二次方程根的分布情况归纳(完整版)

导读:二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳,2ax?bx?c?0根的分布情况1、一元二次方程,设方程ax?bx?c?0?a?0?的不等两根为x1,x2且x1?x2,相应的二次函数为f?x??ax2?bx?c?0,2方程的根即为二次函数图象与x轴的交点,它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件),表1:(根在区间上的分布),分布情况两根都在?m,n?内两根有且仅有一根在?m,n?

二次方程根的分布情况归纳(完整版)

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳

2ax?bx?c?0根的分布情况 1、一元二次方程

设方程ax?bx?c?0?a?0?的不等两根为x1,x2且x1?x2,相应的二次函数为f?x??ax2?bx?c?0,

2方程的根即为二次函数图象与x轴的交点,它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)

表1:(根在区间上的分布)

分布情况两根都在?m,n?内 两根有且仅有一根在?m,n?内 一根在?m,n?内,另一根在?p,q?(图象有两种情况,只画了一种) 内,m?n?p?q a?0) a?0) 需满足的条件是:

大致图象(得出的结论???0??f?m??0??f?n??0 ?b?m???n2a??f?m??f?n??0 ?f?m??0??f?m?f?n??0?f?n??0?或 ??fpfq?0??????f?p??0??f?q??0? 大致图象(得出的结论???0??f?m??0??f?n??0 ?b?m???n2a??f?m??f?n??0 ?f?m??0??f?m?f?n??0?f?n??0?或 ??fpfq?0??????f?p??0??f?q??0?

根在区间上的分布还有一种情况:两根分别在区间?m,n?外,即在区间两侧x1?m,x2?n,(图形分别如下)

(1)a?0时,????f?m??0?f?m??0; (2)a?0时,?

???f?n??0?f?n??0总结:两根在同一区间,需考虑:

两根在相异区间,需考虑:

对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明: (1)两根有且仅有一根在?m,n?内有以下特殊情况:

1? 若f?m??0或f?n??0,则此时f?m??f?n??0不成立,但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n,

可以求出另外一根,然后可以根据另一根在区间?m,n?内,从而可以求出参数的值。2? 方程有且只有一根,且这个根在区间?m,n?内,即??0,此时由??0可以求出参数的值,然后再将参数的值带入方程,求出相应的根,检验根是否在给定的区间内,如若不在,舍去相应的参数。

例1::方程mx??m?2?x?2?0在区间?1,3?上有一根,求m的取值范围。

2因为f?1??0,所以mx??m?2?x?2??x?1??mx?2?,另一根为

22222,由1??3得?m?2即为所求;

m3m例2:方程x?4mx?2m?6?0有且一根在区间??3,0?内,求m的取值范围。

152;②由??0即16m?4?2m?6??01433得出m??1或m?,当m??1时,根x??2???3,0?,即m??1满足题意;当m?时,根x?3???3,0?,

22315故m?不满足题意;综上分析,得出?3?m??或m??1

142分析:①由f??3??f?0??0即?14m?15??m?3??0得出?3?m??

根的分布练习题

例1、已知二次方程?2m?1?x2?2mx??m?1??0有一正根和一负根,求实数m的取值范围。 解:由 ?2m?1??f?0??0 即 ?2m?1,从而得???m?1??0

例2、已知方程2x2??m?1?x?m?0有两个不等正实根,求实数m的取值范围。 解:由

1?m?1即为所求的范围。 2??0?2?m?1?8m?0?????m?1?????m?3?22或m?3?22?0 ? ? ? ? ? m??1??2?2m?0????m?0f?0??0???0?m?3?22或m?3?22即为所求的范围。

例3、已知二次函数y??m?2?x??2m?4?x??3m?3?与x轴有两个交点,一个大于1,一个小于1,求实

2数m的取值范围。

解:由 ?m?2??f?1??0 即 ?m?2???2m?1??0 ? ?2?m?

例4、已知二次方程mx??2m?3?x?4?0只有一个正根且这个根小于1,求实数m的取值范围。

21即为所求的范围。 2解:由题意有方程在区间?0,1?上只有一个正根,则f?0??f?1??0 ? 4??3m?1??0 ? m??求范围。

1即为所3(注:本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在?0,1?内,由??0计算检验,均不复合题意,

计算量稍大)

2、二次函数在闭区间?m,n?上的最大、最小值问题探讨

设f?x??ax2?bx?c?0?a?0?,则二次函数在闭区间?m,n?上的最大、最小值有如下的分布情况:

m?n??b 2am??bb?n即???m,n? 2a2a?b?m?n 2a(1)若?(2)若?另外,当二次函数开口向上时,自变量的取值离开x轴越远,则对应的函数值越大;反过来,当二次函数开口向下时,自变量的取值离开x轴越远,则对应的函数值越小。

二次函数在闭区间上求最值,讨论的情况无非就是从三个方面入手:开口方向、对称轴以及闭区间,以下三个例题各代表一种情况。

例1、函数f?x??ax?2ax?2?b?a?0?在?2,3?上有最大值5和最小值2,求a,b的值。

2解:对称轴x0?1??2,3?,故函数f?x?在区间?2,3?上单调。

??3a?b?2?5?a?1?f?x?max?f?3?a?0(1)当时,函数f?x?在区间?2,3?上是增函数,故? ? ? ? ?; fx?f2????2?b?2b?0????min(2)当a?0时,函数f?x?在区间?2,3?上是减函数,故? 图象

最大、最小值f?x?max?f?m? f?x?max?max?f?n?,f?m?? f?x?max?f?n? f?x?min?f?n??b?f?x?min?f????2a?f?x?min?f?m? 对于开口向下的情况,讨论类似。其实无论开口向上还是向下,都只有以下两种结论:

b???m,n?,则f?x?max?max?f?m?,2a????b?f???,f?n??,f?x?min?min?f?m?,?2a?????b?f???,f?n??; ?2a??b??m,n?,则f?x?max?max?f?m?,f?n??,f?x?min?min?f?m?,f?n?? 2a二次函数在闭区间上的最值练习

??b?2?5?a??1?f?x?max?f?2? ? ? ? ?fx?f3????3a?b?2?2?b?3???min例2、求函数f?x??x2?2ax?1,x??1,3?的最小值。 解:对称轴x0?a

(1)当a?1时,ymin?f?1??2?2a; (2)当1?a?3时,ymin?f?a??1?a2; (3)当a?3时,ymin?f?3??10?6a

改:1.本题若修改为求函数的最大值,过程又如何?

解:(1)当a?2时,f?x?max?f?3??10?6a; (2)当a?2时,f?x?max?f?1??2?2a。

2.本题若修改为求函数的最值,讨论又该怎样进行?

解:(1)当a?1时,f?x?max?f?3??10?6a,f?x?min?f?1??2?2a;

(2)当1?a?2时, f?x?max?f?3??10?6a,f?x?min?f?a??1?a;

2(3)当2?a?3时,f?x?max?f?1??2?2a,f?x?min?f?a??1?a;

2(4)当a?3时, f?x?max?f?1??2?2a,f?x?min?f?3??10?6a。

例3、求函数y?x2?4x?3在区间?t,t?1?上的最小值。 解:对称轴x0?2

2(1)当2?t即t?2时,ymin?f?t??t?4t?3;

(2)当t?2?t?1即1?t?2时,ymin?f?2???1;

2(3)当2?t?1即t?1时,ymin?f?t?1??t?2t

例4、讨论函数f?x??x?x?a?1的最小值。

2?x2?x?a?1,x?a解:f?x??x?x?a?1??2,这个函数是一个分段函数,由于上下两段上的对称轴分别为

?x?x?a?1,x?a2直线x??111111,x?,当a??,??a?,a?时原函数的图象分别如下(1),(2),(3) 222222

因此,(1)当a??1?1?3时,f?x?min?f?????a; 2?2?4 (2)当?11?a?时,f?x?min?f?a??a2?1; 221?1?3时,f?x?min?f????a 2?2?4 (3)当a?

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