大学数学概率论4第4讲(第一章)

导读:第四讲Ch.1随机事件与概率,§1.3概率的性质,1.3.0不可能事件的概率零性性质1.3.1P(?)?0.,反之不成立.(为什么?)1.3.1概率的可加性,Remark概率的可加性包括可列可加性(基本性质之一)和有限可加性(以下性质1.,由可列可加性及不可能事件的概率零性,性质1.3.3(概率的互补性)对任意事件A,有,Remark概率的互补性的效用:面对复杂的事件A,求至少取到1只60W灯

大学数学概率论4第4讲(第一章)

第四讲 Ch.1 随机事件与概率

§1.3 概率的性质

1.3.0 不可能事件的概率零性 性质1.3.1 P(?)?0.

Proof 由于???????,有

?????????

又由?与任意事件互斥,由可列可加性,得

P(?)?P(???????)?P(?)?P(?)?P(?)??

利用正则性P(?)?1代入上式,得

P(?)?P(?)???0

最后由非负性,得P(?)?0,代入上式,得P(?)?0. Remark 若A??,则P(A)?0;反之不成立.(为什么?) 1.3.1 概率的可加性

Remark 概率的可加性包括可列可加性(基本性质之一)和有限可加性(以下性质1.3.2).

性质1.3.2(有限可加性) 若事件A1,A2,?,An为同一样本空间下的互斥事件列,则

nniiP(?A)??P(Ai?1i?1).

Proof 记

An?1?An?2????.

1

ni??i?A??Ai?1.

i?1且A1,A2,?,An,An?1,An?2,?为同一样本空间下的可列互斥事件列,于是,由可列可加性及不可能事件的概率零性,得

n??P(?Ai)?P(?Ai)

i?1i?1n?? ??P(Ai)??P(Ai)

i?1i?n?1n??

??P(Ai)??P(?)i?1i?n?1

n

??P(Ai)i?1.

因此

nnP(?Ai)??P(Ai).i?1i?1

性质1.3.3(概率的互补性) 对任意事件A,有

P(A)?P(A)?1.

Proof 注意到??A?A,利用正则性和有限可加性,得1?P(?)?P(A)?P(A).

P(A)?P(A)?1.

2

Remark概率的互补性的效用:面对复杂的事件A,转而考虑A,发现简单易得P(A),用P(A)?1?P(A)达到求P(A)之目的!

例1.3.1 36只灯泡中4只60W,32只40W,现从中任取3只,求至少取到1只60W灯泡的概率. 解 记

A=“任取3只中至少有一只60W灯泡”.

A较复杂,而A=“任取一只中全为40W灯泡”的概率,由古典方

法容易求得为

P(A)?C32C3363?0.695.

于是

P(A)?1?P(A)?1?0.695?0.305

例1.3.2 抛掷一枚均匀硬币5次,试求既出现正面又出现反面的概率.

解 记

A=“抛掷5次既出现正面又出现反面”.

A=“抛掷5次全出现正面或全出现反面”.

易见A及A都不简单,但再引入记号

B=“掷5次全出正面”,C=“抛掷5次全出现反面”.

则B、C简单,且A?B?C,且先由古典方法容易求得:

3

P(B)?P(C)?125.

于是

P(A)?1?P(A)?1?P(B?C)

?1?(P(B)?P(C))?1?(125?125)?1516.

1.3.2概率的单调性

性质1.3.4 若B?A,则P(A?B)?P(A)?P(B)(概率的可减性)

Proof 由B?A,可将A表示为如下互斥并形式

A?B?(A?B).

利用有限可加性,得

P(A)?P(B)?P(A?B)

P(A?B)?P(A)?P(B).

推论(概率的单调性)若B?A,则P(A)?P(B).

Proof 利用概率的可减性及非负性,得

P(A)?P(B)?P(A?B)?0.

从而有

P(A)?P(B).

Remark 单调性的逆命题,若P(A)?P(B),则B?A不成立。

反例:向区间[0,1]随机投点,记

A?“该点落入区间[0,0.5]”,

B?“该点落入区间[0.6,0.7]”.

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利用几何方法,易见

P(A)?0.5,P(B)?0.1.

显然P(A)?P(B),但B?A也显然不成立. 性质1.3.5(弱可减性)对任意事件A,B,有

P(A?B)?P(A)?P(AB).

Proof 由A?B?A?AB,且AB?A,由可减性,得

P(A?B)?P(A?AB)?P(A)?P(AB).

Remark 面对复杂事件的概率计算,也可巧妙运用可减性来解决!如下例.

例1.3.3 口袋中有编号为1,2,???,n的n只球,从中有放回地任取m次,求取出m只球中最大号码为k的概率. 解 记

Ak=“取出的m只球中最大号码为k”,k?1,2,???,m.

直接计算P(Ak)不容易.考虑以下事件

A?“取出的m只球中最大号码小于等于k”,

B?“取出的m只球中最大号码小于等于k?1”.

则,易见B?A,且

Ak?A?B.

而由古典方法,得

P(A)=

于是

knmm,P(B)=

(k?1)nmm.

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