043平面向量基本定理

导读:高一数学043高一年级8班教师方雄飞学生课题2.3.1平面向量基本定理,学习目标:理解平面向量的基本定理,掌握平面内任意一个向量都可用两个不共线的向量表示,了解向量的夹角与垂直的概念,复习:1.向量加法的平行四边形法则是什么?,?2.向量a??a??0?与?b共线,引入:给定平面内任意两个向量?e????????????e??1、e2,请同学们作出向量3e1?2e2、e1?22.,思考:平面内

043平面向量基本定理

高一数学043 高一 年级 8 班 教师 方雄飞 学生 课题 2.3.1平面向量基本定理

学习目标:理解平面向量的基本定理,掌握平面内任意一个向量都可用两个不共线的向量表示,

了解向量的夹角与垂直的概念,

学习过程 一.复习引入:

复习:1.向量加法的平行四边形法则是什么?

?2.向量a??a??0?与?b共线,当且仅当有唯一一个实数?,使 .

引入:给定平面内任意两个向量?e????????????e??1、e2,请同学们作出向量3e1?2e2、e1?22.

思考:平面内的任一向量是否都可以用形如??????1e1??2e2的向量表示呢?

如下图,设?e?????1、e2是同一平面内两个不共线的向量,a是这一平面内的任一向量,通过作图,发现

任一向量?a都可以表示成??????1e1??2e2.

二.新课学习:

1.平面向量的基本定理: 如果e??1,e2是同一平面内两个 的向量,那么对于这一平面内的任

意向量a?,有且只有一对实数?,???12, 使 。其中,我们把不共线的向量e1,e2叫做表示

这一平面内所有向量的一组基底。

注意:①e?????1、e2是同一平面内两个不共线的非零向量;

②该平面内的任意向量?a都可以用?e????1、e2线性表示,且这种表示是唯一的;

③对于基底的选取不唯一,只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底. 2.向量的夹角:

已知两个非零向量?a和?b. 作???OA???a,???OB???b,则?AOB???0????180??

叫做向量?a与?b的夹角. 特别地,(1)当??0?时,?

a与?(2)当??180?时,?b同向;?

(3)当??90?时,?a与a与?b反向;

b垂直,记作:?a??b.

例1、已知向量e1,e2求作向量 ?2.5e1?3e2

例2、已知

a??b??2??,且a与ba???的夹角为?3,则+b与a的夹角是多少?

a??b?a?与的夹角又是多少?

例3、如图,OA,OB不共线,AP=tAB(t?R)用OA,OB表示OP.

????练习1、 设???OA?、??OB?????????不共线,点P在O、A、B所在的平面内,且OP?(1?t)OA?tOB(t?R).

求证:A、B、P三点共线. A

N 练习2.已知?????ABC中,M、N顺次是AB的三等分e2 点,试用CB 、 ???CA?为基底?e????1、e2表示:M (1)AB?????______,????MN??______;

C (2)CM??????_________,???CN??_________.Be1练习3、如图所示,已知AP=

43AB,AQ=13AB,用OA、OB表示OP,则OP等于( ) A.13OA+43OB B.?143OA+3OB C.?13OA-43OB D.143OA-3OB

练习4.已知梯形ABCD中,AB∥CD且AB=2CD,M, N分别是DC, AB中点,设?AD??=a?, ?AB??=b?,试以

a?, b?为基底表示?DC??, ?BC??, MN???

三、课堂检测

1.设e??1,e2是同一平面内两个不共线的向量,不能以下面各组向量中作为基底的是( )

A. e???e??????????,e??1,e1+e2 B. 1-2e2,e2-2e1 C.e1-2e2,4e2-2e1 D. e1+e21-e2 2.已知e?e?1,2是同一平面内两个不共线的向量,那么下列两个结论中正确的是__________

①???1e1+?2e2(?1,?2为实数)可以表示该平面内所有向量;

②若有实数?,????12使?1e1+?2e2=0,则?1=?2=0。

3、在等边△ABC中,???AB?,???BC?的夹角为___________

4、△ABC中,D为边BC的中点,???AB???a,???AC???b,用基底?a,?b表示???AD?=___________

5.已知e??不共线,a? =?????+2e???1,e21e1+e2,b=4e12,并且a,b共线,则?1=

6、已知向量?e??????????????1、e2不共线,实数x、y满足?3x?4y?e1??2x?3y?e2?6e1?3e2,则x?y= 四、课堂小结

1. 平面向量基本定理; 2. 两向量的夹角与垂直; 五、课外作业

1、下列说法中,正确的是 。

①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底; ②一个平面内有无数多对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底;

③零向量不可作为基底中的向量。

2、设O是平行四边形ABCD两对角线AC与BD的交点,下列向量组,其中可作为这个平行四边形所在平面表示所有向量的基底是( )

①???AD?与???AB? ②???DA?与???BC? ③???CA?与????DC ④???OD?与???OB? A.①② B.③④ C.①③ D.①④

3、在△ABC中,???AB???c,???AC???b.若点D满足???BD??2???DC?,则???AD??( ) A.2?b?1?c

B.5?c?2?33b

C.2?1?333b?3c

D.1?2?3b?3c

4、已知O,A,B是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足2???AC?????CB???0,则???OC??( )

A.2???OA?????OB? B.????OA??2???OB?

C.2????1????3OA?3OB

D.?1???3OA??2????3OB

5、(2005山东) 已知向量a、b且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则一定共线的三点是( )

A.A、B、D B.A、B、C C.C、B、D D.A、C、D

6、D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB上的中点,且BC?a,CA?b,给出下列命题,其中正确命题的个数是( )

①AD??12a?b ② BE?a?12b ③CF=-12a?12b ④AD?BE?CF?0

A.1 B.2 C.3 7、若?a??0,且?b??0,且? D.4

a??b??a??b,则?a与?a??b的夹角为

8、若3e?e?????????1+42=a,2e1+3e2=b,其中a,b为已知向量,则e1= ,e2= 。 9、在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,且=

+

,其中

R ,

+

= _________.0 10、已知两非零向量?a,b?的夹角是800,试求下列向量的夹角:

(1)?a,-b?; (2)2?a,3b?.

11、已知梯形ABCD中,AD∥BC,E、F分别是AD、BC边的中点,且BC=3AD,BA?a,BC?b.试以a,b为基底表示EF,DF,CD. A E D B b C

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