广西各市2012年中考数学押轴题

导读:A(-2,0)、B(0,1)、C(d,2)。(1)求d的值;(2)将△ABC沿x轴的正方向平移,在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数图像上。请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式;(3)在(2)的条件下,直线B′C′交y轴于点G。问是否存在x轴上的点M和反比例函数图像上的点P,使得四边形PGMC′是平行四边形。如果存在,请求

广西各市2012年中考数学押轴题

A(-2,0)、 B(0,1)、C(d,2)。

(1)求d的值;

(2)将△ABC沿x轴的正方向平移,在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某

反比例函数图

像上。请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式;

(3)在(2)的条件下,直线B′C′交y轴于点G。问是否存在x轴上的点M和反比例函数

图像上的点P,

使得四边形PGMC′是平行四边形。如果存在,请求出点M和点P的坐标;如果不存在,请

说明理由。

【答案】解:(1)作CN⊥x轴于点N。

在Rt△CNA和Rt△AOB中, ∵NC=OA=2,AC=AB ∴Rt△CNA≌Rt△AOB(HL)。 ∴AN=BO=1,NO=NA+AO=3, 又∵点C在第二象限,∴d=-3。 (2)设反比例函数为y?k,点C′和B′在该比例函数图像上, x设C′(c,2),则B′(c+3,1)。

k,得k=2 c;k=c+3。 x6∴2 c=c+3,c=3,则k=6。∴反比例函数解析式为y?。

x把点C′和B′的坐标分别代入y?得点C′(3,2);B′(6,1)。

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设直线C′B′的解析式为y=ax+b,把C′、B′两点坐标代入得??3a?b?2,

?6a?b?11??a??解得?3。

??b?3∴直线C′B′的解析式为y??1x?3。 33,2(3)设Q是G C′的中点,由G(0,3),C′(3,2),得点Q的横坐标为点Q的纵坐标为

2+

3?2535=。∴Q(,)。 2222过点Q作直线l与x轴交于M′点,与y?

6

的 x

图象交于P′点,若四边形P′G M′ C′是平行四边形,则有P′Q=Q M′,易知点M′的横坐标大于

33,点P′的横坐标小于。 22作P′H⊥x轴于点H,QK⊥y轴于点K,P′H与

QK交于点E,作QF⊥x轴于点F,

则△P′EQ≌△QFM′ 。

设EQ=FM′=t,则点P′的横坐标x为

3?t,点P′的纵坐标y为26612, ??x3?t3?2t23点M′的坐标是(?t,0)。

2125?。 ∴P′E=

3?2t2由

2P′Q=

2QM′,得

P′E2

EQ2

QF2

FM′2

5??12?5?∴????t2????t2, ?3?2t2??2?123?5,解得t?(经检验,它是分式方程的解)。 3?2t10333633391212?,∴?t????5,?t???。

3221053?2t221053?2?10整理得:

- 17 -

∴P′(

69,5),M′(,0),则点P′为所求的点P,点M′为所求的点M。55【考点】反比例函数综合题,全等三角形的判定和性质,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,平移的性质,平行四边形的和性质,勾股定理,解分式方程和二元一次方程组。 【分析】(1)作CN⊥x轴于点N,由Rt△CNA≌Rt△AOB即可求得d的值。

(2)根据平移的性质,用待定系数法求出反比例函数和直线B′C′的解析式。 (3)根据平行四边形对角线互相平分的性质,取G C′的中点Q,过点Q作直线l

与x轴交于M′点,与y?6的图象交于P′点,求出P′Q=Q M′的点M′和P′的坐标即可。 x3. (2012广西贵港11分)如图,Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、

E、F,且

∠ACB=90°,AB=5,BC=3。点P在射线AC上运动,过点P作PH⊥AB,垂足为H。 (1)直接写出线段AC、AD以及⊙O半径的长; (2)设PH=x,PC=y,求y关于x的函数关系式; (3)当PH与⊙O相切时,求相应的y值。

【答案】解:(1)AC=4;AD=3,⊙O半径的长为1。

(2)在Rt△ABC中,AB=5,AC=4,则BC=3。

∵∠C=90°,PH⊥AB,∴∠C=∠PHA=90°。

PHAPAC?PCx4?y,即?。 ??BCABAB3555∴y??x+4,即y与x的函数关系式是y??x+4。

33∵∠A=∠A, ∴△AHP∽△ACB。∴

(3)如图,P′H′与⊙O相切于点M,连接OD,OE,OF,OM。

∵∠OMH′=∠MH′D=∠H′DO=90°,OM=OD, ∴四边形OMH′D是正方形。∴MH′=OM=1。 ∵CE、CF是⊙O的切线,∠ACB=90°,

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∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°,CF=CE。 ∴四边形CEOF是正方形,CF=OF=1。 ∴P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C,即x=y。

又由(2)知,y??x+4,∴y??y+4,解得y?53533。 2【考点】圆的综合题,圆的切线性质,勾股定理,正方形的判定和性质,相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)连接AO、DO,EO,FO,设⊙O的半径为r,

在Rt△ABC中,由勾股定理得AC=AB2?BC2?4, ∴⊙O的半径r=

11(AC+BC-AB)=(4+3-5)=1。 22∵CE、CF是⊙O的切线,∠ACB=90°,

∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°,CF=CE。∴四边形CEOF是正方形。

∴CF=OF=1。

又∵AD、AF是⊙O的切线,∴AF=AD。∴AF=AC-CF=AC-OF=4-1=3,即AD=3。 (2)通过相似三角形△AHP∽△ACB的对应边成比例知,

将“PH=x,PC=y”代入求出即可求得y关于x的函数关系式。

(3)根据圆的切线定理证得四边形OMH′D、四边形CFOE为正方形;然后利用正

方形的性质、圆的切线定理推知P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C,即x=y;最后将其代入(2)中的函数关系式即可求得y值。

4. (2012广西贵港12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+3的顶点

为M(2,

-1),交x轴于A、B两点,交y轴于点C,其中点B的坐标为(3,0)。 (1)求该抛物线的解析式;

(2)设经过点C的直线与该抛物线的另一个交点为D,且直线CD和直线CA关于直线BC

对称,求直线 CD的解析式;

(3)在该抛物线的对称轴上存在点P,满足PM2+PB2+PC2=35,求点P的坐标;并直接

写出此时直线

OP与该抛物线交点的个数。

PHAPAC?PC,??BCABAB- 19 -

【答案】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+3的顶点为M(2,-1), ∴设抛物线的解析式为线y=a?x?2??1。

∵点B(3,0)在抛物线上,∴0=a?3?2??1,解得a=1。 ∴该抛物线的解析式为y=?x?2??1,即y=x2?4x+3。

(2)在y=x2?4x+3中令x=0,得y=3。∴C(0,3)。 ∴OB=OC=3。∴∠ABC=450。

过点B作BN⊥x轴交CD于点N(如图), 则∠ABC=∠NBC=450。

∵直线CD和直线CA关于直线BC对称, ∴∠ACB=∠NCB。

又∵CB=CB,∴△ACB≌△NCB(ASA)。 ∴BN=BA。

∵A,B关于抛物线的对称轴x=2对称,B(3,0),

∴A(1,0)。∴BN=BA=2。∴N(3,2)。 设直线CD的解析式为y=kx+b, ∵C(0,3),N(3,2)在直线CD上,

2221??b=3?k=?∴?,解得,?3。 ?3k+b=2??b=3∴直线CD的解析式为y=?x+3。

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