平面向量基本定理

导读:第五讲平面向量基本定理,1.实数与向量的积:实数λ与向量a的积是一个向量,a分配律:(λ+μ)a=λ3.向量共线定理,向量b与非零向量a共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ,使b=λ(二)、讲解新课:(共面向量定理)平面向量基本定理:,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,我们把不共线向量e1、,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,(2)由定理可将任一向量

平面向量基本定理

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第五讲 平面向量基本定理

一、知识导航

(一)、复习引入:

1.实数与向量的积:实数λ与向量a的积是一个向量,记作:λ(1)|λ

aa

|=|λ||a|;

a(2)λ>0时λ与a方向相同;λ<0时λ

a与a方向相反;λ=0时λ

a=0

2.运算定律 结合律:λ(μ

a)=(λμ) a

a分配律:(λ+μ) a=λ3. 向量共线定理

a λ(a+b)=λ

a+λb

向量b与非零向量a共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ,使b=λ(二)、讲解新课:(共面向量定理) 平面向量基本定理:

a。

如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2使a=λ1e1+λ2e2,我们把不共线向量e1、

e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;

注意:

(1) 基底不惟一,关键是不共线;

(2)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解; (3)基底给定时,分解形式惟一. λ1,λ2是被a,e1,e2唯一确定的数量

不共线向量存在夹角,关于向量的夹角,我们规定:已知两个非零向量a和b(如图),作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ(00≤θ≤1800)叫做a与b的夹角。显然,当θ=00时,a与b同向;当θ=1800时,a与b方向。如果a与b的夹角是900,我们就说a与b垂直,记住a⊥b

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小结归纳

1.认识向量的几何特性.对于向量问题一定要结合图形进行研究.向量方法可以解决几何中的证明. 2.注意O与O的区别.零向量与任一向量平行. 3.注意平行向量与平行线段的区别.用向量方法证明AB∥CD,需证AB∥CD,且AB与CD不共线.要证A、B、C三点共线,则证AB∥AC即可. 4.向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则,特点:首尾相接首尾连;向量减法的三角形法则特点:首首相接连终点.

二、考点链接

例1 已知向量e1,e2 求作向量?2.5e1+3e2。

变式训练1 若?e1,?e2为基底向量,且?AB=?e1-k?e2,?CB=?e1+?e2,?CD=3?e1-?e2,若A、B、D三点共线,求实数k的值.

例2 如图 ABCD的两条对角线交于点M,且AB=a,AD=b,用a,b表示MA,

MB,MC和MD

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变式训练2 如图所示,?ABCD中,AB=a,AD=b,H、M是AD、DC的中点,?BF=13?BC,以a、b为基底分解向量?AM和?HF.

例3已知ABCD的两条对角线AC与BD交于E,O是任意一点, 求证:OA+OB+OC+OD=4OE

变式训练3 已知?OA,?OB是不共线的向量,若A,B,P三点共线,求证:存在实数x,y使?OP=x?OA+y?OB 且x+y=1,反之成立.

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例4(1)如图,OA,OB不共线,AP=tAB (t?R)用OA,OB表示OP (2)设OA,OB不共线,点P在O、A、B所在的平面内,且A、B、P三点共线. OP?(1?t)OA?tO(B?t.求证:)R

变式训练4:如图所示,OADB是以向量OA=a,OB=b为邻边的平行四边形,又BM=1 B O M C 3BC,CN=1D

3CD,试用a、b表示OM,ON,MN.

N A

例5 已知 a=2e1-3e2,b= 2e1+3e2,其中e1,e2不共线,向量c=2e1-9e2,问是否存在这样的实数?、?,使d??a??b与c共线.

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变式训练5已知向量a?2e1?3e2,b?2e1?3e2,c?2e1?9e2,其中e1、e2不共线,求实数?、?,使c??a??b.

例6. 设a,b是两个不共线向量,若a与b起点相同,t∈R,t为何值时,a,tb,

13(a+b)三向量的终点在一条直线上?

变式训练6:已知?OA=?a,?OB=?b,?OC=?c,?OD=?d,?OE=?e,,设t?R,如果3?a=?c,2?b=?d, ?e=t(?a+?b),那么t为何值时,C,D,E三点在一条直线上?

三、课堂练习:

1.设e1、e2是同一平面内的两个向量, A.e1、e2 B.e1、e2

C.同一平面内的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R)

D.若e1、e2不共线,则同一平面内的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R) 2.已知矢量a = e1-2e2,b =2e1+e2,其中e1、e2不共线,则a+b与c =6e1-2e2的关系 A.不共线 B. C.相等 D.无法确定

3.已知向量e1、e2不共线,实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y的

A.3 B.-3 C.0 D.2

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