2012高中数学苏教版教学案-第六章-不等式证明六(构造法及其它方法)

导读:教材:不等式证明六(构造法及其它方法),目的:要求学生逐步熟悉利用构造法等方法证明不等式,过程:构造法:,1.构造函数法,求证:证:构造函数则,2.构造方程法:,(此法也称判别式法)3.构造图形法:,证:构造单位正方形,作业:证明下列不等式:,则|f(a)(f(b)|<|a(b|构造矩形ABCD,F在CD上,第十一教时教材:不等式证明六(构造法及其它方法)目的:要求学生逐步熟悉利用构造法等方法

2012高中数学苏教版教学案-第六章-不等式证明六(构造法及其它方法)

第十一教时

教材:不等式证明六(构造法及其它方法)

目的:要求学生逐步熟悉利用构造法等方法证明不等式。 过程: 构造法:

1.构造函数法

例一、已知x > 0,求证: 证:构造函数 则, 设2≤(<( 由

显然 ∵2≤(<( ∴( ( ( > 0, (( ( 1 > 0, (( > 0 ∴上式 > 0 ∴f (x)在上单调递增,∴左边 例二、求证: 证:设 则

用定义法可证:f (t)在上单调递增 令:3≤t1

2.构造方程法:

例三、已知实数a, b, c,满足a + b + c = 0和abc = 2,求证:a, b, c中至少有一个不小于2。

证:由题设:显然a, b, c中必有一个正数,不妨设a > 0, 则 即b, c是二次方程的两个实根。 ∴ 即:a≥2 例四、求证:

证:设 则:(y ( 1)tan2( + (y + 1)tan( + (y ( 1) = 0 当 y = 1时,命题显然成立

当 y ( 1时,△= (y + 1)2 ( 4(y ( 1)2 = (3y ( 1)(y ( 3)≥0 ∴

综上所述,原式成立。(此法也称判别式法) 3.构造图形法:

例五、已知0 < a < 1,0 < b < 1,求证:

证:构造单位正方形,O是正方形内一点 O到AD, AB的距离为a, b,

则|AO| + |BO| + |CO| + |DO|≥|AC| + |BD| 其中,

又: ∴

作业:证明下列不等式:

令,则 (y ( 1)x2 + (y + 1)x + (y ( 1) = 0 用△法,分情况讨论

已知关于x的不等式(a2 ( 1)x2 ( (a ( 1)x ( 1 < 0 (a(R),对任意实数x恒成立,求证:。 分a2 ( 1 = 0和 讨论

若x > 0, y > 0, x + y = 1,则 左边 令 t = xy,则 在上单调递减 ∴

若,且a2 < a ( b,则 令,又,在上单调递增 ∴

记,a > b > 0,则| f (a) ( f (b) | < | a ( b| 构造矩形ABCD, F在CD上,

使|AB| = a, |DF| = b, |AD| = 1, 则|AC| ( |AF| < |CF| 若x, y, z > 0,则

作(AOB = (BOC = (COA = 120(, 设|OA| = x, |OB| = y, |OC| = z

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1(b b a 1(a A B C D F

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