[苏教版高考二轮复习]导数及其应用

导读:高考成功尽在眼前导数及其应用,2010年江苏省高考说明中,《导数及其应用》属于必做题部分,以及导数在实际问题中的应用是B级要求.,导数作为工具在研究函数的性质及在实际生活中有着广泛的应用,导数是高中数学中与高等,'22高考成功尽在眼前,高考成功尽在眼前导数及其应用一、【考点分析】2010年江苏省高考说明中,《导数及其应用》属于必做题部分,其中导数的概念是A级要求,导数的几何意义,导数的运算,利

[苏教版高考二轮复习]导数及其应用

高考成功尽在眼前 导数及其应用

一、【考点分析】

2010年江苏省高考说明中,《导数及其应用》属于必做题部分,其中导数的概念是A级要求,导数的几何意义,导数的运算,利用导数研究函数的单调性与极值,以及导数在实际问题中的应用是B级要求.

导数与函数、数列、三角、不等式、解析几何等知识有着密切的联系,导数作为工具在研究函数的性质及在实际生活中有着广泛的应用, 导数是高中数学中与高等数学联系最密切的知识之一,所以备受高考命题老师的重视. 二、【典例解析】 【例题1】设直线y?1x?b是曲线y?lnx(x?0)的一条切线,则实数b的值是 . 2【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法.

111 ,令? 得x?2, xx21故切点(2,ln2),代入直线方程y?x?b,得 b?ln2?1.

2【答案】ln2?1

12【例题2】函数y?4x?单调递增区间是 . xy'?18x3?112?0,(2x?1)(4x?2x?1)?0,x?【解析】令y?8x?2?. 2xx2'【答案】(,??)

12 y 右图所示,则

'x)是函数f(x)的导函数,y?f'(x)的图象如【例题3】设f(f(x)的图象最有

y y y y O 1 2 x 可能的

是 .

O 1 2 x O 1 2 x 1 2 x O 1 2 x (填图象序号)

① ② ③ ④

【解析】 利用导函数的图像的零点,可以函数f(x)在(??,0)及(2,??)上单调递增, 而在(0,2)上单调递减.从而只有图像③符合要求. 【答案】③

高考成功尽在眼前

【例题4】函数f(x)?x3?ax2?bx?a2,在x?1时有极值10,则a,b的 值分别为________ .

【解析】f'(x)?3x2?2ax?b,

?f'(1)?0由已知,得?

?f(1)?10?2a?b??3?a??3?a?4,即 ?2解得?, 或?b?3b??11a?a?b?9???经检验:当a??3,b?3时,x?1不是极值点; 当a?4,b??11时,符合题意. 【答案】 4,?11

【例题5】函数f(x)?x?ax在[1,4]上单调递增,则实数a的最大值为 . 【解析】(方法1)f(x)?1?'a2x, 由已知,得1?a2x?0即a?2x在区间[1,4]上恒成立.

?a?(2x)min?2, ?a (方法2) 令t?max?2.

x, 2则把函数f(x)?x?ax看成是函数y?t?at,t?[1,2], 与函数t?x,x?[1,4]的复合函数,

?t?x在区间[1,4]上单调递增,

?要使函数f(x)?x?ax在[1,4]上单调递增,

只要y?t?at在区间[1,2]上单调递增即可.

2a?1, 即a?2,?a2【答案】2

当且仅当

3max?2.

2与x?1时都取得极值, 3【例题6】已知函数f(x)?x?ax?bx?c在x??(1)求a,b的值与函数f(x)的单调区间;

2(2)若对x?[?1,2],不等式f(x)?c恒成立,求实数c的取值范围. 【解析】(1)f(x)?3x?2ax?b

'22高考成功尽在眼前

?'2?f(?)?0由已知,得?, 3?f'(1)?0??4a?3b?4?0即?, 2a?b?3?0?1??a??解得?2 ??b??2?f'(x)?3x2?x?2?(3x?2)(x?1)

222(??,?)?(?,1) x 1 (1,??) 333? ? ? 0 0 f'(x) ? 极大值 ? 极小值 ? f(x) 22?函数f(x)的单调递增区间是(??,?)与(1,??),单调递减区间是(?,1).

33123(2)由(1)得f(x)?x?x?2x?c,x?[?1,2],

22在区间[?1,2]上,[f(x)]max?max{f(?),f(2)}

322 ?max{?c,2?c}?2?c

27由已知,得2?c?c, 解得 c??1或c?2.

故所求实数c的取值范围为(??,?1)?(2,??). 【例题7】已知函数f(x)?x?3x

(1)求函数f(x)在[?3,]上的最大值和最小值;

(2)过点P(2,?6)作曲线y?f(x)的切线,求此切线的方程. 【解析】(1)f'(x)?3(x2?1),

令 f'(x)?0,解得 x??1.

在[?3,]上, [f(x)]max?max{f(?3),f(?1),f(1),f()}

323232323[f(x)]min?min{f(?3),f(?1),f(1),f()}

239?f(?3)??18,f(?1)?2,f(1)??2,f()??.

28 ?[f(x)]max?2,[f(x)]min??18.

(2)设切点为Q(x0,x0?3x0),则所求切线方程为

32y?(x0?3x0)?3(x0?1)(x?x0) ?切线过点P(2,?6),

3??6?(x0?3x0)?3(x02?1)(2?x0),

3

高考成功尽在眼前

解得x0?0或x0?3

?切线方程为y??3x或y?6?24(x?2)

即3x?y?0或24x?y?54?0.

【例题8】设函数f(x)?x3?9bx2?6x?a,且函数f(x)在x?1处取得一个极值. (1)求实数b的值;

(2)对于任意实数x,f?(x)?m恒成立,求实数m的最大值; (3)若方程f(x)?0有且仅有一个实根,求实数a的取值范围. 【解析】(1)f'(x)?3x2?18bx?6,

由已知,得f'(1)?0,即3?18b?6?0,解得 b?经检验:b?1. 211符合题意. 故所求实数b的值为. 22 (2) f'(x)?3x2?9x?6, (方法1)由已知,得m?[f'(x)]min,

323,

2433?[f'(x)]min??. ? m??.

443?实数m的最大值为?.

4而f'(x)?3(x?)? (方法2) ?x?(??,??),f(x)?m, 即 3x?9x?(6?m)?0恒成立,

2'3???81?12(6?m)?0,解得m??,

43?实数m的最大值为?.

4(3) 当x?1时, f(x)?0;

'当1?x?2时, f(x)?0;

''当x?2时, f(x)?0;

?当x?1时,f(x)取得极大值 f(1)?5?a; 2 当x?2时,f(x)取得极小值 f(2)?2?a;

?当f(2)?0 或f(1)?0时, 方程f(x)?0有且仅有一个实根.

高考成功尽在眼前

解得 a?2或a?5. 25?实数a的取值范围为(??,2)?(,??).

2【例题9】从边长为2a的正方形铁片的四个角各截去一小块边为右图所示),再将四边向上折起,做成一个无盖的正四棱柱铁盒,高度x与底面正方形边长的比值不超过常数t. 问:x取何值时,值.

【解析】依题意:

x的正方形(如

要求正四棱柱的容积V有最大

V?(2a?2x)2?x?4x3?8ax2?4a2x(0?x?a).

?x2ta?t, 解得0?x?.

2a?2x1?2t2ta]. 1?2t?函数V的定义域为(0,?V'?12x2?16ax?4a2?4(3x?a)(x?a).

① 若

a2ta1a,即t?,则由V'?0,解得x?. ?31?2t43当0?x?aa2ta时, V'?0;当?x?时, V'?0. 331?2t163a. 27?当x?时, 容积V取得极大值,即为最大值,且Vmax?② 若

a3a2ta1,即0?t≤, ?31?2t42ta则有V??0,知V在定义域(0,]上为单调递增函数.

1?2t2at4at28a3t2at(2a?)?. 时,Vmax??当x?1?2t1?2t(1?2t)31?2t答: 若t?1a163,则当x?时, 容积V有最大值a; 43278a3t12at若0?t≤,则当x?时, 容积V有最大值.

(1?2t)341?2t【例题10】已知函数f(x)?ax?lnx,x?(0,e],g(x)?(1)讨论a?1时, 函数f(x)的单调性、极值; (2)求证:在(1)的条件下,f(x)?g(x)?lnx,其中e是自然常数,a?R. x1; 2(3)是否存在实数a,使函数f(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.

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