2018年高考数学一轮复习专题09指数函数教学案理!

导读:高频考点四、和指数函数有关的复合函数的性质,例4、设函数f(x)=kax-a-x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数.(1,+∞)上的最小值.解因为f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(x)在R上为增函数,【感悟提升】指数函数的性质及应用问题解题策略,(1)比较大小问题.常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法.,(2)简单的指数方程或不等式的求解问题.解决此类问题应利用指数函数的单调性,

2018年高考数学一轮复习专题09指数函数教学案理!

C.(-3,1) 答案 C

D.(-∞,-3)∪(1,+∞)

1?1??1??1??1?解析 当a<0时,不等式f(a)<1可化为??a-7<1,即??a<8,即??a-3,此时-3

高频考点四、和指数函数有关的复合函数的性质

例4、设函数f(x)=kax-a-x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数. (1)若f(1)>0,试求不等式f(x2+2x)+f(x-4)>0的解集;

(2)若f(1)=3

2,且g(x)=a2x+a-2x-4f(x),求g(x)在[1,+∞)上的最小值.解 因为f(x)是定义域为R的奇函数,

所以f(0)=0,所以k-1=0,即k=1,f(x)=ax-a-x. (1)因为f(1)>0,所以a-1

a>0,

又a>0且a≠1,所以a>1.

因为f′(x)=axlna+a-xlna=(ax+a-x)lna>0,

所以f(x)在R上为增函数,原不等式可化为f(x2+2x)>f(4-x), 所以x2+2x>4-x,即x2+3x-4>0, 所以x>1或x<-4.

所以不等式的解集为{x|x>1或x<-4}.

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【感悟提升】指数函数的性质及应用问题解题策略

(1)比较大小问题.常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法.

(2)简单的指数方程或不等式的求解问题.解决此类问题应利用指数函数的单调性,要特别注意底数a的取值范围,并在必要时进行分类讨论.

(3)解决指数函数的综合问题时,要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合,同时要特别注意底数不确定时,对底数的分类讨论.

【变式探究】(1)已知函数f(x)=2|2x-m|(m为常数),若f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,则m的取值范围是________.

(2)如果函数y=a2x+2ax-1(a>0,a≠1)在区间[-1,1]上的最大值是14,则a的值为( )

1

A. B.1 3C.3

1

D.或3 3

答案 (1)(-∞,4] (2)D

mm

解析 (1)令t=|2x-m|,则t=|2x-m|在区间[,+∞)上单调递增,在区间(-∞,]22上单调递减.而y=2t为R上的增函数,所以要使函数f(x)=2|2x-m|在[2,+∞)上单调递m

增,则有≤2,即m≤4,所以m的取值范围是(-∞,4].

2

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高频考点五、换元法在和指数函数有关的复合函数中的应用

例5、(1)函数y=??1?4???x-??1?2???

x+1在区间[-3,2]上的值域是________. (2)函数f(x)=??1?2??-x2+2x+1?的单调减区间为________________________________.解析 (1)因为x∈[-3,2],

所以若令t=??1?2???x,则t∈??1?4,8???, 故y=t2-t+1=??1?t-2??3

?2+4

.

当t=12时,ymin=3

4

;当t=8时,ymax=57.

故所求函数值域为??3?4,57???

.

(2)设u=-x2+2x+1,

∵y=??1?2???

u在R上为减函数,

∴函数f(x)=??1?2??-x2+2x+1?的减区间即为函数u=-x2+2x+1的增区间. 又u=-x2+2x+1的增区间为(-∞,1],

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∴f(x)的减区间为(-∞,1].

?3?答案 (1)?,57? (2)(-∞,1] ?4?

【特别提醒】(1)解决和指数函数有关的复合函数的单调性或值域问题时,要熟练掌握指数函数的单调性,搞清复合函数的结构,利用换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题;(2)换元过程中要注意“元”的取值范围的变化.

【方法与技巧】

1.通过指数函数图象比较底数大小的问题,可以先通过令x=1得到底数的值,再进行比较.

2.指数函数y=ax (a>0,a≠1)的性质和a的取值有关,一定要分清a>1与0

1.【2016高考新课标3理数】已知a?2,b?4,c?25,则( ) (A)b?a?c (B)a?b?c (C)b?c?a (D)c?a?b 【答案】A

【解析】因为a?2?4?4?b,c?25?5?4?a,所以b?a?c,故选A. 【2015高考天津,理7】已知定义在R 上的函数f?x??2x?m432325132323432513?1 (m为实数)为偶函

数,记a?f(log0.53),b?f?log25?,c?f?2m? ,则a,b,c 的大小关系为( )

(A)a?b?c (B)a?c?b (C)c?a?b (D)c?b?a 【答案】C

【解析】因为函数f?x??2x?m?1为偶函数,所以m?0,即f?x??2?1,所以

xlog21??a?f(log0.53)?f?log2??23?1?2log23?1?3?1?2,

3??1b?f?log25??2log25?1?4,c?f?2m??f(0)?20?1?0

所以c?a?b,故选C.

?3x?1,x?1,则满足f?f?a???2f?a?的a取值【2015高考山东,理10】设函数f?x???x?2,x?1

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范围是( )

(A)?,1? (B)?0,1? (C)?,??? (D)?1,??? 【答案】C

?2??3??2?3??

(2014·福建卷)若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图像如图1-1所示,则下列函数图像正确的是( )

图1-1

A B

C D 【答案】B

?1?【解析】由函数y=logax的图像过点(3,1),得a=3。选项A中的函数为y=??,则?3?

其函数图像不正确;选项B中的函数为y=x,则其函数图像正确;选项C中的函数为y=(-

3

xx)3,则其函数图像不正确;选项D中的函数为y=log3(-x),则其函数图像不正确.

(2014·江西卷)已知函数f(x)=5,g(x)=ax-x(a∈R).若f[g(1)]=1,则a=( ) A.1 B.2 C.3 D.-1

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