动态几何探究问题例析

导读:动态几何探究问题例析,动态几何就是研究在几何图形的运动中,就其运动形式而言有平动、旋转、翻折、滚动等.动态几何问题常常集几何、代数知识于一,全面考查学生的综合分析和解决问题的能力,解决动态几何问题需要树立联系发展的动态观,(一)单动点问题,(二)双点运动问题,(三)图形运动问题,动态几何探究问题例析动态几何就是研究在几何图形的运动中,伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性;就其

动态几何探究问题例析

动态几何探究问题例析

动态几何就是研究在几何图形的运动中,伴随着出现一定的图形位置、数量关系的 “变”与“不变”性;就其运动对象而言有点动、线动、面动;就其运动形式而言有平动、旋转、翻折、滚动等.动态几何问题常常集几何、代数知识于一体,数形结合,有较强的综合性,题目灵活、多变,动中有静,动静结合,能够在运动变化中发展学生空间想象能力,全面考查学生的综合分析和解决问题的能力,是近几年中考命题的热点,常常在中考中起到甄选的作用.

解决动态几何问题需要树立联系发展的动态观,用运动与变化的眼光去观察和研究图形,把握图形运动与变化的全过程.一方面要注意将运动过程中的各个时刻的图形分类画图,由“动”变“静”;另一方面还要善于抓住在运动过程中某一特殊位置的等量关系和变量关系,并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系以及特定的限制条件.在求有关图形的变量之间关系时,通常建立函数模型或不等式模型来求解;求图形之间的特殊数量关系和一些特殊值时,通常建立方程模型求解.

(一)单动点问题

例1 (2007连云港)如图19-1,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,顶点A,C在坐标轴上,OA=60cm,OC=80cm,动点P从点O出发,以5cm/s的速度沿x轴匀速向点C运动,到达C点即停止.设点P运动的时间为ts.

(1)过P作对角线OB的垂线,垂足为点T.求PT的长y与时间t之间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;

(2)在点P运动过程中,当点O关于直线AP的对称点O恰好落在对角线OB上时,求此时直线AP的函数解析式;

(3)探索:以A,P,T三点为顶点的△APT的面积能否达到矩形OABC的面积的理由.

yByA1/

14?请说明

ABT2AyBAyBTxOPC图19-4O'xCOTECP图19-3xTOP图19-1CxOP图19-2

解析 (1)在矩形OABC中,∵OA=60,OC=80,∴OB=AC=100.又Rt△OPT∽Rt△OBC,∴

PTBC?OPOB,即PT60?5t100,y=PT=3t.当P运动到C点时,t达到最大值为

805?16,故t的

取值范围为0≤t≤16.

(2)当点O关于直线AP的对称点O/恰好在对角线OB上时,A,T,P三点应在一条直线上(如图19-2).∴AP⊥OB,∠1=∠2∴Rt△AOP∽Rt△OCB,∴

OPCB?AOCO,∴OP=45,∴点P的坐标

为(45,0).设直线AP的函数关系式为y=kx+b.将A(0,60),P(45,0)两点代入解析式要求直线AP的解析式为y=?43x?60. 455(3)由(2)知,当t==9时,A,T,P三点在一条直线上,此时,点A,T,P构不成三角

形.故分两种情况:图19-3,当0<t<9时,T点位于△AOP的内部,此时△APT和面积达不

到矩形OABC面积的

14.图19-4,当9<t≤16时,点T位于△AOP的外部, 此时△APT和面

14积也达不到矩形OABC面积的.

点评:第(1)问的关键是能利用相似知识得到对应线段成比例;第(2)问需要明白点O

关于直线AP的对称点O恰好落在对角线OB上的实质是告诉AP与OB垂直的关系;第(3)问探索以A,P,T三点为顶点的△APT的面积是否能到矩形OABC面积的讨论分析.

14/

,则要分两种情况进行

(二) 双点运动问题

例2 (2007温州)如图21-1,在△ABC中,∠C=90,AC=4cm,BC=5cm,点D在BC上,且CD=3cm.现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发,其中点P以1cm/s的速度沿AC向终点C运动;点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C运动.过P作PE∥BC交AD于E,连接EQ.设动点运动的时间为xs.(1)用含x的代数式表示AE、DE的长度.

(2)当点Q在BD(不包括点B、D)上移动时,设△EDQ的面积为y(cm2),求y与时间x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;

(3)当x为何值时, △EDQ为直角三角形?

CDPEABDQ图21-2PCBEQD图21-3PCAA0

BQD图21-1解析 (1)在Rt△ADC中,AC=4,CD=3,∴AD=5.又EP∥DC,∴△AEP∽△ADC,∴

AE=y=

1254x,DE=5-5854x.(2)∵BC=5,CD=3, ∴BD=2.当点Q在BD上运动x秒后,DQ=2-2

54x,则

DQ×CP=x?72x?4.即y与x之间的函数关系式是: y=

0

58x?272x?4(0<x<

1.6).(3)分两种情况讨论:①如图21-2,当∠EQD=90时,EQ=PC=4-x,又EQ∥AC,∴△EDQ∽△

54?x4?4x?23ADC,,即,∴x=2.5.②如图21-3,当∠QED=900,∵∠CDA=∠EDQ, ∠EDQ=∠5?5x5?4x?25C=90, △EDQ∽△CDA,即△EDQ为直角三角形.

0

43,∴x=3.1.综上所述,当x为2.5s或3.1s时,

点评: 本题第(2)问求面积时注意以DQ为底,高则可以用CP来代表,这样处理比较简单,

而第(3)问的解答关键在于要分两种情况来分析.

(三) 图形运动问题

例3(2008广东东莞)将两块大小一样含30°角的直角三角板,叠放在一起,使得它们的斜边AB重合,直角边不重合,已知AB=8,BC=AD=4,AC与BD相交于点E,连结CD.

(1)填空:如图1,AC= ,BD= ;四边形ABCD是 梯形. (2)请写出图1中所有的相似三角形(不含全等三角形).

(3)如图2,若以AB所在直线为x轴,过点A垂直于AB的直线为y轴建立如图10 的平面直角坐标系,保持ΔABD不动,将ΔABC向x轴的正方向平移到ΔFGH的位置,FH与BD相交于点P,设AF=t,ΔFBP面积为S,求S与t之间的函数关系式,并写出t的取值值范围.

D E B

A F 图2

C

y D C E P B G x H A 图 1

解析(1)43,43; 等腰;

(2)共有9对相似三角形. ①△DCE、△ABE与△ACD或△BDC两两相似,分别是:△DCE∽△ABE,△DCE∽△ACD,△DCE∽△BDC,△ABE∽△ACD,△ABE∽△BDC;(有5对)

②△ABD∽△EAD,△ABD∽△EBC;(有2对) ③△BAC∽△EAD,△BAC∽△EBC;(有2对) 所以,一共有9对相似三角形

(3)由题意知,FP∥AE, ∴ ∠1=∠PFB, 又∵ ∠1=∠2=30°, ∴ ∠PFB=∠2=30°, ∴ FP=BP.

过点P作PK⊥FB于点K,则FK?BK?∵ AF=t,AB=8, ∴ FB=8-t,BK?12(8?t).

12FB.

A1FyDCHEP2BGK 图10x在Rt△BPK中,PK?BK?tan?2?12(8?t)tan30??36(8?t)

∴ △FBP的面积S?12?FB?PK?12?(8?t)?36(8?t),

∴ S与t之间的函数关系式为: S?312(t?8),或S?2312t?243t?1633. t的取值范围为:0?t?8.

点评:本例在解题时,应搞清楚图形的变化过程,探索动点运动的特点和规律,作出几个

符合条件的草图,并抓住图形在变化过程中不变的量是关键,然后根据所求面积的不同的形状

来确定它的面积的求法.

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