学试卷解析版

导读:根据已知得出外接圆直径为AC是解题关键.20.(2012?杭州)有一组互不全等的,在解题时要注意x只能取整数.21.(2012?杭州)如图,22.(2012?杭州)在平面直角坐标系内,求反比例函数的解析式,然后设反比例函数的解析式为:y=,∴设反比例函数的解析式为:y=,∴反比例函数的解析式为:y=﹣,注意掌握待定系数法求函数解析式,23.(2012?杭州)如图,(2)∵△ABC的外接圆的面积

2012年浙江省杭州市中考数学试卷解析版

(2)∵△ABC的外接圆的面积为S圆, ∴S圆=π×(

)=

2

π,

2

△ABC的面积S△ABC=×3a×4a=6a,

∴==π>π.

点评: 此题主要考查了复杂作图以及直角三角形外接圆的性质,根据已知得出外接圆直径为AC是解题关键. 20.(2012?杭州)有一组互不全等的三角形,它们的边长均为整数,每个三角形有两条边的长分别为5和7.

(1)请写出其中一个三角形的第三边的长; (2)设组中最多有n个三角形,求n的值;

(3)当这组三角形个数最多时,从中任取一个,求该三角形周长为偶数的概率.

考点: 一元一次不等式组的应用;三角形三边关系;概率公式。 分析: (1)设三角形的第三边为x,根据三角形的三边关系列出不等式组,再解不等式组

即可;

(2)求出x的所有整数值,即可求出n的值;

(3)先求出该三角形周长为偶数的所有情况,再除以总的个数,即可求出答案. 解答: 解:(1)设三角形的第三边为x,

∵每个三角形有两条边的长分别为5和7, ∴7﹣5<x<5+7, ∴2<x<12, ∴其中一个三角形的第三边的长可以为10.

(2)∵2<x<12,它们的边长均为整数, ∴x=3,4,5,6,7,8,9,10,11, ∴组中最多有9个三角形, ∴n=9;

(3)∵当x=4,6,8,10时,该三角形周长为偶数, ∴该三角形周长为偶数的概率是.

点评: 此题考查了一元一次不等式组的应用,关键是根据三角形的三边关系列出不等式组,在解题时要注意x只能取整数. 21.(2012?杭州)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,分别以AB,CD为边向外侧作等边三角形ABE和等边三角形DCF,连接AF,DE. (1)求证:AF=DE; (2)若∠BAD=45°,AB=a,△ABE和△DCF的面积之和等于梯形ABCD的面积,求BC的长.

考点: 等腰梯形的性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质。 专题: 探究型。 分析: (1)根据等腰梯形的性质和等边三角形的性质以及全等三角形的判定方法证明

△AED≌△DFA即可; (2)如图作BH⊥AD,CK⊥AD,利用给出的条件和梯形的面积公式即可求出BC的长. 解答: (1)证明:在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,

∴∠BAD=∠CDA,

而在等边三角形ABE和等边三角形DCF中, AB=AE,DC=DF,且∠BAE=∠CDF=60°, ∴AE=DF,∠EAD=∠FDA,AD=DA, ∴△AED≌△DFA(SAS), ∴AF=DE;

(2)解:如图作BH⊥AD,CK⊥AD,则有BC=HK, ∵∠BAD=45°, ∴∠HAB=∠KDC=45°, ∴AB=BH=AH,

同理:CD=CK=KD,

∵S梯形ABCD=

,AB=a,

∴S梯形ABCD=而S△ABE=S△DCF=

a,

2

=,

∴=2×a,

2

∴BC=a.

点评: 本题综合性的考查了等腰梯形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质以及等于直角三角形的性质和梯形、三角形的面积公式,属于中档题目.

22.(2012?杭州)在平面直角坐标系内,反比例函数和二次函数y=k(x+x﹣1)的图象交于点A(1,k)和点B(﹣1,﹣k).

(1)当k=﹣2时,求反比例函数的解析式;

(2)要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大,求k应满足的条件以及x的取值范围;

(3)设二次函数的图象的顶点为Q,当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时,求k的值.

考点: 二次函数综合题。 分析:

(1)当k=﹣2时,即可求得点A的坐标,然后设反比例函数的解析式为:y=,利

用待定系数法即可求得答案;

(2)由反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大,可得k<0,又由二次函数y=k(x+x﹣1)的对称轴为x=﹣,可得x<﹣时,才能使得y随着x的增大而增大; (3)由△ABQ是以AB为斜边的直角三角形,A点与B点关于原点对称,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即可得OQ=OA=OB,又由Q(﹣,k),A(1,k),即可得

=

,继而求得答案.

2

2

解答: 解:(1)当k=﹣2时,A(1,﹣2), ∵A在反比例函数图象上,

∴设反比例函数的解析式为:y=,

代入A(1,﹣2)得:﹣2=, 解得:m=﹣2,

∴反比例函数的解析式为:y=﹣;

(2)∵要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大, ∴k<0,

∵二次函数y=k(x+x﹣1)=k(x+)﹣k,的对称轴为:直线x=﹣, 要使二次函数y=k(x+x﹣1)满足上述条件,在k<0的情况下,x必须在对称轴的左边,

即x<﹣时,才能使得y随着x的增大而增大, ∴综上所述,k<0且x<﹣;

(3)由(2)可得:Q(﹣,k),

∵△ABQ是以AB为斜边的直角三角形,A点与B点关于原点对称,(如图是其中的一种情况) ∴原点O平分AB, ∴OQ=OA=OB, 作AD⊥OC,QC⊥OC, ∴OQ=∵OA=∴解得:k=±

=. ==,

, ,

22

2

点评: 此题考查了二次函数的性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质等知识.此题

综合性较强,难度较大,注意掌握待定系数法求函数解析式,注意数形结合思想的应用.

23.(2012?杭州)如图,AE切⊙O于点E,AT交⊙O于点M,N,线段OE交AT于点C,OB⊥AT于点B,已知∠EAT=30°,AE=3,MN=2. (1)求∠COB的度数; (2)求⊙O的半径R; (3)点F在⊙O上(

是劣弧),且EF=5,把△OBC经过平移、旋转和相似变换后,使它

的两个顶点分别与点E,F重合.在EF的同一侧,这样的三角形共有多少个?你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗?请在图中画出这个三角形,并求出这个三角形与△OBC的周长之比.

考点: 切线的性质;含30度角的直角三角形;勾股定理;垂径定理;平移的性质;旋转的

性质;相似三角形的判定与性质。 专题: 计算题。 分析: (1)由AE与圆O相切,根据切线的性质得到AE与CE垂直,又OB与AT垂直,

可得出两直角相等,再由一对对顶角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形AEC与三角形OBC相似,根据相似三角形的对应角相等可得出所求的角与∠A相等,由∠A的度数即可求出所求角的度数;

(2)在直角三角形AEC中,由AE及tanA的值,利用锐角三角函数定义求出CE的长,再由OB垂直于MN,由垂径定理得到B为MN的中点,根据MN的长求出MB的长,在直角三角形OBM中,由半径OM=R,及MB的长,利用勾股定理表示出OB的长,在直角三角形OBC中,由表示出OB及cos30°的值,利用锐角三角函数定义表示出OC,用OE﹣OC=EC列出关于R的方程,求出方程的解得到半径R的值; (3)把△OBC经过平移、旋转和相似变换后,使它的两个顶点分别与点E,F重合.在EF的同一侧,这样的三角形共有6个,如图所示,每小图2个,顶点在圆上的三角形,延长EO与圆交于点D,连接DF,由第二问求出半径,的长直径ED的长,根据ED为直径,利用直径所对的圆周角为直角,得到三角形EFD为直角三角形,由∠FDE为30°,利用锐角三角函数定义求出DF的长,表示出三角形EFD的周长,再由第二问求出的三角形OBC的三边表示出三角形BOC的周长,即可求出两三角形的周长之比. 解答: 解:(1)∵AE切⊙O于点E,

∴AE⊥CE,又OB⊥AT, ∴∠AEC=∠CBO=90°, 又∠BCO=∠ACE, ∴△AEC∽△OBC,又∠A=30°, ∴∠COB=∠A=30°;

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