2008年安徽省文科数学高考试题

导读:又∵AQ?OP,∴AQ?平面OCD,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离∵OP?OD2?DP2?OA2?AD2?DP2?4?1?1322?,AP?DP?2222OA?AP2?2,所以点B到平面OCD的距离为2∴AQ??3OP33222?方法二(向量法)作AP?CD于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为x,y,z轴建立坐标系zOMAxBCPDyA(0

2008年安徽省文科数学高考试题

又∵AQ?OP,∴AQ?平面OCD,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离

∵OP?OD2?DP2?OA2?AD2?DP2?4?1?1322?,AP?DP? 222

2OA?AP2?2,所以点B到平面OCD的距离为2 ∴AQ??3OP33222?方法二(向量法)

作AP?CD于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为x,y,z轴建立坐标系

zOMAxBCPDyA(0,0,0),B(1,0,0),P(0,222,0),D(?,,0),O(0,0,2),M(0,0,1), 222(1)设AB与MD所成的角为?,

?????????22∵AB?(1,0,0),MD?(?,,?1)

22?????????AB?MD1?∴cos????????????,∴?? ,

3AB?MD2∴AB与MD所成角的大小为

? 3????????222(2)∵OP?(0,,?2),OD?(?,,?2)

222????????OP?0,n?OD?0 ∴设平面OCD的法向量为n?(x,y,z),则n??2y?2z?0??2即? ??2x?2y?2z?0??22取z?2,解得n?(0,4,2)

????设点B到平面OCD的距离为d,则d为OB在向量n?(0,4,2)上的投影的绝对值,

????OB?n2????∵OB?(1,0,?2), ∴d??.

n3所以点B到平面OCD的距离为20 解:

(1)f(x)?ax?3x?(a?1),由于函数f(x)在x?1时取得极值,所以f(1)?0 即a?3?a?1?0,∴a?1 (2) 方法一

由题设知:ax?3x?(a?1)?x?x?a?1对任意a?(0,??)都成立 即a(x?2)?x?2x?0对任意a?(0,??)都成立

设g(a)?a(x?2)?x?2x(a?R), 则对任意x?R,g(a)为单调递增函数

222222'2'2 3(a?R)

所以对任意a?(0,??),g(a)?0恒成立的充分必要条件是g(0)?0 即?x?2x?0,∴?2?x?0 于是x的取值范围是x|?2?x?0?

方法二

由题设知:ax?3x?(a?1)?x?x?a?1对任意a?(0,??)都成立 即a(x?2)?x?2x?0对任意a?(0,??)都成立

22222?于是a?x2?2xx2?2xx2?2对任意a?(0,??)都成立,即x2?2?0 ∴?2?x?0

于是x的取值范围是?x|?2?x?0? 21解(1)方法一:

∵an?1?1?c(an?1)

∴当a?1时,?an?1?是首项为a?1,公比为c的等比数列。

∴an?1?(a?1)cn?1,即a1n?(a?1)cn??1。当a?1时,an?1仍满足上式。 ∴数列?an?的通项公式为an?(a?1)cn?1?1(n?N*)。

方法二 由题

n?2时a?1n?1?can?1?(?c2an??1?2??)cn?a?(a?cn?1 1)∴an?(a?1)cn?1?1

n?1时,a1?a也满足上式。

∴数列?an?1n?的通项公式为an?(a?1)c?1(n?N*)。

(2)由(1)得bn?1n?n(1?a)c?n(1)n2

S?b111n?b12???bn?2?2(2)2???n(2)n

12S?(12)2?2(12)3???n(1n2)n?1 ∴1S?1?(1)2???(1)n?n(112n2222)n? ∴S1?12?(12)2???(12)n?1?n(111n?2)n?2[1?(2)n]?n(2)n∴S2?(2?n)(1n?2)n

(3) 由(1)知an?1n?(a?1)c?1

若0?(a?1)cn?1?1?1,则0?(1?a)cn?1?1

∵0?a1?a?1,∴0?cn?1?11?a(n?N*) 由cn?1?0对任意n?N*成立,知c?0。下面证c?1,用反证法

(1方法一:假设c?1,由函数f(x)?c的函数图象知,当n趋于无穷大时,c于无穷大

xn?1趋

∴cn?1?1*不能对n?N恒成立,导致矛盾。∴c?1。 1?a∴0?c?1

11n?1n?1方法二:假设c?1,∵c?,∴logcc?logc

1?a1?a1即n?1?logc(n?N*)恒成立(*)

1?a∵a,c为常数,∴(*)式对n?N*不能恒成立,导致矛盾,∴c?1

∴0?c?1

22解:(1)由题意得:

?c?2?2?a2?8?a? ∴?2??4c??b?4?222??a?b?cx2y2?1 ∴椭圆C的方程为?84

(2)方法一:

由(1)知F1(?2,0)是椭圆C的左焦点,离心率e?设l为椭圆的左准线。则l:x??4

作AA1?l于A1,BB1?l于B1,l与x轴交于点H(如图)

2 2∵点A在椭圆上 ∴AF1?2AA1 2?2(FH1?AF1cos?) 2?2?2AF1cos? 2∴AF1?2 2?cos?2

2?cos?2242??。 22?cos?2?cos?2?cos?同理BF1?∴AB?AF1?BF1?方法二: 当???2时,记k?tan?,则AB:y?k(x?2)

222222将其代入方程x?2y?8得(1?2k)x?8kx?8(k?1)?0 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是此二次方程的两个根.

8k28(k2?1)∴x1?x2??,x1x2?. 221?2k1?2kAB?(x1?x2)2?(y1?y2)2?(1?k2)(x1?x2)2?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2] ?8k2232(k2?1)42(1?k2)?(1?k)[()?]? ................(1) 2221?2k1?2k1?2k2∵k2?tan2?,代入(1)式得AB?42 ........................(2)

2?cos2?当???2时,AB?22仍满足(2)式。

∴AB?42

2?cos2?(3)设直线AB的倾斜角为?,由于DE?AB,由(2)可得

AB?4242, DE?222?cos?2?sin?AB?DE?4242122122 ???222212?cos?2?sin?2?sin?cos?2?sin22?4当??

?4或??3?162时,AB?DE取得最小值

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