加试题

导读:1.(本小题满分10分)如图,在三棱锥V?ABC中,顶点C在空间直角坐标系的原点处,顶点A、B、V分别在x、y、z轴上,D是AB的中点,且AC?BC,∠VDC??.(Ⅰ)当??值的大小;(Ⅱ)当角?变化时,求直线BC与平面VAB所成角的取值范围.1.解:(Ⅰ)设AC?BC?a.当CDA时,?3时,求向量AC与VD夹角?的余弦zVBy???3x(00C(,,,

加试题

1. (本小题满分10分)

如图,在三棱锥V?ABC中,顶点C在空间直角坐标系的原点处,顶点A、B、V分别在x、

y、z轴上, D是AB的中点,且AC?BC,∠VDC??.

(Ⅰ)当??值的大小;

(Ⅱ)当角?变化时,求直线BC与平面VAB所成角的取值范围.

1.解:(Ⅰ)设AC?BC?a. 当

C D A 时

?3时,求向量AC与VD夹角?的余弦

z V B y

???3x (00C(,,,Aa,0,,B,a,,0Daa6,,0V,,a), 222aa6?a), …………………………………2分 AC???a,0,0?,VD?(,,2221?a22AC?VD??cos???2. …………………………………4分

4ACVDa?2a(Ⅱ)设AC?BC?a.

设直线BC与平面VAB所成的角为?,平面VAB的一个法向量为

z n?(x,y,z).

则由n·AB?0,n·VD?0.

V ??ax?ay?0,?得?a a2aztan??0.?x?y??222,,可取n?(112),…………………………………6分 tan?A x C D B y BC?(0,?a,0),

?sin??n·BCn·BC?aa·2?2tan2??2sin?,………………………8分 2∵0???π2,∴0?sin??1,0?sin??. 220???ππ,∴0???. 24π4即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为(0,).………………………………10分

2.(本小题满分10分)

在一个盒子中,放有标号分别为1,2,3,4的四个小球,现从这个盒子中,有放回地先...后摸出两个小球,它们的标号分别为x、y,记??x?y. (Ⅰ)求随机变量?的分布列; (Ⅱ)求随机变量?的数学期望;

2(Ⅲ)设“函数f(x)?nx??x?1(n?N+)在区间(2,3)上有且只有一个零点”为事

件A,求事件A发生的概率.

2.解:(Ⅰ)?的所有取值为0,1,2,3,

?x?1?x?2?x?3?x?4四种情况, ???0时,有?,?,?,??y?1?y?2?y?3?y?4?x?1?x?2?x?2?x?3?x?3?x?4 ??1时,有?六种情况, ,?,?,?,?,?y?2y?1y?3y?2y?4y?3???????x?1?x?3?x?2?x?4,?四种情况, ??2时,有?,?,??y?3?y?1?y?4?y?2 ??3时,有??x?1?x?4两种情况. ,?y?4y?1???P(??0)?41634121?,P(??1)??,P(??2)??,P(??3)?? . 164168164168则随机变量?的分布列为:

? P 0 1 41 2 3 3 81 41 8…………………………………4分(各1分)

(Ⅱ)数学期望E??0?(Ⅲ)

13115?1??2??3??. ……………………6分 48484函数f(x)?nx2??x?1在(2,3)有且只有一个零点,

1,舍去. 21 (2)当f(3)?0时,??3n?,舍去.

3 ∴(1)当f(2)?0时,??2n?(3)f(2)f(3)?(4n?1?2?)(9n?1?3?)?0,

11???3n?, …………………………………8分 2338当n?1时,???,???2,

2317当n?2且n?N?时,??2n??,

221?当n?1时,P(A)?P(??2)? …………………………………9分

4?2n? 当n?2且n?N?时,P(A)?0. …………………………………10分 答: 当n?1时,事件A发生的概率为3. (本小题满分10分)

1;当n?2时,事件A发生的概率为0. 4?12??3?给定矩阵A=??,B =?2?.

?14????(Ⅰ)求A的特征值?1,?2及对应特向量α1,α2, (Ⅱ)求AB.

3.解:(I)设A的一个特征值为?,由题意知:

4??11?2??4=0 ………………………………2分

(?-2)(?-3)=0

?1=2,?2=3 ………………………………4分

?12??x??x??2?当?1=2时,由???y?=2?y?,得A属于特征值2的特征向量α1=?1? ……5分

?14????????当?2=3时,由??12??x??x??1?A=3,得属于特征值3的特征向量=α2?? ……6分 ??????1???14??y??y??1??1?(II)由于B=??=??+??=α1+α2 ………………………………7分 故AB=A4(α1?α2)

=(24 α1)+(34α2) =16α1+81α2 =?

4.(本小题满分10分)

4?3??2??2??1??32??81??113??+?81?=?97? …………………10分 16???????2x?t?4??x?4u2?2设点O为坐标原点,直线l:?(参数u?R)交(参数t?R)与曲线C:?y?4u??y?2t??2于A、B两点.

(Ⅰ)求直线l与曲线C的普通方程; (Ⅱ)求证:OA?OB.

4.解:(I)直线l:y?x?4, ……………………2分 曲线C:y?4x, ………………………………4分 (II)设A(x1,y1),B(x2,y2),

2?y2?4x,由?消去y得x2?12x?16?0, ?y?x?4,?x1?x2?12,x1x2?16, ………………………………6分

?kOAkOB?y1y2(x1?4)(x2?4)x1x2?4(x1?x2)?16????1, ……………8分 x1x2x1x2x1x2?OA?OB. ………………………………10分

13.观察:7?15?211;5.5?16.5?211; 3?3?19?3?211;….对于任意正实数a,b,试写出使a?b?211成立的一个条件可以是 ____. a?b?22

14.(坐标系与参数方程)在直角坐标系中圆C的参数方程为

C?x?2cos?(?为参数),以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴?y?2?2sin???建立极坐标系,则圆C的圆心极坐标为____(2,)_____.

知AB=6,CD=25,则线段AC的长度为 BDA215.(几何证明选讲)如图,AB、CD是圆O的两条弦,且AB是线段CD的中垂线,已

30 _.

第15题图

14.如图所示,AC和AB分别是圆O的切线, 且OC = 3,AB = 4,延长OA到D点,则△ABD的

48面积是________5___.

πP ( 2 , )3到直线 15.在极坐标系中,点

? ( cos??3sin? )?6的距离是___1________.

3、如图,AB是⊙O的直径,∠ACD=150,则∠BAD的度数为 ( ) A. 750 B.720 C . 700 D.650

4、在平面直角坐标系中,□ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是(0,0),(5,0),(2,3),则顶点C的坐标是 ( ) A.(3,7) B.(5,3) C.(7,3) D.(8,2)

F C A D C E

O D O

B

B A

第3题 第4题 第7题 5、下列说法正确的有( )个

①半圆或直径所对的圆周角是直角;②经过三个点一定可以作一个圆; ③圆的切线垂直于经过切点的半径;④垂直于半径的直线是圆的切线;

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